Liceo Scientifico G. Galilei. Anno Scolastico 2014/2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA. Classe II C

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Liceo Scientifico “G. Galilei”

Anno Scolastico 2014/2015

PROGRAMMA DI MATEMATICA

Classe II C

Libri di testo:

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Algebra.blu con Statistica, Vol.2, Zanichelli.

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Geometria.blu, Zanichelli.

ALGEBRA

Ripasso di questioni fondamentali del programma di Algebra della Classe I

- Concetti di identità ed equazione. Concetto di valore che soddisfa (verifica) una uguaglianza. Concetti di incognita (variabile), membri di un’equazione. Classificazione delle equazioni: equazioni numeriche e letterali, intere e fratte. Significato delle lettere (parametri) nelle equazioni letterali. Concetti di soluzione e risoluzione di un’equazione. Distinzione del concetto di soluzione a seconda del numero di variabili dell’equazione. Classificazione di un’equazione rispetto alle soluzioni: equazione determinata, indeterminata, impossibile.

- Equazioni equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto.

Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e di divisione. Regola del cambiamento di segno.

Regola di eliminazione del minimo comun denominatore. Semplificazione di un’equazione mediante divisione con M.C.D. dei coefficienti numerici.

- Equazioni in una variabile. Forma normale e riduzione in forma normale. Grado di un'equazione.

- Equazioni in una variabile lineari. Forma normale. Risoluzione di equazioni in una variabile lineari intere numeriche.

- Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione e discussione di equazioni lineari intere letterali: discussione a seconda della presenza o meno della/delle lettera/e nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni.

- Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione di equazioni lineari razionali fratte numeriche: condizioni di esistenza, verifica dell’accettabilità delle soluzioni.

- Ripasso ed approfondimenti nella risoluzione di equazioni lineari razionali fratte letterali: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni (anche con lettera contenuta nella soluzione e/o nelle condizioni di esistenza).

- Problemi di primo grado in una variabile.

Disequazioni algebriche in una incognita. Disequazioni lineari - Disuguaglianze numeriche. Proprietà ed osservazioni relative.

- Disequazioni algebriche in una incognita. Classificazione delle disequazioni algebriche: disequazioni algebriche numeriche e letterali, intere e fratte. Concetti di soluzione e risoluzione di una disequazione in una incognita. Disequazioni algebriche impossibili. Rappresentazione delle soluzioni in forma algebrica, grafica, insiemistica e con intervalli.

- Disequazioni algebriche equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto. Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e di divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola di eliminazione del minimo comun denominatore numerico. Semplificazione di un’equazione mediante divisione con M.C.D. dei coefficienti numerici.

- Forma normale e grado di una disequazione algebrica intera. Forma normale di una disequazione algebrica fratta.

- Disequazioni algebriche lineari in una incognita. Forma normale. Disequazioni algebriche lineari intere numeriche. Disequazioni algebriche lineari intere letterali: risoluzione e discussione in presenza di una o più lettere nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. Disequazioni algebriche razionali fratte numeriche: condizioni di esistenza, prodotto dei segni. Disequazioni algebriche razionali fratte

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letterali: risoluzione e discussione. Disequazioni algebriche solubili per scomposizione. Disequazioni frazionarie con termini di grado superiore al secondo scomponibili: prodotto dei segni a tre o più fattori.

Disequazioni algebriche aventi a primo membro una potenza, a seconda che l’esponente sia pari o dispari.

Sistemi di disequazioni algebriche lineari intere e fratte, numeriche e letterali o per scomposizione.

- Problemi risolvibili mediante disequazioni algebriche.

Sistemi lineari

- Richiami su equazioni in due o più incognite. Grado e soluzione di un’equazione di due o più variabili.

Equazioni determinate, indeterminate, impossibili.

- Retta: richiami ed equazione. Interpretazione geometrica delle soluzioni (eventuali) di un’equazione lineare di due incognite numerica come coordinate dei punti appartenenti alla retta che essa rappresenta. Equazione di una retta generica in forma implicita ed esplicita. Coefficiente angolare e ordinata all’origine di una retta:

significato geometrico e determinazione da entrambe le forme. Segno e variazione del coefficiente angolare di una retta obliqua. Condizioni di parallelismo (parallele distinte o coincidenti) e incidenza di due rette, da entrambe le forme (tre formulazioni equivalenti a partire dalla forma implicita) (dimostrazione).

