Geometria Algebrica A.A. 2014 – 2015 Esercizi Insiemi algebrici aﬃni, Insiemi algebrici irriducibili.

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Geometria Algebrica A.A. 2014 – 2015 Esercizi

Insiemi algebrici affini, Insiemi algebrici irriducibili.

Negli esercizi si suppone, se non scritto al contrario, che il campo k sia algebricamente chiuso di caratteristica zero, ad esempio k = C.

– Sia V ⊂ Aⁿ_k un insieme algebrico affine. Sia L una retta non contenuta in V . Allora l’intersezione di V con L `e o un insieme vuoto o un insieme finito.

– Quali degli insiemi seguenti sono insiemi algebrici affini ? 1. {(cos t, sin t)|t ∈ [0, 2π]} ⊂ R²

2. {(t, sin t)|t ∈ (0, ∞)} ⊂ R²

– Si dimostri che gli insiemi chiusi della topologia di Zariski di A²k sono gli insiemi del tipo:

∪ⁿ_i=1V (F_i) ∪ {P₁, . . . , P_m}

dove F_i sono polinomi irriducibili e P_j sono punti, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m.

Suggerimento. Si utilizzi che due curve piane hanno infiniti punti in comune se e solo se hanno una componente in comune.

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– L’insieme V ⊂ A²k `e dato delle equazioni

F (x, y) = x² + y² − 1 = 0, G(x, y) = x − 1 = 0.

Trovare I(V ). `E vero che I(V ) = (F, G)?

– Sia f : X → Y un’applicazione continua di spazi topologici.

Supponiamo che X sia irriducibile e f (X) sia denso in Y . Si dimostri che Y `e irriducibile.

– Si dimostri che ogni sottospazio affine di Aⁿk `e irriducibile.

– Sia k un campo algebricamente chiuso di char(k) 6= 2. Trovare le componenti irriducibili dell’insieme X ⊂ A³kdato dalle equazioni

x² + y² + z² = 0, x² − y² − z² + 1 = 0

– Sia V = V (I) ⊂ A³_k l’insieme chiuso affine che corrisponde all’ideale I = (x² − yz, xz − x). Si scomponga V in componenti irriducibili.

– Sia E uno spazio topologico e sia V un sottoinsieme dotato dalla topologia indotta. Si dimostri che V `e irriducibile se e solo se la chiusura V `e irriducibile.

– Sia E uno spazio topologico. Supponiamo che E sia coperto da insiemi aperti E = ∪_i∈IV_i, dove ogni V_i `e irriducibile e ogni coppia V_i, V_j ha intersezione non vuota. Si dimostri che E `e irriducibile.

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Algebra di funzioni polinomiali. Applicazioni polinomiali, isomorfismo. Funzioni razionali.

– Sia V ⊂ Aⁿ_k un insieme chiuso affine e sia A(V ) la sua algebra di funzioni polinomiali. Sia X un qualsiasi sottoinsieme di V . Si dimostri che X = V (I_V(X)), dove X `e la chiusura di X in V . In particolare X `e denso in V se e solo se I_V(X) = 0.

– Sia X ⊂ A²k la curva y² = x³. Si dimostri che l’applicazione A¹k → X data da t 7→ (t², t³) `e un omeomorfismo ma non `e un isomorfismo polinomiale.

– Si dimostri che l’iperbole xy = 1 non `e isomorfa a A¹k.

– Si dimostri che se X ⊂ A²_k `e una conica non degenere a centro allora X non `e isomorfa a A¹_k.

– Sia X una conica non degenere a centro. Allora non esistono applicazioni polinomiali dominanti u : A¹_k → X.

– Considerare l’applicazione polinomiale u : A²k → A²k data da u(x, y) = (x, xy). Trovare l’immagine u(A²k). `E vero che questo insieme `e: aperto; denso; chiuso?

– Sia V un chiuso affine irriducibile e sia ϕ ∈ k(V ) una funzione razionale. Sia P ∈ V e supponiamo che ϕ = ^f_g dove f, g ∈ A(V ), f (P ) 6= 0, g(P ) = 0. Si dimostri che P /∈ dom(ϕ).

– Sia C ⊂ A²_k la curva x² + y² = 1. Sia ϕ = ^1−y_x . Si calcoli il dominio di ϕ.

(4)

Insiemi algebrici proiettivi.

– Sia u : P¹ → P³ l’applicazione data di

u(λ : µ) = (λ³ : λ²µ : λµ² : µ³)

Si dimostri che l’immagine X = u(P¹) `e l’insieme proiettivo definito dalle equazioni M_i,j = 0, dove M_i,j sono i minori 2 × 2 della matrice

x₀ x₁ x₂ x₁ x₂ x₃

– Sia u : P¹ → Pⁿ l’applicazione data di

u(λ : µ) = (λⁿ : λⁿ⁻¹µ : . . . : λµⁿ⁻¹ : µⁿ)

Si dimostri che l’immagine X = u(P¹) `e l’insieme proiettivo definito dalle equazioni M_i,j = 0, dove M_i,j sono i minori 2 × 2 della matrice

x₀ x₁ . . . x_n−1 x₁ x₂ . . . x_n

N.B. X `e detta curva normale razionale di grado n.

