Lezione n°23

Lezione n

°

₂₃

- Algoritmo di Kruskal - Algoritmo di Prim

Lezioni di Ricerca Operativa

Università di Salerno

Alberi

Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso. • G è aciclico se i suoi archi non formano cicli; • Un albero è un grafo connesso ed aciclico;

• Ogni grafo aciclico è in generale l’unione di uno o più alberi e viene detto foresta;

Esempio

grafo aciclico

(foresta)

grafo non aciclico

albero

Dato un grafo G=(V,E), le seguenti affermazioni sono equivalenti:

Ø G è un albero

Ø ogni coppia di nodi di G è connessa da un unico cammino

Ø G è aciclico e |E| = |V| - 1

Ø G è connesso e |E| = |V| - 1

Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso.

Un albero ricoprente (spanning tree) di G è un sottografo T di G tale che: T è un albero e contiene tutti i nodi di G.

G=(V,E) un albero ricoprente

Un grafo può avere più alberi ricoprenti.

Alberi Ricoprenti

Il Problema del Minimo Albero Ricoprente

(Minimum Spanning Tree Problem)

Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso dove ad ogni arco e_i∈E è associato un costo c_i.

Il costo di un albero ricoprente T di G è dato dalla somma dei costi degli archi

che lo compongono.

Il problema: determinare l’albero ricoprente di G di costo minimo

Esempio

6

● determinare la rete di comunicazione più affidabile;

● determinare la connessione tra n centri a costo minimo (e.g.,

distribuzione del gas);

● progettare i circuiti elettronici per collegare fra loro le diverse

componenti minimizzando la quantità di filo da utilizzare;

Applicazioni

7

Modello Matematico 1: Subtour Elimination

min

c

x

∑

x

= n −1

∑

x

≤ S −1

∑

∀S ⊂ V, S ≥ 3

x

∈ 0,1

{ }

∀ (i,j) ∈ E

8

Modello Matematico 1: Cut Formulation

{ }

0,1

(i,

j)

E

1

V,

S

1

1

-n

min

Î

"

Î

³

Ì

"

³

=

å

å

å

x

S

x

x

x

c

9 ●

algoritmo di Kruskal (Greedy Algorithm)

●

algoritmo di Prim

10

Algoritmo di Kruskal (Minimum Spanning Tree)

1. Ordinare gli archi e₁,e₂,..., e_m in modo non decrescente (c₁£c₂£... £c_m ). Siano E0_{=Æ, ST}0_{=(V, Æ) e k=1.}

2. Se (V, Ek-1È{e

k}) è un grafo aciclico allora STk=(V,Ek) con

Ek_=Ek-1È{e

k}, altrimenti ek viene scartato, Ek=Ek-1 e STk= STk-1.

3. Se úEk_{ú=n-1 l’algoritmo si arresta ed ST}k _{è l’albero ricoprente}

Esempio: n=9 m=17

7

14

4

₁₀

9

17

8

1

3

2

11

₁₂

6

13

16

15

5

Esempio: n=9 m=17

7

14

4

₁₀

9

17

8

1

3

2

11

₁₂

6

13

16

15

5

Esempio: n=9 m=17

(5,8) (7,8) (5,7) (2,4) (7,9) (6,7) (1,2) (1,4) (3,5) (3,4) (1,6) (4,6) (6,9) (2,3) (8,9) (3,9) (4,5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Ø Sia 4+k il nuovo peso dell’arco (2,4) nel grafo. Per quali valori di k l’albero di copertura minimo non cambia?

Ø Sia 8+k il nuovo peso dell’arco (1,4) in G. Per quali valori di k l’arco (1,4) verrà inserito nella soluzione ottima?

14

Algoritmo di Prim (Minimum Spanning Tree)

1. Selezionare un qualsiasi vertice v_s∈V e porre V0_={v

s}, E0=Æ,

k=1.

2. Dato il taglio [Vk-1_,V\Vk-1_{], selezionare l’arco del taglio (v}

i,vh)

avente costo minimo e porre Vk_=Vk-1_{È {v}

h} e Ek=Ek-1È {(vi,vh)}

1. Se úEkú=n-1 l’algoritmo si arresta ed ST=(Vk_,Ek_{) è l’albero}

15

Esempio: n=6 m=12

7

17

10

10.5

9

7.5

11

8

12

16

9.5

19

L’algoritmo di Prim O(|E|log|V|) è più efficiente di

quello di Kruskal O(|E|log|E|).

1

2

3

4

SPT=24

1

2

3

4

1

2

3

4

MST=21

SPT=24