Condizione di perpendicolarità da entrambe le forme. Determinazione della posizione reciproca di due rette e delle coordinate dell’eventuale punto di intersezione. Equazioni di rette in posizione particolare: 1.

Passanti per l’origine; 2. Parallele all’asse x (equazione dell’asse x); 3. Parallele all’asse y (equazione dell’asse y). Introduzione di 2. e 3. come luoghi geometrici e osservazioni sui relativi coefficienti angolari.

Determinazione dell’equazione di una retta passante per due punti.

- Sistemi di due o più equazioni in due o più incognite. Forma normale e riduzione di sistemi a forma normale. Sistemi interi e fratti, numerici e letterali. Grado di un sistema. Soluzione e risoluzione di un sistema. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Interpretazione geometrica della soluzione di un sistema lineare di due equazioni e due incognite intero numerico determinato e di sistemi lineari di due equazioni e due incognite interi numerici indeterminati o impossibili. Metodo per stabilire se un sistema è determinato, indeterminato, impossibile a partire dalla forma normale (dimostrazione in base a condizioni di parallelismo e incidenza dimostrate per rette).

- Sistemi equivalenti. Principi di equivalenza di sistemi. Principio di sostituzione. Metodo di sostituzione.

Risoluzione di un sistema con il metodo di sostituzione. Metodo di confronto. Risoluzione di un sistema con il metodo di confronto. Principio di riduzione. Metodo di riduzione. Risoluzione di un sistema con il metodo di riduzione. Concetto di matrice. Matrici rettangolari e relative dimensioni, matrici quadrate e relativo ordine. Matrici associate ad un sistema: matrice dei coefficienti o incompleta, matrice dei termini noti, matrice completa. Determinante di matrici quadrate di ordine due o tre (regola di Sarrus). Metodo di Cramer per sistemi lineari di due equazioni e due incognite (dimostrazione). Metodo di Cramer per sistemi lineari di tre equazioni e tre incognite.

- Sistemi lineari interi numerici di due (risp. tre, quattro) equazioni in due (risp. tre, quattro) incognite:

risoluzione. Sistemi fratti numerici di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: condizioni di esistenza, verifica dell’accettabilità delle soluzioni. Sistemi lineari interi letterali di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: risoluzione e discussione a seconda che la/le lettera/e sia/siano o meno nel coefficiente di una variabile e/o al denominatore di frazioni. Sistemi fratti letterali di due (risp. tre) equazioni in due (risp. tre) incognite: condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni.

- Problemi risolvibili con sistemi di due (risp. tre) equazione e due (risp. tre) incognite.

Radicali

- Successivi ampliamenti di insiemi numerici al fine di ottenere insiemi chiusi rispetto a particolari operazioni: richiami. Rappresentazione dei numeri razionali sotto forma decimale e relative tipologie.

Osservazione: l’insieme dei numeri razionali non è chiuso rispetto all’operazione di “estrazione” da radice quadrata (o ma). Teorema: Dati e , esiste ed è unico , tale che . Numero irrazionale: definizione. Insieme dei numeri reali. Cenno all’insieme dei numeri complessi.

- Radicali aritmetici: definizione, terminologia. Condizioni di esistenza di radicali aritmetici.

Osservazione: l’insieme dei radicali aritmetici è sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri irrazionali.

- Richiami ed approfondimenti sul valore assoluto. Definizione e proprietà del valore assoluto di un numero reale o di un’espressione algebrica in (definizione per casi). Funzione valore assoluto e relativo grafico: esempi ed osservazioni relative. Funzioni definite per casi. Funzione valore assoluto composta con un’espressione algebrica in , relativo grafico a partire da quello di . Esempi relativi.

- Radicali aritmetici. Proprietà elementari. Proprietà invariantiva. Radicali irriducibili. Semplificazione di radicali. Utilizzo del valore assoluto nella semplificazione di radicali sulla base delle condizioni di esistenza. Riduzione di più radicali allo stesso indice. Confronto di radicali.

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- Operazioni con i radicali: moltiplicazione e divisione di radicali. Teorema del prodotto (dimostrazione).

