Dinamica del Corpo Rigido

Dinamica del Corpo Rigido

Corpo rigido

• È un caso particolare dei sistemi di punti materiali

• È di grande importanza per le applicazioni pratiche

• È di grande importanza per le applicazioni pratiche

• Un corpo è detto rigido se le distanze tra tutte le possibili coppie di punti del corpo non cambiano

2

Corpo rigido

• Astrazione che si applica tanto meglio quanto più i corpi sono indeformabili

• Un corpo perfettamente rigido non esiste

• Un corpo perfettamente rigido non esiste

• Dal punto di vista microscopico la rigidità dei solidi è dovuta a forze di natura elettrica tra gli atomi costituenti

3

Moto del corpo rigido

• È determinato da una o più forze esterne, generalmente applicate in punti diversi del corpo

• Le forze sono quindi caratterizzate da una

• Le forze sono quindi caratterizzate da una forza risultante F e da un momento risultante

ττττ

• Il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è nullo quindi la variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle forze esterne

4

Moto del corpo rigido

• Le leggi fondamentali sono le equazioni cardinali della meccanica

r

F = M r

a ^{d L}

r r =

τ

• Si può anche usare la conservazione dell’energia meccanica nel caso in cui le forze in gioco siano conservative o si abbia attrito statico

F = Ma

dt L r d

τ =

= 0

∆ E

Equilibrio statico del corpo rigido

• Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se:

– è inizialmente in quiete:

– P e L non variano nel tempo

= 0 P

r

= 0 L

r

6

dP 0

dt = r

dL 0 dt =

r

Equilibrio statico del corpo rigido

• Dalla prima eq. segue che

• Dalla seconda che

0 F r =

τ r = 0

• Il momento è indipendente dal polo scelto e quindi il polo può essere un punto qualunque

7

Traslazione di un corpo rigido

• Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in genere curvilinee, con la stessa velocità, in genere varia

• Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la

• Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la conoscenza del moto del CM basta per conoscere il moto di tutti i punti del corpo

• Gli assi del sistema solidale col corpo rimangono sempre paralleli a quelli del SCM

8

Traslazione di un corpo rigido

• QM ed energia cinetica del corpo rigido:

v

M P r r

=

2 1

Mv

K =

• L’equazione del moto del CM è

• Il momento angolare è:

a

M F r r

=

9

CM CM CM

L r = r r × Mv r = r r × P r

Rotazione di un corpo rigido

• Ogni punto descrive un moto circolare, la traiettoria è un arco di circonferenza, di raggio diverso per ogni punto considerato, ma con centro su una stessa retta, detta asse ma con centro su una stessa retta, detta asse di rotazione

• La rigidità del corpo implica che tutti i punti abbiano la stessa velocita` angolare

ω ωω ω

dato istante, parallela all’asse di rotazione

10

Rotazione di un corpo rigido

• Se l’asse è fisso nel tempo

ω ωω ω

• Nel caso più generale

ω ωω ω

11

Moto di un corpo rigido

• Traslazione e rotazione sono i moti più importanti, in quanto vale il seguente teorema di meccanica razionale:

ogni spostamento infinitesimo puo` sempre essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime con velocita` v e

ωω ω ω

12

• Per descrivere una rototraslazione si utilizzano le equazioni cardinali:

– il teorema del moto del CM

– il teorema del momento angolare

Moto di un corpo rigido

– il teorema del momento angolare

• In una rototraslazione le velocita` v e

ω ωω ω

generale, indipendenti

• In situazioni in cui è presente un vincolo le due velocita` possono essere legate da una relazione che elimina tale indipendenza (rotolamento puro)

13

Momento angolare di un corpo rigido in rotazione

• Calcoliamo il momento angolare di un corpo esteso in rotazione attorno ad un asse, supposto inizialmente fisso, con velocita` angolare

ω ωω ω

rⁱ

ω ωω ω

zⁱ

ρρρρⁱ

vⁱ O

fisso, con velocita` angolare

ω ωω ω

• Scomponiamo rⁱ(t) lungo l’asse z di rotazione e della direzione ad esso perpendicolare

