Analisi Matematica

Facolt` a di Ingegneria, Test di recupero del debito 03/03/2010 – tempo assegnato: 45 m – codice prova: A

ATTENZIONE! Il test ` e composto da 15 domande, ognuna con quattro risposte di cui una sola corretta. Il test viene superato con un punteggio minimo di 6 punti, conteggiati come segue:

+1 per ogni risposta corretta, -0,25 per ogni risposta errata, 0 per ogni risposta non data.

Analisi Matematica

1. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

2. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

3. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

4. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

5. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

6. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

7. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

1–A

8. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

9. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

10. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 . 11. Risulta cos x = cos 2x

(a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

12. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

13. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

14. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

15. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

2–A

Soluzioni del test A

Analisi Matematica

1. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

2. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

3. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

4. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

5. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

6. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

7. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

8. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

9. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

1–A

10. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 . 11. Risulta cos x = cos 2x

(a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

12. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

13. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

14. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

15. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

2–A

Facolt` a di Ingegneria, Test di recupero del debito 03/03/2010 – tempo assegnato: 45 m – codice prova: B

ATTENZIONE! Il test ` e composto da 15 domande, ognuna con quattro risposte di cui una sola corretta. Il test viene superato con un punteggio minimo di 6 punti, conteggiati come segue:

+1 per ogni risposta corretta, -0,25 per ogni risposta errata, 0 per ogni risposta non data.

Analisi Matematica

1. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 .

2. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

3. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

4. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

5. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

6. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

7. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti. 1–B

8. Risulta cos x = cos 2x (a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

9. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

10. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

11. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

12. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

13. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

14. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

15. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

2–B

Soluzioni del test B

Analisi Matematica

1. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 .

2. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

3. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

4. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

5. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

6. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

7. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

8. Risulta cos x = cos 2x (a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

9. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

1–B

10. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

11. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

12. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

13. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

14. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

15. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

2–B

Facolt` a di Ingegneria, Test di recupero del debito 03/03/2010 – tempo assegnato: 45 m – codice prova: C

ATTENZIONE! Il test ` e composto da 15 domande, ognuna con quattro risposte di cui una sola corretta. Il test viene superato con un punteggio minimo di 6 punti, conteggiati come segue:

+1 per ogni risposta corretta, -0,25 per ogni risposta errata, 0 per ogni risposta non data.

Analisi Matematica

1. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

2. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

3. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

4. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

5. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

6. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

7. Risulta cos x = cos 2x (a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

1–C

8. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

9. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 .

10. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

11. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

12. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

13. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

14. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

15. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

2–C

Soluzioni del test C

Analisi Matematica

1. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

2. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

3. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

4. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

5. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

6. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

7. Risulta cos x = cos 2x (a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

8. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

9. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 .

1–C

10. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

11. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

12. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

13. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

14. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

15. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

2–C

Facolt` a di Ingegneria, Test di recupero del debito 03/03/2010 – tempo assegnato: 45 m – codice prova: D

ATTENZIONE! Il test ` e composto da 15 domande, ognuna con quattro risposte di cui una sola corretta. Il test viene superato con un punteggio minimo di 6 punti, conteggiati come segue:

+1 per ogni risposta corretta, -0,25 per ogni risposta errata, 0 per ogni risposta non data.

Analisi Matematica

1. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

2. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

3. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

4. Risulta cos x = cos 2x (a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

5. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

6. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

7. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

1–D

8. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

9. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 . 10. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1

4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

11. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

12. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

13. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

14. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

15. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

2–D

Soluzioni del test D

Analisi Matematica

1. Quale delle seguenti formule ` e corretta per ogni a e b strettamente positivi e diversi da 1?

(a) log _a b = log _b a.

(b) log(a · b) = log a · log b.

(c) log(a + b) = log a · log b.

(d) Nessuna delle precedenti.

2. L’insieme di definizione della funzione f (x) = log( √

x ² + 1 − x − 1) `e (a) L’insieme x > 0

(b) L’insieme x > 1

(c) L’insieme dei numeri reali.

(d) L’insieme x < 0.

3. Paolo acquista un libro usato ad un prezzo uguale a 2/3 di quello di copertina e lo rivende a Francesco a 2/3 del prezzo al quale lo ha pagato. Qual ` e il prezzo pagato da Francesco?

