5) CALCOLO DELLA MATRICE DI RISPOSTA DI UNA REGIONE OMOGENEA A GEOMETRIA CUBICA
5.0) Introduzione
Oggetto del paragrafo 5) è la determinazione della matrice di risposta o Response-Matrix di una regione omogenea a geometria cubica. Come illustrato in precedenza, tale matrice è stata ottenuta dalla discretizzazione mediante espansione in polinomi di Legendre dell’equazione integrale di frontiera espressa in termini di semi-correnti. L’iniziale equazione integrale di frontiera è stata ricondottala sistema matriciale:
J+ =RJ−+Jq
( )
52 dove R=M N−1 , essendo M ed N matrici a blocchi definite secondo le formule( )
48 e( )
49 . J+,−
J e Jq sono i vettori definiti secondo le formule
( )
50 .Dunque per determinare la Response-matrix R , è necessario calcolare l’inversa della matrice M ,
1
M− . Il calcolo di M−1 richiede l’attuazione di alcune operazioni che vengono illustrate nel seguito.
5.1) Notazione a due indici
Il primo problema che è necessario affrontare per il calcolo della matrice M−1 è il seguente. Si consideri una generica matrice An m× costituita dagli elementi aij .La matrice An m× è composta di
righe e colonne che vengono identificate mediante dei numeri interi. Tali numeri consentono anche di individuare in modo univoco gli elementi della matrice stessa. Ad esempio l’elemento aij della matrice An m× è l’elemento collocato nella riga i e nella colonna j della matrice An m× .
Gli elementi 1 2 1 2 , ', , ' ' n ss l l l l Jɶ+ , 1 2 1 2 , ', , ' ' n ss l l l l Jɶ− e 1 2, ' '1 2 l l l l I delle matrici Jɶ , ss+' Jɶ e ss−' 1 4I, che costituiscono i blocchi delle matrici M ed N , sono invece individuati dai quattro indici l1, l2, l'1 ed l'2. Allora, per poter rappresentare i blocchi
1 2 1 2 , ', , ' ' n ss l l l l Jɶ+ , 1 2 1 2 , ', , ' ' n ss l l l l Jɶ− e 1 2, ' '1 2 l l l l
I come matrici costituite da righe e colonne, è necessario stabilire una convenzione che permetta il passaggio da una notazione a quattro indici ad una notazione a due indici. Si consideri il generico elemento
1 2 1 2
, ', , ' '
n ss l l l l
Jɶ+ :
1
l , l : indicano l’ordine dei polinomi di Legendre definiti sulla faccia individuata da 2 s;
1
'
l , l : indicano l’ordine dei polinomi di Legendre definiti sulla faccia individuata da ''2 s ;
1
l , l , 2 l ed '1 l possono assumere i valori interi compresi nell’intervallo '2
[ ]
0; 4 .Per il passaggio da quattro a due indici, si adotta la seguente convenzione (è quella che risulta spontanea): si definisce un indice i che corrisponde ad l ed 1 l secondo la regola di equivalenza 2
Valore di ia Valori di l ed 1 l 2 corrispondenti (l , 1 l ) 2 1 0, 0 2 0, 1 3 0, 2 4 0, 3 5 0, 4 6 1, 0 7 1, 1 8 1, 2 9 1, 3 10 1, 4 11 2, 0 12 2, 1 13 2, 2 14 2, 3 15 2, 4 16 3, 0 17 3, 1 18 3, 2 19 3, 3 20 3, 4 21 4, 0 22 4, 1 23 4, 2 24 4, 3 25 4, 4
Allo stesso modo si definisce un indice j corrispondente agli indici l ed '1 l secondo la medesima '2 regola che lega i ad l ed 1 l . 2
Quindi gli elementi
1 2 1 2 , ', , ' ' n ss l l l l Jɶ+ , 1 2 1 2 , ', , ' ' n ss l l l l Jɶ− e 1 2, ' '1 2 l l l l
I vengono rinominati rispettivamente Jn ss ij, ',
+
ɶ ,
, ',
n ss ij
Jɶ− e I , dove i corrisponde ad ij l ed 1 l e j corrisponde ad 2 l ed '1 l secondo la regola di '2
equivalenza indicata in tabella.