Teorema del quoziente (dimostrazione). Regole inverse. Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice:

discussione sul segno del fattore. Trasporto di un fattore sotto il segno di radice: discussione del segno del fattore e utilizzo del valore assoluto. Potenza di radicali. Teorema relativo (dimostrazione). Radice di un radicale. Teorema relativo (dimostrazione). Radicali simili. Addizione e sottrazione di radicali simili.

Razionalizzazione del denominatore di una frazione nei casi: 1. , 2. , 3. , 4.

. Radicali quadratici doppi.

Prodotti e prodotti notevoli con radicali. Espressioni con tutte le operazioni tra radicali aritmetici introdotte, anche con prodotti notevoli.

- Scomposizioni in fattori con i radicali. Semplificazione di frazioni algebriche contenenti radicali.

- Potenze con esponente razionale e relative proprietà. Espressioni con potenze con esponenti razionali positivi o negativi.

- Radicali in R: definizione e condizioni di esistenza. Proprietà ed eccezioni. Semplificazione, riduzione allo stesso indice, operazioni.

- Radicali algebrici: definizione. Regole di calcolo. Proprietà.

- Confronto tra le tre tipologie di radicali introdotti.

- Equazioni a coefficienti irrazionali, intere e frazionarie.

Equazioni di secondo grado

- Equazioni intere di 2° grado: forma normale e riduzione in forma normale. Primo, secondo e terzo coefficiente (termine noto). Equazioni di secondo grado complete ed incomplete.

- Equazioni incomplete. Equazioni pure: forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni spurie: forma normale e metodo di risoluzione con la legge di annullamento del prodotto. Equazioni monomie: forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni riconducibili ad equazioni pure, spurie, monomie attraverso l’uso di un’incognita ausiliaria.

- Equazioni complete. Discriminante di una equazione di 2° grado. Regola risolutiva delle equazioni di 2°

grado complete (dimostrazione). Formula risolutiva (dimostrazione). Regola risolutiva e formula risolutiva ridotta di una equazione di 2° grado (dimostrazione). Equazioni di 2° grado intere numeriche: risoluzione.

Equazioni di 2° grado numeriche fratte: condizioni di esistenza e verifica dell’accettabilità delle soluzioni.

Equazioni di 2° grado intere letterali: risoluzione e discussione a seconda che la/le lettera/e sia/siano o meno nel coefficiente della variabile e/o al denominatore di frazioni. Equazioni di 2° grado letterali fratte:

condizioni di esistenza, discussione, verifica dell’accettabilità delle soluzioni.

- Problemi di 2° grado in una incognita.

- Relazioni tra i coefficienti e le soluzioni (eventuali) di un’equazione di 2° grado intera (dimostrazione).

Problemi relativi, in particolare: 1. Trovare soluzioni di un’equazione di secondo grado senza risolverla (o trovare una soluzione sapendo l’altra); 2. Determinazione dell’equazione di 2° grado avente come soluzione due numeri dati; 3. Trovare due numeri sapendo la loro somma ed il loro prodotto; 4. Regola di Cartesio; 5.

Scomposizione di un trinomio di 2° grado (dimostrazione). Semplificazione di frazioni algebriche contenenti trinomi di 2° grado.

- Equazioni parametriche. Equazioni parametriche di secondo grado intere. Determinazione del parametro sotto varie condizioni, in particolare: 1. L’equazione ha due soluzioni reali; 2. L’equazione ha due soluzioni reali distinte; 3. L’equazione ha due soluzioni reali coincidenti; 4. L’equazione è impossibile; 5.

L’equazione ha una soluzione data; 6. Le soluzioni hanno somma data; 7. Le soluzioni hanno prodotto dato;

8. Le soluzioni sono opposte; 9. Le soluzioni sono reciproche; 10. La somma dei reciproci delle soluzioni è data; 11. La somma dei quadrati delle soluzioni è data. Ulteriori condizioni: soluzioni concordi, entrambe positive o negative, discordi.