(a) 4/3 del prezzo di copertina.

(b) 4/9 del prezzo di copertina..

(c) 2/9 del prezzo di copertina.

(d) 1/3 del prezzo di copertina.

4. Risulta cos x = cos 2x (a) Solo per x = 0.

(b) Se e solo se x = 2kπ con k ∈ Z.

(c) Se e solo se x = 2kπ o x = 2

3 π + 2kπ o x = 4

3 π + 2kπ con k ∈ Z.

(d) Mai.

5. Quale delle seguenti uguaglianze ` e falsa?

(a) 2 ³⁺⁵ = 2 ³ · 2 ⁵ . (b) 2 ¹⁵ = (2 ³ ) ⁵ . (c) 2 ¹⁵ = 2 ⁽³

⁾ . (d) 2 ¹⁵ = (2 ⁵ ) ³ .

6. Quale delle seguenti funzioni ` e sempre strettamente positiva?

(a) f (x) = 2 ^−x . (b) f (x) = 1 + log |x|.

(c) f (x) = |x|.

(d) f (x) = √

x + 1.

7. Il voto finale di un esame viene ottenuto facendo la media aritmetica delle votazioni (ognuna da 1 a 10) ottenute nelle quattro prove previste. Nelle prime tre prove uno studente ha la media di 7/10 ma vuole ottenere almeno 8/10 come punteggio finale. Quanto deve prendere all’ultima prova?

(a) Almeno 8/10.

(b) Almeno 9/10.

(c) Almeno 10/10.

(d) Non pu` o ottenere la media di 8/10.

8. L’equazione |x| + x = a con a ∈ R verifica la seguente propriet`a (a) Pu` o ammettere infinite soluzioni per qualche valore di a.

(b) Ammette sempre la soluzione x = a/2.

(c) Ammette sempre esattamente due soluzioni distinte per ogni a reale.

(d) Pu` o ammettere la soluzione nulla per qualche a ̸= 0.

9. Determinare per quali valori di x ` e soddisfatta la disequazione 3x + 2 < √

5x ² + 1.

(a) E soddisfatta per x < 0. ` (b) E soddisfatta per x < ` − 3

2 +

√ 6 2 . (c) E soddisfatta per ` − 3

2 −

√ 6

2 < x < − 3 2 +

√ 6 2 . (d) E soddisfatta per x < ` − 3

2 −

√ 6 2 .

1–D

10. Le soluzioni in [0, 2π] di sin ² x ≥ 1 4 sono (a) x ≥ π

6 . (b) x ∈ [ π

6 , 5 π 6 ]

. (c) x ∈ [ π

6 , 5 π 6

] ∪ [ 7 π

6 , 11 π 6 ]

. (d) x ∈ [ π

3 , 2 π 3

] ∪ [ 4 π

3 , 5 π 6 ]

.

11. Quale delle seguenti espressioni ha senso in R?

(a) √

log(1/2).

(b) log(cos 0).

(c) log(cos π).

(d) 0 ^{cos π} .

12. Quali delle seguenti diseguaglianze ` e vera per ogni numero reale x?

(a) x ≤ x ² . (b) 2x ≤ x ² + 1.

(c) −x ² ≤ x ³ .

(d) Nessuna delle precedenti.

13. Il numero log ₂ (192) ` e uguale a (a) 9.

(b) 6 log ₂ 3.

(c) 6 + log ₂ 3.

(d) 7.6147.

14. Quale delle seguenti uguaglianze ` e vera per ogni a e b reali e n ≥ 1?

(a) (a + b) ⁿ = a ⁿ + b ⁿ . (b) a ⁿ · b = a · b ⁿ . (c) a ⁿ ( −b) ⁿ = ( −a) ⁿ b ⁿ . (d) a ⁻ⁿ b ⁿ = a ⁿ b ⁻ⁿ .

15. In quale sottoinsieme di [0, π] ` e definita la funzione f (x) = tan x cot x?

(a) In ]0, π[ \{π/2}.

(b) In tutto l’intervallo [0, π].

(c) In ]0, π[.

(d) Nessuna delle precedenti.

2–D