Appendice D Posizionamento ottimale dei sensori

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(1)Appendice D Posizionamento ottimale dei sensori D.1 Introduzione In questo lavoro ci pre

(2) ggiamo lo scopo di determinare un criterio di posizionamento ottimo dei sensori piezoresistivi intorno alle articolazioni per rilevarne i parametri di movimento. La singola articolazione viene modellizzata con geometrie molto semplici e, una volta scritta la relazione tra le uscite di misura (i valori di deformazione dei sensori) e i parametri di controllo (gli angoli di movimento dell'articolazione), si impone un criterio di ottimizzazione di un indice caratterizzante il contenuto di informazione della stessa.. D.2 De

(3) nizione di un modello Le articolazioni con cui abbiamo a che fare in questa trattazione sono quelle che permettono un movimento angolare tra due segmenti articolari. Ad esempio, focalizzandosi sulla spalla e guardandola dall'esterno1, il complesso In questo caso l'esterno e rappresentato dal luogo su cui sono posizionati i sensori, ossia la maglietta sensorizzata. 1.

(4) Posizionamento ottimale dei sensori. articolare che ne permette i movimenti { in particolare l'articolazione glenomerale { puo essere schematizzato in primissima approssimazione come un cilindro (il braccio) che poggia una estremita su una sfera (la spalla) e striscia su di essa. Il generico sensore i e approssimabile con un segmento di retta Pi Qi , dove P e un punto sulla super

(5) cie della sfera e Q e un punto sulla super

(6) cie del cilindro. Una rappresentazione concettuale e visibile in

(7) gura D.1. Per identi

(8) care il punto P in un sistema di riferimento globale (solidale alla sfera) si possono usare le coordinate sferiche: 0 1 R sin () cos () B C [P ]sph = B B C R sin () sin () C @ A R cos (). dove R e il raggio della sfera. Per Q invece usiamo un sistema di riferimento che identi

(9) ca il punto sulla super

(10) cie del cilindro tramite la distanza assiale dalla super

(11) cie di strisciamento sulla sfera d, il raggio del cilidro r e in

(12) ne la posizione angolare sulla super

(13) cie . In un sistema di riferimento solidale al cilindro e centrato nel centro della sfera, questo si scrive: 0 da B B [Q]cyl = B @ r sin ( ). r cos ( ). 1 C C C A. D.3 Cinematica di erenziale Per il computo della cinematica diretta si usano le coordinate omogenee e la convenzione di Denavit-Hartenberg (appendice B), dato che e lo strumento utilizzato in questo lavoro per passare da un sistema di riferimento all'altro tramite le cosiddette varibili di giunto. Raccogliamo quindi i parametri dei movimenti di essione/estensione e abduzione/adduzione, rispettivamente i due angoli e , nel vettore delle variabili di giunto q = ( )T . 144.

(14) D.3 Cinematica di erenziale. Figura D.1: Il modello Nel nostro caso si hanno solo variabili di giunto angolari i che, insieme agli atri parametri necessari per le trasformazioni di coordinate sono raccolti in tabella D.1. di i ai. i =2. essione 0 0 abduzione 0 0 0 Tabella D.1: parametri di Denavit-Hartenberg Con la suddetta convenzione e possibile scrivere la trasformazione di coordinate che porta le coordinate del punto Q nel sistema di riferimento mobile del braccio a quello base della spalla: fQgsph = T10( )T21() cosicche l'espressione del vettore PQ nel sistema di rifermento base risulta: 0 cos ( ) cos () d + cos ( ) sin () r sin ( ) sin ( ) r cos ( ) a B B PQ = B @ sin ( ) cos () da + sin ( ) sin () r sin ( ) + cos ( ) r cos ( ) sin () da + cos () r sin ( ). R. cos (). sin () cos () R sin () sin ( ). R. 1 CC CA. 145.

(15) Posizionamento ottimale dei sensori. In conclusione, e possibile calcolare la lunghezza di ogni sensore in funzione dei parametri del movimento e dei punti di origine/inserzione. Li = kPi Qi k2 = L( ; ; Pi ; Qi ) Ne risulta quindi che ogni Li e funzione di 8 variabili.. D.4 Analisi bidimensionale Come primo passo si sceglie di analizzare una con

(16) gurazione molto semplice per vedere che tipo di risultati e possibile ottenere. Ci si riconduce ad un dominio bidimensionale, si analizzano solo i movimenti in quel piano e si sceglie di e ettuare le misure con un solo sensore. Si veda la

(17) gura D.2 in cui e rappresentata la geometria ed i simboli adottati.. Figura D.2: Analisi bidimensionale nella con

(18) gurazione = 0. I parametri Rs ed r si devono intendere come

(19) ssati, per cui le incognite del problema si riconducono all'angolo ed alla distanza assiale da che individuano le posizioni dei punti P e Q rispettivamente sulla circonferenza e sul rettangolo. E' possibile esprimere semplicemente la lunghezza del segmento P Q tramite il teorema di Carnot: L=. 146. q. R1 2 + Rs 2. 2 R1Rs sin ( + 0 + ) = L( ; ; da).

