Appendice E Operazione di fit delle curve tensione-deformazione e J-R.

(1)

Appendice E

(2)

1. Introduzione.

In questa appendice, si riporta la procedura impiegata per effettuare il fit delle curve tensione-deformazione e J-R dei vari materiali. A titolo d’esempio, nel paragrafo seguente, è presentato il procedimento completo utilizzato per l’acciaio ASME SA106 Gr.B. Per gli altri materiali, le operazioni di fit sono state effettuate impiegando la stessa logica, per cui si evita di riportarle.

2. Acciaio al Carbonio ASTM A106-89/ASME SA106 Grade B.

La Figura 1mostra le curve sperimentali tensione-deformazione e J-R del materiale alla temperatura di 288 °C [1].

Figura 1 Curve tensione deformazione e J-R alla temperatura di 288 °C per

acciaio ASME SA106Grade B [1].

Parametri R-O ricavati fittando l'intera curva σ-ε Proprietà meccaniche a 288 °C

E 190000 Mpa Modulo di Young σ y 189.7 MPa Tensione di snervamento σ u 560 MPa Tensione di rottura

(3)

Matrice dei dati sperimentali della curva tensione-deformazione. (Sono riportati i dati a partire da una deformazione totale maggiore della massima deformazione elastica) Dati σε 0.00218447 0.00289732 0.0036978 0.0041429 0.00476604 0.00592053 0.0066313 0.00751735 0.00840409 0.0094661 0.0103535 0.0115018 0.0125624 0.013886 0.0150356 0.0163592 0.017682 0.0192671 0.0206789 0.022264 0.0234978 0.024731 0.0260511 0.02781 0.0291315 0.0306269 0.0326522 0.0344988 0.0362591 0.0384577 0.0404802 0.0425028 0.0449642 0.0471614 0.0492702 0.0510291 0.0532256 0.0552461 0.0572673 0.0591994 0.0614835 0.0634157 0.0653485 0.0679825 0.0702666 0.0723733 0.0748327 0.0771154 0.0794864 0.0815932 0.0837875 0.0858964 0.0881784 0.0911615 0.0933559 0.0958139 224.468 234.731 244.99 251.026 259.477 272.749 281.197 289.637 298.683 307.722 317.373 325.199 333.028 340.847 349.883 357.702 364.916 371.515 379.936 386.535 392.542 397.943 402.736 408.118 414.122 418.908 427.306 432.685 439.277 445.854 451.831 457.808 464.375 469.74 474.504 479.886 484.646 488.808 493.575 497.135 501.892 505.452 509.617 513.755 518.513 521.461 526.211 529.758 533.907 536.855 539.799 544.563 547.505 550.42 553.365 556.905

(4)

σ Datiσε< >1 Vettore delle tensioni ricavato dalla matrice dei dati ε tot Datiσε< >0 Vettore delle deformazioni ricavato dalla matrice dei dati

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 200 300 400 500 600 σ ε tot

Figura 2 Diagramma sperimentale Tensione-Deformazione.

Procedura di fit della curva tensione-deformazione secondo la metodologia di R-O.

Punto 1 Utilizzando i dati sperimentali, si calcola la deformazione plastica per

mezzo della relazione seguente: ε pl ε tot σ_E

Punto 2 Si calcola il logaritmo di εpl e di σ:

Punto 3 Si riporta in un grafico log(εpl) in funzione di log(σ):

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3 2.5 2 1.5 1 log _{ε pl} log( )σ

(5)

Punto 4 Si effettua il fit dei dati della Figura riportata al Punto3 con il metodo dei

minimi quadrati. In questo modo è possibile calcolare la pendenza n della curva e l'intercetta con l'asse delle ordinate che vale -log(F).