( )

i i i i i i

i i

L ^r = ∑ r ^r × m v ^r = ∑ m r ^r × × ω ^r r ^r

( )

i i i

r t r = + z r ρ r

( ^, )

i

x y

ρ r =

14

Momento angolare di un corpo rigido in rotazione

ω ωω ω ρρρρ

15

r_i

z_i

ρρρρ

v_i O

Scomposizione del momento angolare

( ) ( )

i i i i i

i

L ^r = ∑ m ρ ^r + z ω ⁾ × ^  ω ρ ^r × ^r + z ω ^{) } 

( ) [ ]

L ^{r =} ∑ m ρ ^{r +} z ω ^{) × × + ×} ω ρ ω ^{r r r} z ω ⁾

[ ] ( [ ] )

i i i i i i i i

i i

L ^r = ∑ r ^r × m v ^r = ∑ m z ^r + ρ ^r × × ω ^r z ^r + ρ ^r

16

( ) [ ]

i i i i i

i

L ^{r =} ∑ m ρ ^{r +} z ω ^{) × × + ×} ω ρ ω ^{r r r} z ω ⁾

( ) [ ⁰ ]

i i i i

i

L ^r = ∑ m ρ ^r + z ω ⁾ × × + ω ρ ^{r r}

( ) ( )

i i i i i i

i i

L ^r = ∑ m ρ ω ρ ^r × × ^{r r} + ∑ m z ω ω ρ ⁾ × × ^{r r}

[ ]

i i i j j j

i j

L ^{r =} ∑ m ρ ω ρ ^{r × × r r +} ∑ m z ω ω ρ ^{) × } _ ^{r × r } _

Momento angolare di un corpo rigido in rotazione

ω ω ρ ^{) ×  r × r  = −} ρ ω ^r

[ ]

ρ ω ρ r × × r r = ρ ω r

17

j j

ω ω ρ ^{) × } _ ^{r × r } _ ^{= −} ρ ω ^r

[ ]

i i i

ρ ω ρ r × × r r = ρ ω r

2

//

i i j j j

i j

L = ^  m ρ ω ^  − ^  m z ρ ω ^  ≡ L + L

 ∑   ∑ 

r r r r r

Momento angolare

• Il termine longitudinale è proporzionale al vettore velocita` angolare

( )

2 2 2

// i i i i i

L = ^ m

ρ ω

ω

ω



∑

∑

r r r r

• La costante di proporzionalità è detta momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione scelto

– è indipendente dalla posizione del polo sull’asse (ρ non dipende dalla posizione di O)

– è indipendente dal tempo (ρ non dipende da t perchè il corpo è rigido)

( )

i i

   



∑

∑

18

Momento angolare trasversale

• Il termine trasversale

– dipende dal tempo (tramite x e y oppure ρρρρ_l⁾

– dipende dalla posizione del polo sull’asse (tramite z)

• quindi non ci piace tanto perchè ci complica

( )

k k k k k k k

k k

L ^r

= − ω ∑ m z x i ⁾ + y j ⁾ = − ω ∑ m z ρ ^r

• quindi non ci piace tanto perchè ci complica notevolmente la vita

• Questo termine è 0 quando l’asse di rotazione

– è un asse di simmetria della distribuzione di massa del corpo (allora per ogni punto x,y,z esiste un punto -x,-y,z che compensa il primo)

– è un asse principale d’inerzia (vedi oltre)

19

Momento d’inerzia

• Per definire il momento d’inerzia di un corpo, bisogna conoscerne la distribuzione di

massa, cioè la distanza degli elementi di massa dall’asse attorno a cui ruota

massa dall’asse attorno a cui ruota

• Per una distribuzione continua di massa

(

)

i i i i i

i i

I = ∑ m x + y = ∑ m ρ

(

)

corpo corpo

V V

I = ∫ x + y dm = ∫ ρ dm

20

Momento d’inerzia

• Ne segue che cambiando l’asse di rotazione, cambia il momento d’inerzia, cioè la costante (indipendente dal tempo!) che lega il momento angolare longitudinale alla velocità angolare

angolare longitudinale alla velocità angolare

• I è una grandezza scalare estensiva, cioè tale che per un sistema scomponibile in parti, può essere calcolata come somma dei contributi delle singole parti