Disequazioni di secondo grado

- Parabola. Richiami sulla parabola con vertice nell'origine. Asse di simmetria, concavità, apertura e sua variazione. Funzione quadratica nel caso generale e parabola (con asse parallelo all’asse ) in posizione generica rispetto agli assi: asse di simmetria, vertice, concavità e variazione apertura. Coordinate del vertice, equazione dell’asse di simmetria e concavità, coordinate del punto di intersezione con l’asse , rappresentazione grafica a partire dai coefficienti dell’equazione. Posizioni reciproche tra parabola e asse x (secante, tangente, esterno) o discussione dell'esistenza o meno di intersezioni con l'asse con relativa determinazione in caso affermativo a seconda della concavità e del segno dell’ordinata del vertice. Zeri della parabola (e, più in generale, di una funzione) e relativa determinazione. Parabola associata ad un’equazione di secondo grado. Interpretazione geometrica delle (eventuali) soluzioni di un’equazione di 2°

grado intera numerica come ascisse dei punti di intersezione della parabola associata con l’asse (zeri della parabola). Posizione particolare della parabola a seconda che nell’equazione , siano e/o . Segno del trinomio a partire dal grafico della parabola associata.

- Disequazioni algebriche di 2° grado in una incognita. Forma normale. Equazione e parabola associate.

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- Relazione tra il segno del discriminante ed il segno dell’ordinata del vertice della parabola con conseguente posizione della parabola rispetto all’asse delle . Regola risolutiva delle disequazioni algebriche di 2° grado intere numeriche attraverso l’uso della parabola (dimostrazione).

- Risoluzione grafica di disequazioni algebriche di secondo grado intere.

- Risoluzione algebrica di disequazioni algebriche di 2°grado intere. Disequazioni numeriche fratte:

condizioni di esistenza.

- Disequazioni algebriche di grado superiore al secondo solubili mediante scomposizione in fattori primi.

Disequazioni binomie, biquadratiche, trinomie: relative regole/metodi risolutivi.

- Sistemi di disequazioni algebriche intere o fratte.

Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni irrazionali. Equazioni in valore assoluto

- Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni binomie, biquadratiche, trinomie: relativa forma normale e metodo di risoluzione. Equazioni solubili mediante scomposizione e legge di annullamento del prodotto. Relazioni fra equazioni pure, biquadratiche, binomie e trinomie. Equazioni reciproche di terzo o quarto grado: scomposizione mediante raccoglimento parziale o regola di Ruffini (dimostrazione).

- Equazioni irrazionali. Definizione. Relazioni tra le soluzioni di un’equazione e le soluzioni dell’equazione da essa ottenuta elevando al quadrato o ad pari (risp. al cubo o ad dispari) ambedue i membri. Teoremi relativi (dimostrazione nei casi e ). Risoluzione di equazioni irrazionali con un radicale di indice pari sia con verifica finale dell’accettabilità delle soluzioni sia con condizioni di esistenza iniziali.

Risoluzione di un’equazioni irrazionale con un radicale di indice dispari. Risoluzione di equazioni irrazionali contenenti più radicali quadratici o cubici o radicali con indice diverso.

- Equazioni in valore assoluto. Definizione. Risoluzione di equazioni con un valore assoluto del tipo ( e espressioni algebriche in ) e del tipo con . Equazioni con due valori assoluti, intere o frazionarie.

Sistemi di secondo grado e di grado superiore al secondo

- Risoluzione di sistemi di 2° grado di due (risp. tre) equazioni e due (risp. tre) incognite, interi e fratti.

Sistemi simmetrici e relativa risoluzione.

- Risoluzione di sistemi di grado superiore al secondo di due equazioni e due incognite.

- Interpretazione geometrica delle eventuali soluzioni di un sistema di secondo grado o di grado superiore al secondo di due equazioni e due incognite come coordinate degli eventuali punti di intersezione delle curve rappresentate dalle equazioni del sistema (cenni all’equazione di una circonferenza, con centro in un generico punto o nell’origine).

GEOMETRIA

Ripasso di questioni fondamentali del programma di Geometria della Classe I - Fascio proprio ed improprio di rette.

- Punti e segmenti corrispondenti in un fascio di rette improprio tagliato da due trasversali: corrispondenza di Talete (ripasso del concetto di corrispondenza biunivoca). Teorema di Talete (per segmenti congruenti):

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale (dimostrazione). Corollario (Teorema della parallela al lato di un triangolo): La retta passante per il punto medio di un lato e parallela ad un secondo lato di un triangolo incontra il terzo lato nel suo punto medio (dimostrazione). Teorema inverso: La retta passante per i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo. Inoltre il segmento che ha per estremi tali punti medi è congruente alla metà del terzo lato (dimostrazione). Teorema: In un trapezio, il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle sue basi e congruente alla loro semisomma (dimostrazione).