Per esempio l’elemento Jɶn+,11,16,18 coincide con Jɶn+,11,3,0,3,2 infatti: 16
i= è equivalente a l1 =3; l2 =0; 18
j= è equivalente a l'1=3; l'2 =2.
a In generale gli indici che individuano le righe e le colonne di una matrice sono numerati a partire all’unità. E’ per
questo motivo che si è fatta partire la numerazione dell’indice i da uno, mentre gli indici l1, l2, partono da zero, perché individuano l’ordine dei polinomi di Legendre. Nelle subroutines riportate in appendice alla presente tesi anche per le grandezze definite con quattro indici (come per esempio gli integrali di influenza) sono stati utilizzati indici
, , ,
m n p q corrispondenti a l1, l2, l'1 ed l'2, ma aumentati di un’unità per semplificare l’individuazione delle grandezze.
In tal maniera le matrici Jɶ , ss+' Jɶ e ss−' 1
4I sono composte da elementi individuati tramite due indici e possono quindi essere rappresentate in modo univoco mediante righe e colonne, identificate da i e
j che assumono valori interi compresi nell’intervallo
[ ]
1; 25 . La convenzione adottata per i blocchi Jɶ , ss+' Jɶ e ss−' 14I deve essere impiegata anche per i vettori +
J ,
−
J e J . Infatti le componenti di tali vettori sono individuati da due indici e non da uno solo, come q
è convenzionalmente per i vettori. Quindi le componenti
1 2 , , n s l l J+ , 1 2 , , n s l l J− e 1 2 , s q l l J− vengono rinominate rispettivamente Jn s i, , + , Jn s i, , − e Jq is, −
, dove il valore di i è determinato dai corrispondenti valori di l 1
ed l secondo la convenzione indicata nella tabella sopra. 2 Per esempio l’elemento J5,3
− coincide con J5,0,2 − infatti i=3 è equivalente a l1=0; l2 =2. 5.2) Calcolo dell’inversa di 1 , M M−
Adesso è possibile calcolare la matrice M−1. Si considera la matrice M a: 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 J I J J J J J J J I J J J J J J J I J J J M J J J J I J J J J J J J I J J J J J J J + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 1 4I +
( )
53che, in virtù delle relazioni che sussistono tra i blocchi Jɶ , può essere riscritta nella forma: ss+'
2 1 2 2 1 3 3 2 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B C D F G D A B C F G H P C D A B F G M P S B C D A F G F F F F A C G G G G C A = =
( )
54 aM può essere configurata come una matrice a blocchi. Una matrice a blocchi è una matrice i cui elementi non sono scalari, ma sono a loro volta delle matrici.
in cui sussistono le seguenti corrispondenze tra i vari blocchi 25 25× : 11 22 33 44 55 66 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 A=Jɶ++ I =Jɶ+ + I =Jɶ+ + I =Jɶ+ + I =Jɶ+ + I =Jɶ+ + I ; 12 23 34 41 B=Jɶ+ =Jɶ+ =Jɶ+ =Jɶ ; + 13 24 31 42 C=Jɶ+ =Jɶ+ =Jɶ+ =Jɶ ; + 14 21 32 43 D=Jɶ+ =Jɶ+ =Jɶ+ =Jɶ ; + 1 51; 2 52; 3 53; 4 54 F =Jɶ+ F =Jɶ+ F =Jɶ+ F =Jɶ ; + 1 61; 2 62; 3 63; 4 64 G =Jɶ+ G =Jɶ+ G =Jɶ+ G =Jɶ ; + 1 15 2 25 3 35 4 45 ˆ ; ˆ ; ˆ ; ˆ F =Jɶ+ F =Jɶ+ F =Jɶ+ F =Jɶ+; 1 16 2 26 3 36 4 46 ˆ ; ˆ ; ˆ ; ˆ G =Jɶ+ G =Jɶ+ G =Jɶ+ G =Jɶ+. Inoltre:
H è una matrice circolante a blocchi 4 4× :
A B C D D A B C H C D A B B C D A = ; 1
P è una matrice a blocchi 4 2× :
1 1 2 2 1 3 3 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F G F G P F G F G = ; 2
P è una matrice a blocchi 2 4× : 2 1 2 3 4
1 2 3 4
F F F F
G G G G
P =
;
S è una matrice circolante a blocchi 2 2× : S A C
C A
= .