• non è una proprietà intrinseca del corpo, perchè dipende rispetto a quale asse si calcola

21

Assi principali d’inerzia

• Teorema di Poinsot (senza dimostrazione):

– dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, è sempre possibile trovare tre

direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per ognuna delle quali L è parallelo a ωωωω

• Questi assi sono detti assi principali d’inerzia

• Se O coincide con il CM, gli assi si dicono assi centrali d’inerzia

22

Calcolo del momento d’inerzia

• Asta omogenea

• Disco omogeneo

• Sfera omogenea

• Sfera omogenea

23

Momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza l e massa M:

i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo : Esempi di calcolo del Momento di inerzia

z

dm x

l

3

2 2

0

3

z

Corpo

I ≡ ∫ x dm = ∫ x λ dx = λ

l

l

densità lineare

M dm λ = = dx

l

I M

z = l ²

3

x

x dm

Momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza l e massa M:

ii) rispetto ad un asse perpendicolare passante per il suo centro di massa : Esempi di calcolo del Momento di inerzia

dm

z

l / 2

I

≡ ² ∫ x

dx = ² ₂₄

0

2 3

λ λ

l^/

l

I M

z

= l

1 2

x dm x

G

i) Momento d’inerzia di un disco omogeneo di raggio R e massa M rispetto all’asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :

dm = σ dS = σ π ² rdr

densità superficiale

z

G

r

dr

Esempi di calcolo di momenti di inerzia

2

dm = σ π rdr

∫ ∫

(

)

4 2

2 2

0

2 2

4 2 2

G

R z

C orpo

R R

R M R

I ≡

∫

∫

R

r

2 2

2

2 0

2 2

2 2

r

R M

M R

σ π σ π σπ σ R

π

 

=   = = ⇒ =

 

ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M :

( )

dM = ρ dV = ρπ r

z dz

z

r z ( ) = R

− z

dz

Esempi di calcolo di momenti di inerzia

Rotazione semicirconferenza di raggio R

R

4

3 M

R

ρ ⁼ π

1 2

d I = 2 r d M

1

1

2 2

dI = r ρπ r dz = ρπ r dz

m.i. disco infinitesimo

ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M :

2 2 2

2 1 ( )

R R

I

= ∫ dI = ∫ ρπ R − z dz

z

r z ( ) = R

− z

dz

Esempi di calcolo di momenti di inerzia

0

2 ( )

G

2

I

dI ρπ R z dz

= ∫

= ∫ −

5

5 2 5 8 5

3 5 1 5

R R R R

ρπ ^ − + ^ = ρπ

  I _G = 2 M R

5

2

R

(

)

0

2

R

I

= ∫ ρπ R − R z + z dz

Come facilitare il calcolo del momento d’inerzia

• I calcoli più semplici sono quelli per assi di rotazione coincidenti con assi di simmetria passanti per il CM

simmetria passanti per il CM

• Per assi paralleli a questi assi, esiste un teorema che permette di calcolare semplicemente i momenti d’inerzia relativi

29

Teorema di Huygens-Steiner

• Detto I il momento d’inerzia di un corpo di massa m, rispetto ad un asse a

passante per il CM, il momento d’inerzia passante per il CM, il momento d’inerzia rispetto ad un asse a’ parallelo al primo e distante d da questo e`

' I md

I = +

CM

d

a a’

30

• Detto P il generico punto del corpo, tracciamo il

piano passante per P e perpendicolare ai due assi

Teorema di Huygens-Steiner

d

ρρρρ P ρρρρ^’

a a’

perpendicolare ai due assi paralleli

• Sia

ρρρρ

dall’asse a e

ρρρρ

• Vale la relazione

d r r

r = ρ −

ρ ^'

CM

ρρρρ d

31

• Il momento d’inerzia rispetto ad a’ è

Dimostrazione del teorema di Huygens-Steiner

( )

' '2

corpo corpo

I =

∫ ρ

∫ ρ

∫ ∫ ∫

r r

r r

• Il secondo termine è nullo, in quanto il centro di massa appartiene all’asse a

• quindi

2 2

2

2 2

corpo corpo corpo

CM

dm d dm d dm

I d m md

ρ ρ

ρ

− + =

− ⋅ +

∫

∫

∫

r r

'