– Sia X ⊂ Pⁿ un insieme quasiproiettivo. Si dimostri che X `e insieme aperto nell’insieme proiettivo X.

– Siano x₁, x₂, . . . , x_m ∈ Pⁿ punti dello spazio proiettivo. Si dimostri che esiste un iperpiano H, tale che xi ∈ H per ogni i./

Suggerimento: Se Pⁿ = P(V ) si consideri lo spazio proiettivo duale P(V^∗) che parametrizza gli iperpiani in Pⁿ.

– Nell’esercizio precedente supponiamo che m ≥ 2. Si dimostri che esiste un iperpiano H, tale che x1 ∈ H e x_i ∈ H per ogni/ i ≥ 2.

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Fasci. Spazi con funzioni. Variet`a algebriche.

– Sia (X, OX) uno spazio con funzioni. Sia x ∈ X. Si considerino le coppie (f, U ) dove U `e un insieme aperto di X contenente x e f ∈ O_X(U ). Due coppie (f, U ) e (g, V ) sono equivalenti se esiste un intorno W di x contenuto in U ∩ V tale che f |_W = g|_W. Le classi di equivalenza di tali coppie si dicono germi del fascio O_X nel punto x e l’insieme dei germi si denota con O_X,x. Si dimostri che O_X,x `e un anello locale con ideale massimale M_x = {(f, U )|f (x) = 0}.

– Sia X ⊂ Aⁿk un insieme chiuso affine. Sia OX il fascio delle funzioni regolari su X. Sia x ∈ X. Sia mx l’ideale massimale di A = A(X) corrispondente a x. Sia S = A \ m_x. Si dimostri che l’anello dei quozienti A_m_x := S⁻¹A `e isomorfo all’anello O_X,x dell’esercizio precedente.

– Siano (X, O_X) e (Y, O_Y) due spazi con funzioni. Sia u : X → Y un morfismo. Si dimostri che per ogni x ∈ X l’applicazione u induce un omomorfismo di k-algebre locali u^∗_x : O_Y,u(x) → O_X,x. Si dimostri che un morfismo u : X → Y è isomorfismo se e solo se u è omeomorfismo tale che per ogni x ∈ X l’omomorfismo u^∗_x : O_Y,u(x) → O_X,x è surgettivo.

– Siano (X, O_X) e (Y, O_Y) due spazi con funzioni. Un morfismo u : X → Y si dice immersione chiusa se: a) Z = u(X) è un sottoinsieme chiuso di Y ; b) il morfismo u : X → Z è un isomorfismo, dove Z è dottato del fascio strutturale O_Z = O_Y|_Z. Si dimostri che un morfismo u : X → Y è immersione chiusa se e solo se: (i) u(X) è un insieme chiuso in Y ; (ii) l’applicazione u : X → u(X) è un omeomorfismo; (iii) per ogni punto x ∈ X l’omomorfismo di algebre locali u^∗_x : O_Y,u(x) → O_X,x è surgettivo.

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– Sia (X, OX) uno spazio con funzioni. Sia Y ⊂ Aⁿk un insieme chiuso affine e sia OY il suo fascio di funzioni regolari. Si dimostri che vi `e una corrispondenza biunivoca tra i morfismi u : X → Y degli spazi con funzioni (X, O_X) e (Y, O_Y) e gli omomorfismi delle k-algebre ϕ : A(Y ) → Γ(X, O_X).

– Si dimostri che Γ(Pⁿ, O_Pⁿ) = k.

– Si dimostri che ogni morfismo Pⁿ → A^m trasforma Pⁿ in un punto. In particolare Pⁿ `e isomorfo a una variet`a quasi affine se e solo se n = 0.

– Si dimostri che la varietà quasiaffine V = A² \ {(0, 0)} non è una varietà affine.

Suggerimento. Calcolare Γ(V, O_V) e utilizzare il teorema degli zeri per le variet`a affini.

– Si dimostri che V = Aⁿ \ {(0, . . . , 0)} `e una variet`a affine se e solo se n = 1.

– Sia V ⊂ Pⁿuna variet`a quasi proiettiva. Siano F₀(T ), . . . , F_m(T ) polinomi omogenei dello steso grado nelle variabili T = (T1, . . . , Tn).

Supponiamo che per ogni x ∈ V esiste un Fi(T ) tale che Fi(x) 6=

0. Allora l’applicazione φ : V → P^m data di φ(x) = (F₀(x) : · · · : F_m(x)) `e un morfismo.

– Sia V ⊂ Pⁿ una variet`a quasi proiettiva. Si dimostri che un’applicazione ϕ : V → P^m `e morfismo se e solo se per ogni punto P ∈ V esiste un intorno U e polinomi omogenei dello stesso grado F₀(T ), . . . , F_m(T ) tali che la restrizione ϕ|_U ha la forma dell’esercizio precedente.

