seconda settimana

Istituzioni di Analisi 2

(programma, domande ed esercizi)

seconda settimana

Argomenti trattati

Dal libro di testo: Capitolo 8, da pag 251 a pag 261

Domande di teoria

• Enunciare il teorema di sostituzione sia per gli integrali definiti che per quelli indefiniti

• In quali modi si pu` o usare il teorema di sostituzione per calcolare un integrale indefinito? Riuscite a mostrarlo con degli esempi?

• Ci sono situazioni in cui l’invertibilit` a della funzione ϕ(t) ` e indispensabile?

• Perch´e l’espressione f ⁰ (x)/f (x) si chiama derivata logaritmica?

• Cos’`e una funzione razionale fratta?

• Prima di procedere con l’integrazione di una funzione del tipo P (x)/Q(x) con P, Q polinomi, in quali due possibili modi ` e opportuno riscriverla?

• Scrivere due famiglie di funzioni non razionali fratte che coinvolgono la funzione log e la funzione arctan le quali, integrate, conducono all’integrazione di funzioni razionali fratte.

• Dimostrare che gli integrali di funzioni del tipo d

dx

 P (x) Q(x)



log R(x)

S(x) , d dx

 P (x) Q(x)



arctan R(x) S(x) si riducono all’integrazione di razionali fratte.

• Quale altra famiglia di funzioni abbiamo visto in classe, la cui integrazione si ricon- duce a quella di funzioni razionali fratte? (Descrivere la sostituzione necessaria in dettaglio.)

Esercizi

• Svolgere tutti gli esercizi proposti nella pagine del libro trattate

• Calcolare R _dx

x

−x−6 dx

1

• Calcolare R (x ² + 1) log ((x − 1) (x ² + 1)) dx (conviene usare le propriet` a del loga- ritmo)

• Calcolare R _dx

9x

−25 (soluzione ₃₀ ¹ log   ^3x−5 _3x+5

  + c)

• Calcolare R _dx

x

−x−6 (soluzione ¹ ₅ log |3 − x| − ¹ ₅ log |x + 2| + c)

• Calcolare R _dx

2x

−5x−3 (soluzione ¹ ₇ ln   ^1−2x _x+3

 )

• Calcolare R _dx

x

+8x+16 (soluzione − _x+4 ¹ + c)

• Calcolare R _x

4x

+5 dx (soluzione ^x ₄ − ¹ ₈ √

5 arctan

 √ 2x 5

 + c)

• Calcolare R _dx

x

+2x+3 (soluzione

√ 2

2 arctan

 x+1 √ 2

 + c)

• Calcolare R _dx

x

+4x+5 (soluzione arctan(x + 2) + c)

• Calcolare R _x

x

+x+2 dx

• Calcolare R _x

x

−2x+3 dx

• Calcolare l’integrale della funzione _x

^2x+5 −4x+5

• Calcolare l’integrale della funzione _x

^2x+5 +3x+5

• Calcolare l’integrale della funzione

√ x−1

√ x+1(x

+1) (un passaggio intermedio ` e ^{√ t}

2 ( ^t

^{− √ 2t+1} ) −

√ t

2 ( ^t

^{+ √ 2t+1} ) )

Esercizio 1 Calcolare l’integrale della funzione razionale fratta 2x ⁶ − x ⁵ − 5x ⁴ + 2x ³ + 4x ² − x

(x − 1) ³ (x + 1) ²

Svolgimento. Il numeratore ha grado (6) maggiore di quello del denominatore (5).

Dividendo i polinomi si ottiene che il quoziente dei due polinomi si riscrive come

2x + 1 + 1

(x − 1) ³ (x + 1) ² .

L’integrale dei primi due termini ` e facile. Riscriviamo il terzo termine usando la scompo- sizione di Hermite

1

(x − 1) ³ (x + 1) ² = A ₁

x − 1 + A ₂ x + 1 + d

dx

 Bx ² + Cx + D (x − 1) ² (x + 1)



= A ₁

x − 1 + A ₂

x + 1 + 2Bx + C

(x − 1) ² (x + 1) −  Bx ² + Cx + D (x − 1) ² (x + 1)

  2

x − 1 + 1 x + 1



= A ₁

x − 1 + A ₂

x + 1 + 2Bx + C

(x − 1) ² (x + 1) −  Bx ² + Cx + D (x − 1) ² (x + 1)

 3x + 1

(x − 1)(x + 1) =

= A 1

x − 1 + A 2

x + 1 + 2Bx + C

(x − 1) ² (x + 1) − (Bx ² + Cx + D)(3x + 1) (x − 1) ³ (x + 1) ² =

A ₁ (x − 1) ² (x + 1) ² + A ₂ (x − 1) ³ (x + 1) + (2Bx + C)(x − 1)(x + 1) − (Bx ² + Cx + D)(3x + 1)

(x − 1) ³ (x + 1) ² =

A ₁ (x ⁴ − 2x ² + 1) + A ₂ (x ⁴ − 2x ³ + 2x − 1) + (2Bx + C)(x ² − 1) − (Bx ² + Cx + D)(3x + 1)

(x − 1) ³ (x + 1) ² .

2

Il coefficiente di x ⁴ ` e A ₁ + A ₂ , che quindi deve essere 0, ovvero A ₂ = −A ₁ . Segue che l’espressione sopra diventa

A ₁ (2x ³ − 2x ² − 2x + 2) + (2Bx + C)(x ² − 1) − (Bx ² + Cx + D)(3x + 1)

(x − 1) ³ (x + 1) ² =

x ³ (2A ₁ + 2B − 3B) + x ² (−2A ₁ + C − B − 3C) + x(−2A ₁ − 2B − C − 3D) + (2A ₁ − C − D)

(x − 1) ³ (x + 1) ² ,

da cui segue che B = 2A ₁ , 2C = −2A ₁ − B = −4A ₁ , e quindi C = −2A ₁ , 3D =

−2A ₁ − 2B − C = −2A ₁ − 4A ₁ + 2A ₁ = −4A ₁ , e finalmente che 2A ₁ + 2A ₁ + 4

3 A ₁ = 1.

Ovvero A ₁ = 3/16, A ₂ = −3/16, B = 3/8, C = −3/8, D = −1/4.

In conclusione 1

(x − 1) ³ (x + 1) ² = 3 16

1

x − 1 − 3 16

1

x + 1 + d dx





 3

8 x ² − 3 8 x − 1

4 (x − 1) ² (x + 1)





 ,

e l’espressione di destra si pu` o integrare facilmente cos`ı da ottenere che l’integrale cercato

` e

x ² + x + 3

16 log |x − 1| − 3

16 log |x + 1| + 1 8

3x ² − 3x − 2 (x − 1) ² (x + 1) + c.



3