DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Gaetano Tarcisio Spartà

Testo completo

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Gaetano Tarcisio Spartà

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Indice

1. FORMA NORMALE ... 3 2. SEGNO DEL POLINOMIO DI SECONDO GRADO ... 5 3. ESEMPI ... 7

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Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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1. F

ORMA NORMALE

Siano a, b, c numeri reali, con a diverso da zero. Una disequazione di secondo grado (in forma normale) si presenta come una delle seguenti espressioni:

1) 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 , 2) 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 , 3) 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 , 4) 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 .

In ognuno di questi casi, ci poniamo il problema di determinare quei valori di x (come numero reale) che rendono vera la disuguaglianza (cioè, le soluzioni della disequazione).

Nel prossimo paragrafo vedremo una procedura generale che permette di determinare il segno di un polinomio di secondo grado (al variare dei valori assunti dalla sua variabile), e, in questo modo, di risolvere la disequazione in ognuno dei quattro casi.

Vediamo adesso, invece, qualche esempio in cui la risoluzione della disequazione è immediata.

Esempio 1

Consideriamo la disequazione 𝑥2 > 0 .

Osserviamo che se un numero reale è diverso da zero allora il suo quadrato è maggiore di zero (per esempio, 52 = 5 ∙ 5 = 25 > 0 , (−5)2 = (−5) ∙ (−5) = 25 > 0 ). Inoltre, il quadrato di zero è zero. Allora, la disequazione ha come soluzioni tutti i numeri reali diversi da zero. L’insieme delle soluzioni della disequazione si può anche scrivere in forma di unione di intervalli, come

(−∞ , 0) ∪ (0 , +∞).

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Esempio 2

Consideriamo la disequazione 𝑥2 ≥ 0 .

Osserviamo che il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero (maggiore se il numero è diverso da zero, uguale se il numero è uguale a zero). Allora, la disequazione ha come soluzioni tutti i numeri reali. L’insieme delle soluzioni della disequazione si può anche scrivere in forma di intervallo, come

(−∞ , +∞).

Esempio 3

Consideriamo la disequazione

𝑥2 + 1 > 0 .

Sottraendo 1 a entrambi i membri, essa risulta equivalente a 𝑥2+ 1 − 1 > 0 − 1 ,

cioè

𝑥2 > −1 .

Abbiamo visto che il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dunque è anche maggiore di -1. Allora, la disequazione ha come soluzioni tutti i numeri reali. L’insieme delle soluzioni della disequazione si può anche scrivere in forma di intervallo, come

(−∞ , +∞).

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Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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2. S

EGNO DEL POLINOMIO DI SECONDO GRADO Per risolvere la disequazione di secondo grado (in forma normale, per ognuno dei quattro casi), basta saper determinare i valori della variabile x per i quali il polinomio di secondo grado

𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

è maggiore di zero, i valori di x per i quali è minore di zero, e i valori di x per i quali è uguale a zero. Si tratta, in altre parole, di studiare il segno del polinomio di secondo grado al variare di x.

Nello studio dell’equazione di secondo grado 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

abbiamo incontrato il discriminante

∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐 . Distinguiamo i tre casi ∆> 0 , ∆= 0 , ∆< 0 .

Caso 1: ∆> 𝟎 .

Come sappiamo, se il discriminante è maggiore di zero, allora l’equazione di secondo grado ammette due soluzioni (come numeri reali) e, in particolare, se indichiamo le soluzioni con 𝑥1 , 𝑥2 , esse risultano

𝑥1 =−𝑏 − √∆

2𝑎 e

𝑥2 = −𝑏 + √∆

2𝑎 .

Inoltre, si dimostra che vale l’uguaglianza tra polinomi 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

= 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

(fattorizzazione del polinomio in fattori di primo grado).

A partire da questa uguaglianza, si dimostra che il polinomio:

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- Nei punti esterni all’intervallo individuato da 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 ha lo stesso segno di a.

- Nei punti interni all’intervallo individuato da 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 ha segno opposto a quello di a.

- Nei punti 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 , come sappiamo, è uguale a zero.

Caso 2: ∆= 𝟎 .

Come sappiamo, se il discriminante è uguale a zero, allora l’equazione di secondo grado ha un’unica soluzione e, in particolare, se indichiamo la soluzione con 𝑥1 , essa risulta

𝑥1 =−𝑏 2𝑎 .

Inoltre, si dimostra che vale l’uguaglianza tra polinomi 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

= 𝑎(𝑥 − 𝑥1)2

(fattorizzazione del polinomio in fattori di primo grado).

A partire da questa uguaglianza, si vede subito che il polinomio:

- Per 𝒙 diverso da 𝒙𝟏 , ha lo stesso segno di a.

- Per 𝒙 uguale a 𝒙𝟏 , è uguale a zero.

Caso 3: ∆< 𝟎 .

Come sappiamo, se il discriminante è minore di zero, allora l’equazione di secondo grado non ha soluzioni (come numeri reali). Inoltre, si dimostra che il polinomio, per ogni valore di x, ha lo stesso segno di a.

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3. E

SEMPI

Nel paragrafo precedente abbiamo descritto una procedura generale (cioè, per a, b, c qualsiasi) per determinare il segno del polinomio di secondo grado. Adesso vediamo degli esempi nei quali la procedura è utilizzata per risolvere delle disequazioni di secondo grado.

Esempio 4

Consideriamo la disequazione (di secondo grado) 𝑥2+ 3𝑥 + 2 > 0 .

Per studiare il segno del trinomio, consideriamo l’equazione (associata)

𝑥2+ 3𝑥 + 2 = 0 . Essa corrisponde alla forma normale con

𝑎 = 1 , 𝑏 = 3 , 𝑐 = 2 . Il discriminante è

∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐

= 32− 4 ∙ 1 ∙ 2

= 9 − 8 = 1 . Osserviamo che

∆> 0 ,

dunque l’equazione ha due soluzioni, che indichiamo con 𝑥1 , 𝑥2 , dove 𝑥1 =−3 − √∆

2 ∙ 1

=−3 − 1 2

= −4

2 = −2 e

𝑥2 =−3 + √∆

2 ∙ 1

=−3 + 1 2

(8)

= −2

2 = −1 .

Siamo nel caso 1 del paragrafo precedente, dunque il polinomio ha lo stesso segno di a (in questo caso, positivo) nei punti esterni all’intervallo individuato da 𝑥1 e 𝑥2 . Cioè, la disequazione è verificata nei punti esterni all’intervallo

(−2 , −1).

In altri termini, l’insieme delle soluzioni della disequazione è (−∞ , −2) ∪ (−1 , +∞) .

Esempio 5

Consideriamo la disequazione (di secondo grado)

−2𝑥2 + 𝑥 − 2 ≥ 0 .

Per studiare il segno del trinomio, consideriamo l’equazione (associata)

−2𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 . Essa corrisponde alla forma normale con

𝑎 = −2 , 𝑏 = 1 , 𝑐 = −2 . Il discriminante è

∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐

= 12− 4 ∙ (−2) ∙ (−2)

= 1 − 16 = −15 . Osserviamo che

∆< 0 .

Siamo nel caso 3 del paragrafo precedente, dunque il polinomio ha lo stesso segno di a per ogni valore di x. In altri termini, il polinomio è sempre minore di zero. Allora, la disequazione non è mai verificata (cioè, non ha soluzioni). L’insieme delle soluzioni, dunque, è l’insieme vuoto ∅ .

figura

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