Il foglio di calcolo Mathcad permette di determinare automaticamente i parametri della retta ai minimi quadrati utilizzando i comandi seguenti:

n slope log( ) logσ , _{ε pl} n=4.418

Coefficiente angolare della retta di fit logF intercept log( ) logσ , _{ε pl}

logF= 13.149

Intersezione con l'asse delle ordinate della retta di fit F 10logF

F 1.409 10= . 13 Valore di F

Si calcola il valore di α tramite la relazione seguente: α σ y n σ y E F . α 0.825=

Valore del prametro α della curva R-O

Conclusione. I parametri della curva di R-O hanno il valore seguente:

n=4.418 α 0.825=

Confronto. Di seguito, sono messe a confronto la curva tensione-deformazione

sperimentale e quella di fit di R-O. ε RO σ RO σ RO_E α σ y._E σ RO

σ y

n

. _{Curva tensione-deformazione di R-O.}

0 200 400 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ε tot ε RO σ RO σ σ RO,

La curva sperimentale è rappresentata a cerchi.

Lacurva di fit è rappresentataa tratto continuo.

Figura 4 Confronto tra la curva tensione-deformazione ricavata sperimentalmente e quella di R-O.

(6)

Parametri C e m ricavati fittando i dati sperimentali della curva J-R.

Proprietà di meccanica della frattura a 288 °C

J IC 116.418_mmN Tenacità di inizio frattura ∆a0 0.205597 mm

Matrice dei dati sperimentali della curva J-R.

DatiJR 0.309325 0.385897 0.475919 0.602011 0.70105 0.81359 0.894594 1.00703 1.11055 1.24108 1.34898 1.45688 1.55128 1.67707 1.81197 1.9512 2.08147 2.21638 2.33757 2.47681 2.61594 2.7597 2.9078 3.02905 3.1503 3.27144 3.41506 3.55424 3.69337 3.81451 3.96261 4.09267 4.22278 4.3395 4.46956 4.59967 4.7252 4.86881 5.00784 134.851 145.56 156.233 173.045 185.252 198.982 208.119 218.73 230.925 246.166 255.23 264.293 271.834 279.289 291.398 298.817 306.259 318.369 322.717 330.135 334.434 343.4 347.674 353.582 359.49 362.278 366.565 372.423 376.723 379.511 383.786 384.99 387.754 392.114 393.319 396.083 395.74 400.027 401.206

∆a DatiJR< > ∆a0 Vettore delle variazioni di lunghezza della fessura ricavato dalla 0 matrice dei dati

(7)

0 1 2 3 4 5 0 100 200 300 JR ∆a

Figura 5 Curva J-R sperimentale.

Procedura di fit della curva J-R utilizzando la relazione seguente: JIC+C*(Da/r)^m. Punto 1 Si calcola il logaritmo di JR e di Da.

Punto 2 Si riporta in un grafico log(JR) in funzione di log(Da):

1 0.5 0 0.5 1 1 1.5 2 2.5 log J R log(∆a)

Figura 6 Grafico log(JR)-log(Da).

Punto 3 Si effettua il fit dei dati della Figura riportata al Punto3 con il metodo dei

minimi quadrati. In questo modo è possibile calcolare la pendenza m della curva e l'intercetta con l'asse delle ordinate che vale log(C).

Il foglio di calcolo Mathcad permette di determinare automaticamente i parametri della retta ai minimi quadrati utilizzando i comandi seguenti:

m slope log(∆a_{) log J R}, m 0.698=

Coefficiente angolare della retta di fit logC intercept log(∆a_{) log J R},

(8)

logC =2.049

Intersezione con l'asse delle ordinate della retta di fit C 10logC

C =112.002

Conclusione. I parametri della curva di fit J-R hanno il valore seguente:

m 0.698= C =112.002

Confronto. Di seguito, sono messe a confronto la curva J-R sperimentale e quella di

fit.

J R1 ∆a1( ) C.(∆a1)m Curva J-R di fit.

0 1 2 3 4 5 0 100 200 300 400 J R1 ∆a1( ) J R ∆a1 ∆a,

Figura 7 Confronto tra la curva J-R sperimentale e quella di fit.

3. Acciaio inossidabile ASTM A358/ASME SA358 Type 304.

La Figura 8 mostra le curve sperimentali tensione-deformazione e J-R del materiale alla temperatura di 288 °C [2], [3].

