OTTICA GEOMETRICA II parte

OTTICA GEOMETRICA

II parte

Diottro sferico

Il diottro sferico è una superficie di separazione sferica tra due mezzi con diverso indice di rifrazione.

n₁, n₂ = indice di rifrazione dei mezzi 1 e 2;

R, C = raggio e centro della superficie sferica;

AQ, QA’ = raggio incidente e raggio rifratto

x, x’ = distanza sorgente-diottro e diottro-immagine

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trasparenze/B13- OtticaGeometrica.pdf

Diottro sferico

Per valori piccoli dell’angolo ϑ (raggi parassiali) il diottro è un sistema stigmatico:

tutti i raggi uscenti dallo stesso punto sorgente si incontrano nello stesso punto immagine.

Equazione del diottro n

₁

/x +n

₂

/x‘= (n

₂

-n

₁

)/r

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h

α

) cos(

) ' sin(

) ' cos(

) sin(

) ' sin(

) sin(

) cos(

) sin(

) cos(

) sin(

) sin(

) sin(

α ϑ

ϑ α

ϑ α

α ϑ

ϑ α

ϑ α

−

=

−

=

+

= +

= r i

Per raggi parassiali e OT = 0 cos( ϑ ) ≅ cos( ϑ ' ) ≅ cos( α ) ≅ 1

) ' ' sin(

) sin(

)

sin( x

h R

h x

h ≅ ≅

≅ α ϑ

ϑ

Ricordando che

)) ' sin(

) (sin(

)) sin(

) (sin(

) sin(

) sin(

2 1

2 1

ϑ α

ϑ

α + = −

=

n n

r n

i n

R n n

x n x

n

x h R

n h x

h R

n h

1 2

2 1

2 1

'

'

= − +

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

Equazione del diottro sferico: dimostrazione

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Fuochi del diottro sferico

I fuochi sono i punti coniugati dei punti all’infinito, cioè i punti in cui si concentrano i raggi provenienti dall’infinito dopo la rifrazione sul diottro.

Secondo fuoco Dall’equazione del

diottro

n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/R x’ = x R n₂/((n₂-n₁)x - n₁R) x

→ ∞

^x’

^→

^f₂ ^{= R n}₂^/(n₂^-n₁⁾

Primo fuoco Dall’equazione del

diottro

n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/R x = x’ R n₁/((n₂-n₁) x’-

n₂R)

x’

→ ∞

^x

^→

^{f = R n /(n -n )}

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Costruzione grafica dell’immagine di una sorgente estesa da parte del diottro sferico

Bisogna considerare i raggi seguenti:

I) Il raggio passante per il centro di curvatura del diottro che non viene deviato nell’attraversamento del diottro stesso.

II) I raggi che incidono parallelamente all’asse ottico del diottrico, che, dopo la rifrazione sul diottro, passano per uno dei fuochi del diottro.

III) I raggi che escono da uno dei fuochi, dopo l’attraversamento del diottro, vengono deviati in modo da risultare paralleli all’asse ottico del diottro.

A B

F

₁

O C

F

₂

I

II

A III

B’

F

₁

O C

F

₂

I

II

III

A’

Diottro sferico

Introducendo le formule delle distanze focali nella formula del diottro, questa diventa:

f

₁

/x + f

₂

/x’ = 1

Nell’ approssimazione di Gauss:

I)  raggi parassiali

II)  oggetti di piccole dimensioni (l << x+R))

Dalla formula del diottro x’/x = (n₂/n₁)(x’-R)/(x+R)

Dalla similitudine tra ABC e A’B’C A’C/AC = l’/l

(x’–R)/(x+R) = l’/l

(1)

(2)

Dalle equazioni (1) e (2) si ricava l’ingrandimento lineare G:

G = l’/l = x’ n /x n

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Lente semplice

Una lente è il più semplice sistema ottico centrato ed è costituita da due diottri semplici, in cui il primo e terzo indice di rifrazione sono uguali.

Un sistema ottico centrato è costituito da due o più superfici sferiche di separazione (diottri sferici) aventi i centri sulla stessa retta.

Si applica due volte la legge del diottro: l’immagine formata dal primo diottro fa da sorgente per il secondo diottro.

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Lenti sottili

Applicando due volte la formula del diottro ad una lente semplice si ha:

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”) – n (1/x’ + 1/( d-x’))

Dove nel ricavare la formula superiore abbiamo posto convenzionalmente R’’<0.