Luoghi geometrici

- Luoghi geometrici. Asse di un segmento e proprietà caratteristica (dimostrazione). Bisettrice di un angolo e proprietà caratteristica (dimostrazione).

Circonferenza e cerchio

- La circonferenza ed il cerchio. Raggio, corda, diametro, punto interno e punto esterno. Teorema: Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza (dimostrazione).

- Parti della circonferenza: arco, semicirconferenza (arco sotteso da una corda). Parti del cerchio: angolo al centro (angolo che insiste su un arco), settore circolare, semicerchio, segmento circolare ad una base, segmento circolare a due basi. Angoli al centro e figure ad essi corrispondenti (arco, settore circolare,

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segmento circolare). Teorema: Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro o fra due archi o fra due settori circolari o fra due segmenti circolari allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate.

- Teoremi sulle corde. Teorema: In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda non passante per il centro (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risultano divisi a metà da tale diametro (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda (dimostrazione). Teorema:

In una circonferenza, corde congruenti sono equidistanti dal centro (dimostrazione). Teorema (inverso): In una circonferenza, corde equidistanti dal centro sono congruenti (dimostrazione). Teorema: Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non sono equidistanti dal centro e la corda maggiore ha distanza minore (dimostrazione).

- Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza. Teorema: Una retta ed una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune (dimostrazione). Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza: retta secante, tangente ed esterna ad una circonferenza. Teorema: Una retta è esterna (risp. tangente, secante) ad una circonferenza se e soltanto se la distanza del centro della circonferenza dalla retta è maggiore (risp. uguale, minore) del raggio (dimostrazione). Tangente ad una circonferenza in un suo punto. Tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno. Teorema: Se una retta è tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto H, allora è perpendicolare al raggio OH (dimostrazione).

Teorema (inverso): Se una retta è perpendicolare al raggio di una circonferenza nel suo estremo H, allora è tangente in H alla circonferenza (dimostrazione). Teorema: Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette ad essa tangenti, allora i segmenti di tangente, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l’altro nel punto di tangenza, sono congruenti, la semiretta di origine P passante per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti, la semiretta di origine O e passante per P è bisettrice dell’angolo al centro i cui lati passano per i punti di tangenza e la retta OP è asse della corda avente per estremi i punti di tangenza (dimostrazione).

- Posizioni reciproche di due circonferenze. Circonferenze secanti, tangenti (internamente o esternamente), esterne, interne (circonferenze concentriche). Caratterizzazione della posizione reciproca di due circonferenze in base al confronto tra la distanza tra i rispettivi centri e la somma/differenza dei rispettivi raggi (dimostrazione). Asse dei centri e relative proprietà a seconda che le due circonferenze siano secanti o tangenti. Asse radicale.

- Angoli alla circonferenza. Teorema: Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro (dimostrazione). Corollario 1: Nella stessa circonferenza, angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti (dimostrazione). Corollario 2: Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza è retto (dimostrazione). Problemi relativi.

- Poligoni inscritti e circoscritti, inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza. Teorema: Se gli assi dei lati di un poligono si incontrano in uno stesso punto allora il poligono è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Teorema (inverso): Gli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza si incontrano in uno stesso punto (dimostrazione). Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei lati si incontrino in uno stesso punto.

Teorema: Se le bisettrici degli angoli di un poligono si incontrano in uno stesso punto allora il poligono è circoscrittibile ad una circonferenza (dimostrazione). Teorema (inverso): Le bisettrici degli angoli di un poligono circoscritto ad una circonferenza si incontrano in uno stesso punto (dimostrazione). Teorema:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici degli angoli si incontrino in uno stesso punto.

- Punti notevoli di un triangolo. Teorema: Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (dimostrazione). Circocentro. Corollario: Ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza avente per centro il circocentro del triangolo. Teorema: Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto (dimostrazione). Incentro. Corollario: Ogni triangolo è circoscrittibile a una circonferenza avente per centro l’incentro del triangolo. Teorema: Le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi si intersecano in uno stesso punto. Excentro. Teorema: Le altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un punto (dimostrazione). Ortocentro. Teorema: Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto. Il punto di intersezione divide ogni mediana in due parti tali che quella avente per estremo un vertice è doppia dell’altra (dimostrazione). Baricentro. Teorema: Un triangolo rettangolo è inscrittibile in una semicirconferenza (dimostrazione). Problemi relativi.