I = + I md

z z’

Esempi di applicazione del teorema di Steiner :

G

2 /

= l d

I I Md

M M M

z = z

+ =

= + 

  

  =

'

2

2 2 2

12 2 3

l l l

dm

Momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse ad esso perpendicolare passante per un punto P sul suo bordo :

z z’

P d = R G

Esempi di applicazione del teorema di Steiner :

I I M d

M R M R M R

z _P

=

+ =

= + =

'

2 2

2

2

2

3

2

Energia cinetica di rotazione

• Partendo dalla definizione di K

• Ricordando che

2 2

2 2

2 2

2 1 2

1 2

1 2

1 ^{m v m}

ω ρ

ρ ω

ω

K

i

i i i

i i

i

i

i  =



 



= 

=

=

∑ ∑ ∑

L ^r

⁼ I ω ^r

• Ricordando che

• Possiamo scrivere

• L’energia cinetica di rotazione dipende dal momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione, ovvero dal

momento angolare longitudinale

L

⁼ I ω

I L L

I K

2 //

//

2

2 1 2

1 2

1 = =

= ω ω

35

Corpo in rotazione intorno all’asse z

Teorema di Koenig

z z’

ω

d

G ^vG

v

= ω d

t. di Huygens-Steiner

36

2 2 2

'

2 2

'

1 1

( )

2 2

1 1

( )

2 2

k z z

z

E I I M d

I M d

ω ω

ω ω

= = + =

= +

E

= 1 I

+ Mv

2

1 2

2 2

'

ω

Lavoro forze esterne

• In seguito all’azione di un momento esterno, la velocità angolare di un corpo viene portata dal valore iniziale

ωω ω ω

ωω ω ω

• Per il teorema dell’energia cinetica, la

• Per il teorema dell’energia cinetica, la variazione di K è uguale al lavoro delle forze agenti sul sistema

• Per un corpo rigido, solo le forze esterne danno un contributo

W

K =

∆

Lavoro e potenza

• In termini infinitesimi

• Integrando gli ultimi due membri otteniamo il lavoro come integrale del momento nella variabile angolare

dW E

d d

I dt dt

I d d

I I

d

dK  = = = = =



 



= 

ω

ω ω θ α α θ τ

θ

1

come integrale del momento nella variabile angolare

• Esprimiamo la potenza in funzione del momento e della velocita` angolare

E F

I

E

W

dW

d = ∫ =

Θ

∫

0

//

θ τ

ω θ τ

τ

=

=

= dt

d dt

dW

c

38

Rotazione intorno ad un asse fisso

• È un caso particolare di grande importanza pratica nello studio di macchine e motori

• Il vettore

ωω ω ω

mentre modulo e verso possono cambiare nel mentre modulo e verso possono cambiare nel tempo

• Se

ω ωω ω

• è diverso da zero e diretto lungo l’asse

dt d ω α

r r

=

39

Rotazione con asse fisso e L // ωω ω ω

• Il caso più semplice è quello in cui il momento angolare è parallelo all’asse, ovvero la componente trasversale e` nulla; in tal caso

ω ^r

r

I L =

• L puo` variare in modulo e verso, ma non in direzione, quindi la sua derivata è parallela a ωωωω

• Quindi, il teorema del momento angolare impone che il momento delle forze ττττ che fa variare L sia anch’esso parallelo a ωωωω

ω

I L =

α τ

τ ^I

dt dL dt

L

d ⇔ = =

=

r r

40

• Risolvendo l’equazione rispetto all’accelerazione

• Noto il momento, si può ricercare l’integrale

Rotazione con asse fisso e L // ω ωω ω

I dt

d

ω τ

α

• Noto il momento, si può ricercare l’integrale primo del moto

• In particolare se il momento è costante

( ) ( ) ^{− =} ∫

⁼ ∫

^dt

dt I t

0 //

0

0 α τ

ω ω

( ) ( )

t ω 0 τI^//

ω − = ₄₁

Slittamento

• Immaginiamo un corpo cilindrico o sferico in moto rispetto alla superficie di appoggio

• Se le velocità di tutti i punti sono uguali e sono parallele al piano tangente localmente alla superficie, abbiamo un moto di traslazione e il corpo slitta sulla superficie