Per calcolare M−1, si considera la rappresentazione di M in termini delle matrici a blocchi
1 2
, , , H P P S .
Data una generica matrice quadrata A di ordine n n× e non singolare (det
( )
A ≠0), la sua inversa1
A− è quella matrice di ordine n n× tale che:
AA−1= A A−1 =I
( )
55 dove I è la matrice identica di ordine n n× .M è una matrice quadrata (di ordine 150 150× ), non singolare, quindi 1
M− esiste ed è unica. Dunque, in base alla
( )
55 , il sistema matriciale che bisogna risolvere per determinare la matrice1 M− è il seguente: 1 MM− =I ossia 1 2 0 0 n k I H P W X I P S Y Z =
( )
56dove n è l’ordine della matrice H (quindi n=25 4 100⋅ = ) e k è l’ordine della matrice S (quindi 2 25 50
k= ⋅ = ); 0 è la matrice identicamente nulla ed M−1 è data da: M 1 W X
Y Z
− =
perciò sono incogniti i blocchi W X Y Z . , , ,
Esplicitando la
( )
56 , si ricavano le seguenti equazioni:(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 56.1 0 56.2 0 56.3 56.4 n k HW PY I HX PZ PW SY P X SZ I + = + = + = + = Dalla(
56.1)
si ottiene: W =H−1[
In −PY1]
che, sostituita nella(
56.3)
, fornisce: P H2 1[
In PY1]
SY 0− − + =
da cui si ricava Y : Y = −S−P H P2 −1 −1P H2 −1 , quindi Y QP H2 1
−
= − dove Q=S−P H P2 −1 1 −1 e di conseguenza si ottiene W : infatti W =H−1
[
In −PY1]
, quindi W H 1 In PQP H1 2 1− −
= +
Dalla
(
56.2)
si ottiene: X = −H P Z−1 1che, sostituita nella
(
56.4)
, fornisce: −P H P Z2 −1 1 +SZ =Ik da cui si ricava Z : Z =S−P H P2 −1 1 , quindi Z−1 =Qe di conseguenza si ottiene X : infatti X = −H P Z−1 1 , quindi X H PQ1 1
− = − .
In conclusione si sono ottenute le seguenti formule: 1 1 1 2 1 1 1 2 n W H I PQP H X H PQ Y QP H Z Q − − − − = + = − = − =
( )
57 dove Q=S−P H P2 −1 1 . −1 Quindi il calcolo di 1M− viene ricondotto al calcolo di 1
H− e di Q . Note tali matrici, 1
M− è ricavata dal prodotto matriciale tra queste matrici ed i blocchi della matrice M secondo le relazioni
( )
57 . 5.2.1) Calcolo dell’inversa di H H, −1 La matrice H A B C D D A B C H C D A B B C D A = ( )
58è una matrice circolante a blocchi: infatti dai blocchi della prima riga di H è possibile ricavare tutte le altre righe di H a.
Si considera la matrice a blocchi di Fourier F :
25 25 25 25 2 3 25 25 25 25 2 2 25 25 25 25 3 2 25 25 25 25 1 2 I I I I I I I I F I I I I I I I I
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
= ( )
59 in cui 25I è la matrice identica di dimensione 25 25× , perciò:
25 1 0 . . 0 0 1 . . 0 . . . . 0 . . . . 0 0 0 . . 1 I = ;
(
59.1)
2 2 4 2 i i i n e e e i π π πω
= − = − = − = − . Quindi: ω2 = −( )
i 2 = −1; ω3 = −( )
i 3 =i; ω4 = =i4 1;(
59.2)
25 1 0 . . 0 0 1 . . 0 1, 2, 3 . . . . 0 . . . . 0 0 0 . . 1 j j I j ω ω = = .(
59.3)
Si prendono in esame anche le matrici F e* F−1, dove F è la complessa coniugata di F , * F−1 è l’inversa di F e * 1 F =F− . Quindi: 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 1 1 1 1 2 1 I I I I I i I I i I F I I I I I i I I i I − − = − − − 25 25 25 25 25 25 25 25 * 1 25 25 25 25 25 25 25 25 1 1 1 1 2 1 I I I I I i I I i I F F I I I I I i I I i I − − − = = − − − − −
( )
60In base alla formula
( )
10 dell’ appendice B a questo capitolo, è lecito scrivere:FHF* =FHF−1 = Λ
( )
61 doveΛ è una matrice diagonale a blocchi.
