DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA ESERCIZIO 1
Determiniamo la distanza del punto P(-2;-3) dalla retta d’equazione 6x+8y=0.
Ci basta applicare la formula
Abbiamo :
ESERCIZIO 2
Calcola la distanza dei punti assegnati dalle rette con equazione indicata a fianco.
a) A(-2; 1), 3x-4y-1=0. [11/5]
b) B(2; 4), y= 4/3 x+1. [1/5]
c) C(0; 3), 6y= -8x+3. [3/2]
d) D(1; 2), y= 5/12x-2. [43/13]
e) E(-2; 3), 9x-12y=0. [18/5]
f) F(3; -1), x=4. [1]
Punto a)
Applichiamo la formula della distanza
Con x0 = -2, y0 = 1, a = 3, b = -4, c = -1 Abbiamo quindi :
Punto b)
Come prima, applichiamo la formula della distanza
Per trovare i coefficienti da usare, dobbiamo prima trasformare la forma esplicita
dell’equazione della retta in quella implicita. Trasportando tutti i termini a sinistra del segno di uguaglianza, otteniamo :
y-4/3 x-1 = 0
Moltiplicando tutti i termini per 3 e cambiando di segno, otteniamo 4x -3y + 3 = 0
Possiamo ora applicare la formula della distanza con x0 = 2, y0 = 4, a = 4, b = -3, c = 3 Abbiamo quindi :
Punto C
Anche questa volta, dobbiamo prima trasformare in forma implicita l’equazione della retta data, per potere applicare la formula della distanza retta – punto.
Trasportando tutti i termini a sinistra, otteniamo : 8x +6y – 3 = 0
Possiamo ora applicare la formula della distanza con x0 = 0, y0 = 3, a = 8, b = 6, c = -3
Punto d)
Trasformiamo in implicita l’equazione della retta data, trasportando tutti i termini a sinistra del segno di uguaglianza e moltiplicando per 12. Cambiando inoltre di segno, otteniamo:
5x -12y -24 = 0
Possiamo ora applicare la formula della distanza con x0 = 1, y0 = 2, a = 5, b = -12, c = -24
Punto e)
Possiamo applicare direttamente la formula della distanza, con x0 = -2, y0 = 3, a = 9, b = -12, c = 0.
Abbiamo:
Punto f)
Riscriviamo l’equazione della retta in forma implicita:
x-4 = 0
Possiamo quindi applicare la formula della distanza retta –punto con x0 = 3, y0 = -1, a = 1, b = 0, c =- 4.
Abbiamo:
ESERCIZIO 3
Calcola la distanza di P (-1; 4) dalla retta che passa per i punti A(5; 2) e B (-1; -1/2) Dobbiamo innanzitutto scrivere l’equazione della retta rAB, per i due punti dati, che ha la forma :
Sostituendo i valori dati per A e B otteniamo:
Svolgendo i calcoli, otteniamo :
5x -12y -1 = 0
Possiamo quindi applicare la formula della distanza retta – punto, con x0 = -1, y0 = 4, a = 5, b = -12, c =- 1.
La formula :
Diventa:
ESERCIZIO 4
Considera il triangolo ABC di vertici A(-3; 3), B (2; -1), C(3; 1). Determina l’altezza relativa al lato AB e l’area del triangolo.
Disegniamo innanzitutto i punti dati e uniamoli in modo da formare il triangolo dato.
Per determinare l’altezza relativa al lato AB dobbiamo innanzi tutto ricordare che,
in un triangolo, l’altezza è il segmento che passa per un vertice ed è perpendicolare al lato opposto.
Quando ci viene chiesto di scrivere l’altezza di un triangolo, quindi, dobbiamo
1) calcolare il coefficiente angolare della retta che contiene il lato opposto (in questo caso AB)
2) scrivere il fascio proprio di rette che passa per il vertice (in questo caso C) e imporre che sia ortogonale alla retta data. Deve quindi avere coefficiente angolare opposto e inverso.
Nel nostro caso abbiamo:
y – yC = m(x – xC) con
Calcoliamo quindi il coefficiente angolare della retta per A e B
Infatti la retta per A e B ha equazione
Svolgendo i calcoli otteniamo :
4x +5y -3 = 0
Scriviamo ora l’equazione del fascio proprio di rette per C : y – 1 = m(x – 3)
Con m = 5/4 otteniamo : y – 1 = (5/4) (x-3)
y = (5/4) x -11/4 5x -4y -11 = 0
La retta per AB e la perpendicolare si incontrano nel punto D che soddisfa entrambe le equazioni.
Dovremmo quindi risolvere il sistema E poi calcolare la distanza CH.
Posso però calcolare semplicemente la distanza tra C e la retta per AB, applicando la solita formula:
Con
x0 = 3, y0 = 1, a = 4, b = 5, c =- 3, otteniamo.:
Calcoliamo infine AB :
Per un qualsiasi triangolo, l’area pari al semiprodotto della base per l’altezza. In questo caso abbiamo :
ESERCIZIO 5
Determina, con la formula della distanza, l’area del triangolo di vertici A(2; 0), B (-1; 3);
C(4; 4).
Nel caso di un triangolo scaleno, il piano cartesiano ci facilita notevolmente i calcoli dell’area. Infatti:
1) calcoliamo l’altezza del triangolo applicando la formula della distanza punto – retta tra un vertice qualsiasi del triangolo e la retta passante per il lato opposto.
2) calcoliamo poi la lunghezza del segmento opposto al vertice considerato e infine calcoliamo l’area semplicemente come
Prendiamo in esame il vertice C e quindi scriviamo l’equazione della retta passante per AB
y = -x + 2
ovvero, in forma implicita:
x + y -2 = 0
Calcoliamo la distanza tra C e la retta per AB :
Dobbiamo ora calcolare la lunghezza di AB, che, nel nostro caso, è la base rispetto a cui abbiamo calcolato l’altezza:
L’area è quindi