Il senso di tale convenzione sarà chiaro nel seguito.

x₁, x₂= distanza sorgente-lente e lente-immagine

n₂ = indice di rifrazione assoluto del mezzo di cui è fatta la lente n₁ = indice di rifrazione assoluto del mezzo in cui è immersa la lente

(n = n₂ /n₁)

R’, R’’ = raggi di curvatura del primo e secondo diottro sferico d = spessore della lente

x’ = distanza primo diottro-immagine della sorgente formata dal primo diottro Nel caso di lente sottile (d<<x’) e 1/(d-x’) ≈ - 1/x’. Quindi

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)

Lenti sottili

La quantità (n-1) ( 1/R’ – 1/R”), che ha le dimensioni del reciproco di una distanza che rappresenta la distanza focale della lente, cioè.

1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)

Infatti se la sorgente si pone all’infinito (x₁

→ ∞

⁾

,

allora l’immagine si forma nel fuoco (x₂

→

f). Se l’immagine si forma all’infinito

(

^x₂

→ ∞) ,

allora la sorgente si trova nel punto x₁

→

^f.

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”) Formula delle lenti sottili o formula dei punti coniugati

Formula dei costruttori di lenti

P = 1/f = potere diottrico o potere convergente della lente

Il potere diottrico di una lente si misura nel S.I. in m^-1= diottria (D) Esempi: Una lente di focale 50 cm ha il potere diottrico

P = 1/50 cm = 1/0.5 m= 1/(1/2 m) = 2 m^-1 = 2 D Una lente di focale 20 cm ha il potere diottrico

P = 1/20 cm = 1/0.2 m= 1/(1/5 m) = 5 m^-1 = 5 D

Lenti sottili: convenzione dei segni

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)

Una sorgente ha coordinata x positiva, se si trova nello spazio-sorgenti S, coordinata negativa se si trova nello spazio-immagini I.

Una immagine ha coordinata x positiva, se si trova nello spazio-immagini I, coordinata negativa se si trova nello spazio-sorgenti S.

R’ > 0 se C’ è nello spazio-immagini I; R’ < 0 se C’ è nello spazio-sorgenti S.

Spazio sorgenti = S Spazio immagini = I

x

₁

> 0 x

₁

< 0

x

₂

< 0 x

₂

> 0

C’’

R’ > 0

C’

C ’ , C ” = c e n t r o d i curvatura del 1° e 2° diottro

R’, R” = raggi di curvatura del 1° e 2°

diottro

R’’ > 0 se C’’ è nello spazio-immagini I; R’’ < 0 se C’’ è nello spazio-sorgenti S.

Lenti sottili

Ingrandimento lineare

L’ingrandimento lineare G è il rapporto tra le dimensioni lineari dell’immagine e dell’oggetto = l₂/l₁. Dalla similitudine dei triangoli A₁OB e A₂OB₂

G = l

₂

/l

₁

= x

₂

/x

₁

x

₁

> 0 Sorgente nello spazio sorgenti

x

₂

> 0 Immagine nello spazio immagini G > 0

Immagine rovesciata

e reale

f f f

Lenti sottili

f f

f f

f f

Lenti sottili

f f

f f

f f

Lenti sottili

In tutte le costruzioni geometriche precedenti, l’immagine ottenuta era stigmatica e non distorta. Questo avviene se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Fasci di raggi parassiali

Oggetti di piccole dimensioni Radiazioni monocromatiche

Queste condizioni non si verificano in pratica, quando sono necessari

Grandi aperture di diaframma per avere immagini luminose

Lenti di grande apertura (obiettivi grandangolari) per ottenere

immagini di oggetti di grandi dimensioni

Lenti sottili

f f

f f

Una sorgente posta ad una distanza da una lente convergente maggiore della distanza focale fornisce un’immagine reale e capovolta. Poiché nel caso del disegno x

₁

> 2f ═► G < 1

G = x

₂

/ x

₁

> 0

Lenti sottili

f f

f f

Una sorgente posta ad una distanza da una lente convergente minore della distanza focale fornisce un’immagine virtuale e dritta. Poiché in questo caso x < 2f ═►|G| > 1

G = x

₂

/ x

₁

< 0

Lenti sottili convergenti: ingrandimento

Per valutare il valore dell’ ingrandimento consideriamo i seguenti casi:

G = 1 ═ > ^x

₂

^/x

₁

^{= 1} ═ > ^x

₂

^{= x}

₁

═ >

═> ^1/x

₁

^{+ 1/x}

₁

^{= 1/f} ═> ^2/x

₁

^{= 1/f} ═ > ^x

₁

^{= x}

₂

^{= 2f}

G > 1 ═ > x

₂

/x

₁

> 1 ═ > x

₂

> x

₁

═ >

═> x

₂

= f x

₁

/ (x

₁

– f) > x

₁

═> fx

₁

> x

₁²

– fx

₁

═ >

═ > ^x

₁²

^{– 2fx}

₁

^{< 0} ═ > ^x

₁

^(x

₁

– 2f) < 0 ═ >

═ > (x

₁

– 2f) < 0 ═ > x

₁

< 2f

Dall’equazione dei punti coniugati: 1/x

₁

+ 1/x

₂

= 1/f si trova che 1/x

₂

+ = 1/f - 1/x

₁

1/x

₂

= (x

₁

– f) /f x

₁

x

₂

= f x

₁

/ (x

₁

– f)

Analogamente si trova che se G < 1 allora x

₁

> 2f

Lenti sottili

f f

f f

Una sorgente posta nello spazio sorgenti fornisce un’immagine virtuale, dritta e rimpicciolita.

G = x

₂

/ x

₁

< 0

Lenti sottili divergenti: ingrandimento

Quando la sorgente si trova nello spazio sorgenti x

₁

> 0

Poiché la lente è divergente f < 0

In questo caso x

₁

> f 1/ x

₁

> 1/f Poiché 1/x

₂

= 1/f - 1/x

₁

< 0

Essendo sia 1/f che -1/x

₁

due quantità negative

1/x

₂

= 1/f - 1/x

₁

< -1/x

₁

1/x

₂

= 1/f - 1/x

₁

< 1/f

Dalla prima delle due equazioni si ha che x

2

> f

cioè che la posizione dell’immagine è sempre tra il vertice della lente ed il fuoco.

Dalla seconda delle equazioni si ha che x

₂

> - x

₁

I = | x

₂

| / | x

₁

| < 1

x

₂

< 0

- x

₂

< x

₁

Ricordando che |x

₂

| = - x

₂

|x

₁

| = x

₁

Lenti sottili: un’altra formula per l’ingrandimento

G = l

₂

/l

₁

= x

₂

/x

₁

= x

₂

. (1/x

₁

) = (x

₂

–f)/f Quindi l’ingrandimento G può scriversi

Dalla formula dei punti coniugati 1/x

₁

+ 1 /x

₂

= 1/f

1/x

₁

= 1/f - 1 /x

₂

1/x

₁

= (x

₂

– f) /x

₂

f

Analogamente

1/x

₂

= 1/f - 1 /x

₁

1/x

₂

= 1/f - 1 /x

₁

1/x

₂

= (x

₁

– f) /x

₁

f

G = l

₂

/l

₁

= x

₂

/x

₁

= (1/x

₁

)/(1/x

₂

) = (1/x

₁

) x

₁

f /(x

₁

–f) = f /(x

₁

–f)

In definitiva

G = (x

₂

– f) / f G = f / (x

₁

– f)

Sistemi a più lenti sottili

Se consideriamo un sistema costituito da due o più lenti sottili i cui assi ottici coincidano, per trovare l’immagine di una sorgente

1

) Si determina la posizione e l’ingrandimento dell’immagine formata dalla lente più vicina alla sorgente attraverso la formula dei punti coniugati;

2) Si considera l’immagine così ottenuta come sorgente per la seconda lente e si determina la posizione e l’ingrandimento della seconda immagine;

3

) Si ripete il punto 2) fino ad esaurire tutte le lenti del sistema.

Se le lenti sottili sono accostate, il potere diottrico del sistema è la somma dei poteri diottrici delle singole lenti:

D = D

₁

+ D

₂

+ D

₃

+... = 1/f

₁

+ 1/f

₂

+ 1/f

₃

+ ...

e l’ingrandimento del sistema è il prodotto degli ingrandimenti:

I = I

₁

⋅ I

₂

⋅ I

₃

...

Aberrazioni assiali

Le aberrazioni assiali sono deformazioni delle immagini che si verificano quando il punto sorgente si trova sull’asse della lente.

Aberrazioni assiali: aberrazione di sfericità

Si verifica quando per il sistema sorgente-lente non è verificata l’approssimazione di Gauss.

Ad un punto sorgente all’infinito sull’asse della lente non corrisponde più un punto immagine: i raggi che incidono più lontano dall’asse ottico (raggi marginali) dopo la rifrazione si incontreranno in un fuoco marginale, mentre quelli che incidono più vicino all’asse ottico (raggi parassiali) convergeranno nel fuoco parassiale.