C

42

Rotolamento

• In generale un corpo rotola sulla superficie

• Se il punto di contatto C tra corpo e

• Se il punto di contatto C tra corpo e superficie è fermo, istante per istante, si ha rotolamento puro

• Altrimenti avremo contemporaneamente slittamento e rotolamento

43

Rotolamento puro

• Tra superficie e corpo esiste una forza di attrito che mantiene fermo il punto di contatto C, istante per istante

contatto C, istante per istante

• La velocità del punto C (o di qualsiasi altro punto) a distanza r dal CM è

v r

= r

v

+ r

v

= r

v

+ r

ω ^{× r r}

44

Rotolamento puro

• La condizione di puro rotolamento è

• ovvero

• In modulo la velocità del CM è

v r _CM = − r

ω

v r _C = 0

v

= ω ^r

• In modulo la velocità del CM è

• E l’accelerazione

• Cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione precisa tra velocità del CM e

velocità angolare

v

= ω ^r a

= α ^r

45

Rotolamento puro

• A questo moto si può applicare la legge di conservazione dell’energia meccanica

• Questo è possibile perché la forza d’attrito agisce sul punto di contatto, che è fermo, e agisce sul punto di contatto, che è fermo, e quindi non compie lavoro

• Nuovamente questo è un caso limite: un corpo libero che rotola su un piano orizzontale, presto o tardi si arresta

46

Attrito volvente

• Si modellizza questo fenomeno con una nuova forma di attrito, detto volvente, che è attivo tra il corpo e

la superficie di appoggio ^N

la superficie di appoggio

• È causato dalla deformazione locale del corpo e della superficie

• Per una ruota in moto, la retta d’azione della componente normale N della reazione vincolare alla superficie d’appoggio non contiene il centro della ruota

h

47

Attrito volvente

• L’effetto è modellizzato da un momento che si oppone al moto

• h è il braccio di N ed è detto coefficiente di

v

= hN

τ

• h è il braccio di N ed è detto coefficiente di attrito volvente)

• L’effetto dell’attrito volvente è sempre molto minore di quello dell’attrito radente e statico, per cui è generalmente trascurabile

• Da qui deriva il grande vantaggio che si ottiene, in molti casi, di dotare i veicoli di ruote piuttosto che di pattini ⁴⁸

Moto di rotolamento

• Consideriamo un corpo di massa m e raggio r che rotola su una superficie piana orizzontale sotto l’azione di una forza F costante applicata

all’asse _y ^F

all’asse

• Sul corpo agiscono anche la forza peso W e la reazione del vincolo R

• R si scompone in una forza normale al vincolo N e una forza di attrito A parallela al vincolo

• A deve opporsi al moto del punto di contatto verso +x e quindi dev’essere diretta verso -x

F W

N

Α ΑΑ

Α ^x

y

49

Moto di rotolamento

• Dalla 1^a equazione cardinale:

• che proiettata lungo x e y dà

a

m N

W A

F r r r r r

= +

+ +

=

−

• dato che l’accelerazione è diversa da zero solo lungo x, mentre è nulla lungo y

• La seconda equazione permette di trovare N:

• La prima equazione contiene l’incognita e la forza d’attrito A

maCM

A

F − = −W + N = 0

N = W

50

a

Moto di rotolamento

• Dalla 2^a equazione cardinale:

dt dL

τ

=

• Scelto il CM come polo si ha:

ω

dt

τ =

( ) ^{I ω I α}

dt

rA = d =

51

Moto di rotolamento

• Questa equazione contiene l’incognita

α

forza d’attrito A

• Distinguiamo due casi:

• attrito statico:

• attrito dinamico:

max s

A ≤ A = µ N

A = µ

N

52

Moto di rotolamento puro

• In totale abbiamo due equazioni e tre incognite

ma

A

F − = rA ⁼ I α

• Con la condizione di rotolamento:

• Risolvendo per le incognite:

a

= α ^r

a_CM = Fr²

I + mr^{2 2}

A FI

I mr

= +

α

I + mr^{2 53}

ma

A

F − = rA ⁼ I α

Sfera che rotola su piano inclinato

54

Sfera che rotola su piano inclinato

55

Sfera che rotola su piano inclinato - Energia

 I 

2

2 2 2

2

1 1 1 1

2 2 2 2

CM

CM CM CM

Mgh K Mv I Mv I v

ω R

= = + = +

56 2

2

2 2

2 2

2 2

2 1

7 10

2 5 7

2 1

5 ; 2 3 4

2 2 3

CM

CM CM

sfera cilindro

CM CM

gh v I

MR

sfera gh v v gh

I I

MR MR

cilindro gh v v gh

 

=  + 

 

  

=   ⇒ =

  

= = → 

 =    ⇒ =

  



APPROFONDIMENTI

57

Pendolo fisico

• E` un qualunque corpo rigido oscillante attorno ad un asse orizzontale (non passante per il CM)

• Consideriamo la sezione del corpo _CM

O θ

• Consideriamo la sezione del corpo r

perpendicolare all’asse e contenente il CM

• Sia O la traccia dell’asse di rotazione e r la distanza di O dal CM, W il peso del corpo e θ l’angolo formato dal da r con la verticale

CM

W θ

58

• L’asse è vincolato a rimanere fisso, esisterà quindi una forza vincolare V che agisce sul corpo

• Come ogni forza vincolare, essa è, a priori,

Pendolo fisico

CM O

r V

• Come ogni forza vincolare, essa è, a priori, incognita e sarà determinata a posteriori dopo aver risolto l’equazione del moto

• Scegliamo un sistema di coordinate cilindriche con origine O, asse polare verticale e asse z = asse di rotazione con verso uscente dal foglio

CM

W θ

59

• Le componenti del peso sono

Pendolo fisico

θ θ

θ sin

cos W W

W W_r

−

=

=

O r V_θ V

V_r

• Le componenti della forza vincolare

• Entrambe le forze hanno componente z nulla

θ W sin

θ

V

V

,

CM

W θ

r

W_r W_θ

60

Pendolo fisico

• Scegliamo O come polo per il calcolo dei momenti: questo è conveniente perche’ la forza vincolare incognita ha momento nullo rispetto a O e il momento risultante

ττττ

rispetto a O e il momento risultante

ττττ

uguale al momento della forza peso

• Applichiamo al corpo le equazioni cardinali

(^CM )

F

= + = W V Ma

uur r r r

dt L d

r r =

τ W

r r r r = × τ

61

• Per i momenti si ha:

• Note le espressioni del momento di forza e del momento angolare

Pendolo fisico

dt dL_z

z = τ

momento angolare

Si ha:

• da cui si ricava la legge oraria

θ

ω

I L

= θ

τ

= ^rW

= − ^{rW sin}

( )

sin dt

I d dt

I d dt I

rW θ = d ω = ω = θ

−

62

• Per le forze abbiamo le due equazioni

Pendolo fisico

( ) ² ²



 



− 

=

−

=

=

+ dt

Mr d r

M Ma

V

W_{r r r}^CM ω θ

d2

dω θ

che ci servono per trovare le componenti della reazione vincolare

( )

2 2

dt Mr d dt r

M d Ma

V

W ^CM ω θ

θ θ

θ + = = =

2

r r

V W Mr d

dt θ

 

= − −  

 

2 2

V W Mr d

θ _{= −} θ ₊ dtθ

63

• Risolviamo ora l’equazione differenziale per

θ

• Per piccole oscillazioni possiamo confondere il

Pendolo fisico

θ θ

2 sin

2

I rW dt

d = −

• Per piccole oscillazioni possiamo confondere il seno con l’arco, ottenendo

• Equazione del moto armonico con pulsazione

Ω

e periodo

( ) ( )

2

2 2

d rW

t Asen t

dt I

θ = − θ = −Ω θ ⇒θ = Ω +φ

2 *

2 I 2 I 2 l

T rW Mgr g

π π π π

= = = =

Ω ⁶⁴

Moto di slittamento

• Nel caso di slittamento abbiamo solo due equazioni, ma anche solo due incognite perché siamo in regime di attrito dinamico in

cui:

= µ = µ

cui:

• Risolvendo per le incognite:

m

W a_CM = F −

µ

I W r

µ

α

65

d d

A = µ N = µ W

Moto di rotolamento puro

• Quand’è possibile il rotolamento puro?