(9)

Figura 8 Curve tensione deformazione e J-R alla temperatura di 288 °C per acciaio ASME SA358 Type 304 [2], [3].

n=3.169 α 5.392=

sperimentale e quella di fit di R-O. ε RO σ RO σ RO_E α σ y._E σ RO

σ y

n

0 200 400 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ε tot ε RO σ RO σ σ RO,

(10)

Figura 9 Confronto tra la curva tensione-deformazione ricavata sperimentalmente e quella di R-O.

m=0.412 C=179.902

Confronto. Di seguito, sono messe a confronto la curva J-R sperimentale e quella di

fit.

0 1 2 3 4 5 0 500 1000 1500 J R1 ∆a1( ) J R ∆a1 ∆a,

Figura 10 Confronto tra la curva J-R sperimentale e quella di fit.

4.

Acciaio austenitico inossidabile ASTM A312-89a/ASME SA312 Type 316.

La Figura 11 mostra la curva sperimentale tensione-deformazione del materiale alla temperatura di 288 °C [4]. La curva di tenacità non è riportata dato che è stato possibile reperire i parametri di fit in letteratura [2].

(11)

Figura 11 Curve tensione deformazione e J-R alla temperatura di 288 °C per acciaio ASME ASME SA312 Type 316 [4].

n=3.164 α=6.738

sperimentale e quella di fit di R-O.

ε RO σ RO σ RO_E α σ y._E σ RO σ y

n

0 200 400 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ε tot ε RO σ RO σ σ RO,

Figura 12 Confronto tra la curva tensione-deformazione ricavata sperimentalmente e quella di R-O.

(12)

5.

Acciaio austenitico inossidabile ASTM A312-89a/ASME SA312 Type 347.

Per questo materiale sono stati reperiti in letteratura i parametri di fit della curva tensione-deformazione e della curva di tenacità alla temperatura di 288 °C [2].

6. Acciaio al Carbonio ASTM A106-89/ASME SA106Grade C.

Per questo materiale sono stati reperiti in letteratura i parametri di fit della curva tensione-deformazione e della curva di tenacità alla temperatura di 289 °C [5].

7. Acciaio ASTM A333M-88a/ASME SA333 Grade 6.

La Figura 13 mostra le curve sperimentali tensione-deformazione e J-R del materiale alla temperatura di 250 °C utilizzate per effettuare l’operazione di fit [6].

acciaio ASME SA333 Grade 6 [6].

n=3.3 α=8.126

n

(13)

0 200 400 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ε tot ε RO σ RO σ σ RO,

m=0.639 C=287.575

Confronto. Di seguito, sono messe a confronto la curva sperimentale J-Re quella di

fit.

0 1 2 3 4 5 0 500 1000 1500 J R1 ∆a1( ) J R ∆a1 ∆a,

(14)

8. Acciaio Austenitico ASTM A376M-8/ASME SA376 Type 304.

acciaio ASME SA376 Type 304 [1].

n=4.293 α=6.547

n

(15)

0 200 400 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ε tot ε RO σ RO σ σ RO,

m=0.958 C=260.294

Confronto. Di seguito, sono messe a confronto la curva sperimentale J-R e quella di

fit.

0 1 2 3 4 5 0 500 1000 1500 J R1 ∆a1( ) J R ∆a1 ∆a,

(16)

9. Acciaio Austenitico ASTM A376M-8/ASME SA376 Type 316.

acciaio ASME SA376 Type 316 [1].

n=4.471 α=3.664

n

(17)

0 200 400 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ε tot ε RO σ RO σ σ RO,

m=0.958 C=260.294

Confronto. Di seguito, sono messe a confronto la curva sperimentale J-Re quella di

fit.

0 1 2 3 4 5 0 500 1000 1500 J R1 ∆a1( ) J R ∆a1 ∆a,

(18)

Bibliografia.

[1] B. F. Beaudion, D. F. Quinones, T. C. Hardin, ”Leak-Before-Break in US Light Water Reactor Balance-of-Plant Piping”, International Journal of

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[3] Y. J. Kim, Y.Z. Lee, N. S. Huh, C. R. Pyo, J. S. Yang, ”Development of modified piping evaluation diagram for leak-before-break application to Korean next generation reactor”, Nuclear Engineering and Design, 1999, 191: 135-145.

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