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– Se X = (xij) `e una matrice m × (m + n) con coefficienti nel campo k di rango m denotiamo con W = [X] il sottospazio di k^m+n di dimensione m generato dalle righe di X. Consideriamo l’applicazione

u : G(m, m + n) → P^N data di

W = [X] 7→ (. . . : M_i₁_···i_m : . . .)

dove M_i₁_···i_m, con i₁ < · · · < i_m, sono tutti i minori m × m della matrice X. Si dimostri che:

(i) u `e applicazione ben definita;

(ii) u `e un morfismo;

(iii) u `e applicazione iniettiva.

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Variet`a quasi proiettive

– Si dimostri che tra 9 punti in P² passa almeno una cubica.

– Dati 9 punti in P³ si dimostri che esiste almeno una quadrica che li contiene.

– Sia m = r`, ` ≥ 2. Denotiamo con T_` il sottoinsieme di P^νn,m che corrisponde ai polinomi omogenei in n + 1 variabili che sono potenze `-esime di polinomi di grado r. Si dimostri che T_` `e un sottoinsieme chiuso proiettivo, proprio di P^νn,m.

– Si dimostri che la variet`a di Segre Σn,m ⊂ P(n+1)(m+1)−1 non `e contenuta in nessun iperpiano di P(n+1)(m+1)−1.

– Sia X = A² \ {x} dove x è un punto. Si dimostri che X non è isomorfa ne a una varietà affine, ne a una varietà proiettiva.

– Si dimostri che la varietà quasi proiettiva V = P² \ {x} non è isomorfa ne a una varietà quasi affine, ne a una varietà proiettiva.

Suggerimento. Si calcoli Γ(V, O_V).

– Si dimostri che la varietà quasi proiettiva P¹ × A¹ non è isomorfa ne a una varietà quasi affine, ne a una varietà proiettiva.

(9)

– Consideriamo l’applicazione di Segre s1,1 : P¹ × P¹ → P³. Sia Σ1,1 la quadrica w00w11 − w₀₁w10 = 0. Per ogni α = (α0 : α₁) ∈ P¹ poniamo L_α = s_1,1(α × P¹) e per ogni β = (β₀ : β₁) ∈ P¹ poniamo M_β = s_1,1(P¹ × β). Si dimostri che L_α, α ∈ P¹ e M_β, β ∈ P¹ formano due famiglie di rette contenute in Σ_1,1 con le seguenti propriet`a:

(i) per ogni α, α⁰ ∈ P¹, α 6= α⁰ si ha L_α ∩ L_α⁰ = ∅ e per ogni β, β⁰ ∈ P¹, β 6= β⁰ si ha M_β ∩ M_β⁰ = ∅;

(ii) per ogni α ∈ P¹ e ogni β ∈ P¹ si ha |L_α∩ M_β| = 1.

– Si dimostri che P¹ × P¹ non `e isomorfa a P². Suggerimento. Si utilizzi il teorema di Bezout.

– ^1∗Sia

F_t(T₁, T₂, . . . , T_n) = X

i1,...,in

a_i₁_,...,i_n(t)T₁ⁱ¹T₂ⁱ²· · · T_nⁱⁿ

una famiglia di polinomi di grado ≤ d, dove a_i₁_,...,i_n(t) sono funzioni razionali del parametro t ∈ A¹. Supponiamo che per t = c il polinomio F_c sia irriducibile di grado d. Si dimostri che esiste un sottoinsieme finito Σ ⊂ A¹, tale che per ogni t ∈ A¹ \ Σ il polinomio F_t `e irriducibile di grado d.

1Gli esercizi segnalati con ^∗non saranno chiesti all’esame orale

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Applicazioni razionali

– Si dimostri che l’applicazione polinomiale u : A²k → A²k data da u(x, y) = (x, xy) `e un isomorfismo birazionale.

– Si dimostri che la cubica nodale y² = x² + x³ `e razionale.

– Si dimostri che ogni conica non degenere C ⊂ A²_k `e razionale.

– Sia X una ipersiperficie irriducibile, la quale equazione ha la forma

f_n−1(T₁, . . . , T_n) + f_n(T₁, . . . , T_n) = 0

dove f_n−1 e f_n sono polinomi omogenei di gradi n−1 e n rispetti- vamente. Si dimostri che X è birazionalmente isomorfa a Aⁿ⁻¹. – Sia V ⊂ Pⁿ una varietà quasi proiettiva. Si dimostri che ogni applicazione razionale ϕ : V ^//P^m è data da m + 1 polinomi omogenei dello stesso grado F₀(T ), . . . , F_m(T ) tali che V non è contenuta in V (F₀, . . . , F_m) e ϕ = (F₀ : · · · : F_m).

– Si dimostri che ogni applicazione razionale f : P¹ ^//Pⁿ `e un morfismo, cio`e dom(f ) = P¹.