Applicando l’operatore di inversione ai due membri della
( )
61 , si ottiene:
(
FHF−1)
−1= Λ−1( )
62 dove Λ−1 è la matrice inversa di Λ.La
( )
62 viene esplicitata:(
1) (
1 1)
1 1 1 1 1 1 1Moltiplicando entrambi i membri della
( )
63 dapprima a sinistra per F−1 e poi a destra per F si ricava H−1:FH F−1 −1= Λ−1 → H F−1 −1 =F−1Λ−1 → H−1=F−1Λ−1F
( )
64 Quindi:H−1=F−1Λ−1F
( )
65 Pertanto, innanzitutto si applica la( )
61 per ottenere la matrice Λ che viene poi invertita ed infine tramite la( )
65 si ricava H−1.Perciò:* 1 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 FHF FHF I I I I A B C D I I I I I i I I i I D A B C I i I I i I I I I I C D A B I I I I I i I I i I B C D A I i I I i I − = = Λ ↓ − − − − − − − − − − − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A B C D A iB C iD A B C D A iB C iD + + + + − − − + − − − + Segue:(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A B C D A iB C iD A B C D A iB C iD − − − − − + + + + − − Λ = − + − − − + (
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 4 4 0 0 0 0 0 0 dove 0 0 0 0 0 0 G A B C D G G A iB C iD G G G A B C D G G A iB C iD − − − − − = + + + = + − − Λ = = − + − = − − + Ed infine:1 4 1 1 1 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 2 25 25 25 25 25 25 25 25 3 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 4 1 0 0 0 1 H F F G I I I I I I I I I i I I i I G I i I I i I I I I I G I I I I I i I I i I G I i I I i I − = −Λ− ↓ − − − − − − − − − − − − =
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 G G G G G iG G iG G G G G G iG G iG G iG G iG G G G G G iG G iG G G G G G G G G G iG G iG G G G G G iG G iG G iG G iG G G G G G iG G iG G G G G + + + − − + − + − + − − + − − + + + − − + − + − − + − + − − + + + − − + − − + − + − + − − + + + In conclusione:(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 2 3 4 4 1 2 3 1 3 4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 4 = = 1 dove 4 = = O G G G G O O O O O G iG G iG O O O O H O O O O O G G G G O O O O O G iG G iG − + + + − − + = − + − + − −5.2.2) Calcolo della matrice Q .
Una volta determinata la matrice H−1, si può procedere al calcolo di Q .
1 1
2 1
Q=S−P H P− − Quindi innanzitutto si calcola la matrice ausiliaria 1
2 1
a
Q =S−P H P− che, invertita, fornisce Q :
,11 ,1 , 2, 2 , 2, 1 , 2, , 1, 1 , 1, 1 , 1, , , 2 , , 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a n a a n n a n n a n n a n n a n n a n n a n n a n n a nn q q Q q q q q q q q q q − − − − − − − − − − − − =
Per l’inversione della matrice Q , si impiegano le formule a
( )
57 secondo le modalità descritte quidi seguito.
, 1, 1 , 1, 2 , , 1 , a n n a n n a a n n a nn q q Q q q − − − − = . e se ne calcola l’inversa.
Poi si considera la matrice 3 3× Q che nella matrice a3 Q costituisce il blocco in basso a destra: a
, 2, 2 , 2, 1 , 2, , 2, 2 3 3 , 1, 2 , 1, 1 , 2, 3 2 , , 2 , , 1 , ˆ a n n a n n a n n a n n a a a n n a n n a n n a a a n n a n n a nn q q q q Q Q q q q Q Q q q q − − − − − − − − − − − − − − = = ɶ
A questo punto, considerando la Q come una matrice a blocchi costituita dai blocchi a3 Qˆa3, Qɶa3 e
2
a
Q e dall’elemento qa n, −2,n−2, la si inverte facilmente secondo le formule