Occorre che la soluzione trovata per A sia minore del valore statico massimo

FI

• Questo impone un limite al valore di F:

2 s

A FI N

I mr µ

= ≤

+

F ≤ µ

^{W I + mr}

I

Moto di rotolamento

• Il corpo sia ora sotto l’azione di un momento costante

ττττ

• Quanto detto prima per la reazione del vincolo R continua a valere, eccetto che ora la forza d’attrito deve opporsi al moto del punto di

contatto verso -x e quindi dev’essere rivolta

verso +x _ττττ

W N

Α Α Α

Α ^x

y

67

Moto di rotolamento

• 1^a equazione cardinale:

• che proiettata lungo x e y dà

a

m N

W

A r r r r

= +

+

ma A =

• Di nuovo la seconda equazione permette di trovare N:

• Dalla prima segue che quando un motore fa girare una ruota, è la forza d’attrito a spingere avanti la ruota

ma

A = − W + N = 0

N = W

68

Moto di rotolamento

• 2^a equazione cardinale:

• Scelto il CM come polo

dt dL

τ

=

• Scelto il CM come polo

• Distinguiamo, come prima, due casi.

( ) ^{ω α}

τ

dt

rA = d =

−

69

Moto di rotolamento puro

• Nel caso di rotolamento puro abbiamo tre incognite e la solita relazione tra a^CM e

α

• Possiamo quindi risolvere le equazioni di prima e trovare le incognite:

e trovare le incognite:

a_CM =

τ

I + mr^{2 2}

A mr

I mr

=

τ α

τ

I + mr²

70

Moto di rotolamento

• Nel caso di slittamento abbiamo due incognite e due equazioni

• Possiamo risolverle trovando:

• Possiamo risolverle trovando:

m a_{CM =}

µ

I

W r

µ

α

τ

71

Moto di rotolamento puro

• Quand’è possibile il rotolamento puro?

Occorre che la soluzione trovata per

Α

minore del valore statico massimo

τ

• Questo impone un limite al valore di

τ

τ ≤ µ

^{W I + mr}

mr

2 s

A mr N

I mr

τ µ

= ≤

+

72

Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L e la velocità angolare ωωωω è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :

L _j I _{j k k}

k

=

=

∑

1 3

(j= 1, 2, 3 )

L L L

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

x y z

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

x y z

x x x x y y x z z

y x x y y y y z z

z x x z y y z z z















 =















 ⋅















 ≡

+ +

+ +

+ +















 ω

ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

“Tensore di inerzia”

73

dove :

I _{x x} y z d m I _x

c o r p o

≡ ∫ ^{( 2} + ^{2 )} ≡

I _{y y} x z d m I _y

c o r p o

≡ ∫ ^{( 2} + ^{2 )} ≡ ^{I z z x y d m I z}

c o r p o

≡ ∫ ^{( 2} + ^{2 )} ≡

I _{x y} I _{y x} x y d m

c o r p o

= ≡ − ∫ ^{I x z I z x x z d m}

c o r p o

= ≡ − ∫

I _{y z} I _{z y} y z d m

c o r p o

= ≡ − ∫

gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elementi non diagonali:

la matrice d’inerzia è simmetrica

momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse x

ω ω ω ω

r r r r r r

L _O ≡

∫

∫

= ∫ ^{( x urx} + ^{y ur y} + ^{z ur z )} × ^{[ (ω y z} − ^{ω z y u) r x} + ^{(ω z x} − ^{ω x z u) r y} + ^{(ω x y} − ^{ω y x u) rz ]d m}

r

d m

ur_x r

u _y

ur_z asse di rotazione_{r r r r}

r = x u _x + y u _y + z u _z

r r r r

ω = ω _x u _x + ω _y u _y + ω _z u _z x

z

y

Gli elementi della matrice d’inerzia

74

L _x =

∫

L _x = ^ω _x ∫ ⁽ y ² + z ^{2 )} d m − ^ω _y ∫ x y d m − − ^ω _z ∫ x z d m

L _x = I _{x x} ω _x + I _{x y} ω _y + I _{x z} ω _z

e analoghe espressioni per L _y , L_z .