L’inviluppo di tutti i raggi rifratti formerà la superficie caustica, che ha un’asse, ma non un centro di simmetria.

Fuoco

marginale Fuoco parassiale Il punto centrale dell’immagine nel fuoco parassiale rappresenta l’mmagine parassiale del punto

Quest'ultimo metodo può essere applicato in modo più preciso che in passato, in quanto i vetri ottici oggi disponibili permettono ampie possibilità di scelta in termini di rifrazione e dispersione.

Alcuni moderni vetri al boro, al lantanio e al torio, avendo un alto indice di rifrazione e proprietà medie di dispersione, provocano la necessaria deviazione dei raggi di luce con elementi di minore spessore e con curvature poco accentuate delle superfici ottiche, condizione essenziale per impedire l'insorgere di questo tipo di aberrazione.

Correzione dell’aberrazione di sfericità

Per correggere l'aberrazione sferica si può ricorrere al sistema tradizionale della combinazione di una lente positiva con una negativa più debole affetta da aberrazione sferica uguale ma di segno opposto (la focale parassiale è minore di quella marginale).

Un sistema corretto per l’aberrazione di sfericità si dice aplanatico.

Aberrazioni assiali:

aberrazione di cromaticità

Poiché l’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda, un fascio di raggi policromatici paralleli nella direzione dell’asse ottico non si concentra in un unico punto, ma in tanti punti, quanti sono le componenti monocromatiche del fascio.

Correzione dell’aberrazione di cromaticità

Doppietto acromatico: una lente positiva (potere diottrico D_c) di vetro più dispersivo (crown) + lente negativa (D_d) di vetro meno dispersivo (flint).

I raggi di curvatura delle due lenti sono scelti in modo tale che Potere diottrico totale = D_c + D_d = D_ob > 0

D_ob (blu) = D_ob ( rosso)

Un sistema corretto per l’aberrazione di cromaticità si dice

A

O

B

C

O’

O’’

α β γ

1

2

Formalmente la 2

^a

legge della riflessione si può scrivere come un caso particolare della 2

^a

legge della rifrazione. Infatti nella riflessione

γ = 2π – β = 2π – α

sen (α)/sen (γ) = sen (α)/sen (2π-α) = sen (α)/sen (-α) = sen (α)/-sen (α) = - 1 D’altra parte per la 2

^a

legge della rifrazione

sen (α) / sen (γ) = n

₂

/n

₁

Da cui

n

₂

/n

₁

= - 1

γ

n

₁

= 1 n

₂

= - 1

Riflessione e rifrazione

Le formule ricavate per la rifrazione valgono anche per la

riflessione se si pone n

₁

=1 e n

₂

= -1.

n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/

R

Eq. del diottro sferico

f₁ = R n₂/(n₂-n₁) Eq. del 1° fuoco

Specchio sferico convesso

1/x - 1/x’ = -2/R

Eq. dello specchio sferico

f= R/2

Eq. del fuoco dello specchio

Ingrandimento lineare

n

₁

= 1 n

₂

= - 1

Ingrandimento lineare G = l’/l = - x’ /x

Specchio sferico concavo

n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/

R

Eq. del diottro sferico

f₂ = R n₁/(n₂-n₁) Eq. del 2° fuoco

1/x - 1/x’ = -2/R

Eq. dello specchio sferico

f= - R/2

Eq. del fuoco dello specchio

Ingrandimento lineare G = l’/l = x’ n₁/x n₂

n

₁

= 1 n

₂

= - 1

Ingrandimento lineare G = l’/l = - x’ /x

Specchio sferico convesso:

costruzione dell’immagine

1/x - 1/x’ = -2/R f= R/2

G = l’/l = - x’ /x

x > 0 1/x ’ = 1/x + 2/R >

0 x ’ >

1/x 0 ’ > 1/x x ’ < ^x

G > 0

Specchio sferico concavo:

costruzione dell’immagine con sorgente tra fuoco e specchio

1/x’ < 1/x x’ > x

1/x - 1/x’ = -2/R

1/x’ = 1/x + 2/R

f= - R/2 G = l’/l = - x’ /x

G > 0

Specchio sferico concavo:

costruzione dell’immagine con sorgente tra fuoco e infinito

1/x - 1/x’ = -2/R f= - R/2

G = l’/l = - x’ /x

G < 0

Si noti che poiché G(specchio) = -x’/x è opposto a G (lente) = x’/x

G(specchio)<0 immagine reale e capovolta