(20) D.4 Analisi bidimensionale. dove:. dc =. p. R1 =. Rs2. p. r2. (dc + da)2 + r2. 0 = arctan (dc +r da ). Una volta ottenuta l'espressione di L, se ne e ettua la derivata rispetto al parametro del movimento e si ottiene quella che puo essere de

(21) nita sensibilita del sensore alle variazioni di con

(22) gurazione del modello: S=. @L @. = S ( ; ; da) S e a sua volta una funzione del parametro del movimento non necessariamente costante. Non e quindi possibile ottenere da questa un'informazione globale sul funzionamento del sensore, in quanto la sensibilita varia punto per punto. E' pero possibile passare ad una sorta di media quadratica su tutto il range di variazione di (eliminandone quindi la dipendenza) con la seguente integrazione: dove si sono presi:. Z @L 2 M= d = M (; da ) @. . r = =2 arctan 2d c. Cio che si ottiene e una sorta di funzionamento medio che deve risultare il migliore possibile. Il problema si riconduce quindi a trovare quella coppia di (~; d~a) che individuano il massimo assoluto della funzione M nel suo dominio di de

(23) nizione. Si fa quindi variare l'angolo tra =2 e 0 di modo che non si abbiano incongruenze in cui il sensore "penetra" nel rettangolo ed in

(24) ne da tra un massimo ed un minimo (le unita di misura non hanno molto senso in questa analisi) di modo da vedere se conviene scegliere sensori "corti" oppure sensori "lunghi". 147.

(25) Posizionamento ottimale dei sensori. Figura D.3: Risultati dell'analisi bidimensionale I calcoli sono eseguiti in Maple e danno luogo al gra

(26) co di

(27) gura D.3, dal quale si nota che la funzione M cresce al tendere a zero di e da. Questo risultato esprime concettualmente il fatto che sensori corti lavorano meglio di sensori lunghi.. D.5 Il problema dei due sensori Il secondo passo e quello di rilevare i due parametri del movimento del vettore q con due soli sensori. Siamo ora in grado di scrivere: L=. L1 L2. !. =. f1 ( ; ; Pi ; Qi ) f2 ( ; ; Pi ; Qi ). !. Il problema consiste nel fatto che i parametri di controllo sono gli angoli di movimento e e le uscite di misura sono le lunghezze dei sensori (intese come variazioni di lunghezza rispetto ad una con

(28) gurazione di riferimento). Fissati quindi P e Q, vorremmo che la nostra applicazione vettoriale (2 1) f () : q ! L fosse invertibile anche, noto L (grazie alle letture dei sensori), sia possibile determinare q. Data la nonlinearita delle espressioni che compongono f , a priori non siamo in grado di dire nulla a livello globale, ma in un intorno di una coppia ( 0; 0)

(29) ssati e supposte piccole variazioni rispetto a questa con

(30) gurazione, e possibile sostituire la funzione nonlineare col di erenziale che, in questo caso, ha signi

(31) cato di Jacobiano: 148.

(32) D.6 Ottimizzazione. dove:. dL = J dq. J=. @f1 @ @f2 @. @f1 @ @f2 @. . !. 0 ;0. Se il di erenziale e invertibile, il teorema della funzione implicita ci dice che anche la funzione nonlineare associata si inverte in un piccolo intorno di ( 0; 0). Quindi, per piccoli movimenti intorno a questa con

(33) gurazione, siamo in grado di risalire a q.. D.6 Ottimizzazione Il caso a cui ci si e ricondotti corrisponde ad un problema lineare di misure statiche del tipo: Y=MX dove Y = dL, M = J e X = dq. Il nostro compito e quello di organizzare i sensori in maniera ottimale e questo puo essere posto nella forma comune "Trovare un set di r variabili. di progetto , che massimizzino un indice genralizzato della performance del sistema I ( ) soggetto a vincoli 2 Rr ".. Se scriviamo la norma del vettore dL: q. p. kdLk2 = L21 + L22 = qT JT J q. notiamo in quest'espressione la presenza del termine JTJ. Ebbene, in accordo con [2], un indice di performance puo essere de

(34) nito in base alla cosiddetta matrice di informazione di Fisher M associata al sistema, una cui istanza in questo caso si scrive proprio: M = JTJ. . 149.

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