- Quadrilateri inscritti e circoscritti. Quadrilateri inscritti. Teorema: In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari (dimostrazione). Teorema (inverso): Un quadrilatero avente una coppia di angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione).

Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari. Corollario: Ogni rettangolo, quadrato o trapezio isoscele è inscrittibile in una circonferenza (dimostrazione). Quadrilateri circoscritti. Teorema: In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due

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(dimostrazione). Teorema (inverso): Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza (dimostrazione). Teorema:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrittibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due. Corollario: Un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza. Se il rombo è un quadrato i punti di tangenza coincidono con i punti medi dei lati. Poligoni regolari. Teorema: Un poligono regolare è inscrittibile in una circonferenza e circoscrittibile ad un’altra. Le due circonferenze hanno lo stesso centro (dimostrazione). Elementi notevoli nei poligoni regolari: centro, apotema, raggio. Teorema: Se una circonferenza è divisa in tre o più archi congruenti, allora: il poligono inscritto che si ottiene congiungendo i punti di suddivisione è regolare; il poligono circoscritto che si ottiene tracciando le tangenti alla circonferenza nei punti di suddivisione è regolare. Teorema: Una circonferenza è suddivisibile in n archi congruenti, dai: vertici dei poligoni regolari inscritti in essa; punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti. Teorema: Il lato dell’esagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente al raggio della circonferenza (dimostrazione). Problemi relativi.

Equivalenza di superfici piane

- Concetti di superficie piana limitata e di estensione superficiale di una superficie piana. Superfici (figure) equivalenti. Figure prevalenti e suvvalenti. Postulato 1: Due superfici congruenti sono equivalenti.

Postulato 2: L’equivalenza di superfici gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva (è relazione di equivalenza). Somma di superfici e relative proprietà. Differenza di superfici. Postulato 3: Superfici ottenute come somme di superfici rispettivamente congruenti o equivalenti sono equivalenti. Postulato 4 Superfici ottenute come differenze di superfici rispettivamente congruenti o equivalenti sono equivalenti.

Postulato 5 (di De Zolt): Ogni superficie è prevalente a una sua parte. Figure equicomposte (equiscomponibili). Teorema: Poligoni equicomposti sono equivalenti.

- Equivalenza di poligoni. Teorema: Due parallelogrammi aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Corollario: Un parallelogramma ed un rettangolo aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente altezza congruente a quella del triangolo e base congruente alla metà della base del triangolo (dimostrazione). Corollario: Due triangoli aventi congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente base congruente a quella del triangolo e altezza congruente alla metà dell’altezza del triangolo. Teorema: Un parallelogramma con base ed altezza congruenti a quelle di un triangolo è equivalente al suo doppio (dimostrazione). Teorema: Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente altezza congruente a quella del trapezio e base congruente alla somma delle basi del trapezio (dimostrazione). Teorema: Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza (apotema del poligono) (dimostrazione).

Corollario: Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema (dimostrazione). Problemi relativi.

- Teoremi di Pitagora ed Euclide. Primo Teorema di Euclide (dimostrazione). Teorema di Pitagora (dimostrazione). Teorema inverso: Un triangolo nel quale la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato è rettangolo. Secondo Teorema di Euclide (dimostrazione).

Problemi relativi.

Misura e grandezze proporzionali

- Lunghezze, ampiezze (angolo orientato) e aree. Concetto di classe di grandezze. Grandezze omogenee.

Insiemi delle lunghezze di segmenti, ampiezze di angoli orientati, aree di superfici piane come classi di grandezze. Grandezze multiple e sottomultiple. Postulati di Eudosso-Archimede. Grandezze commensurabili e incommensurabili. Teorema: La diagonale ed il lato di un quadrato sono incommensurabili (dimostrazione).

- Misura di una grandezza rispetto ad un’altra fra loro commensurabili. Generalizzazione al caso di grandezze incommensurabili. Unità di misura. Proprietà della misura. Postulato di continuità. Classi contigue. Cenni all'assioma di continuità nell'insieme dei numeri reali quale unico assioma che distingue tale insieme (definito assiomaticamente) dall'insieme dei numeri razionali.

- Rapporto di due grandezze omogenee. Teorema fondamentale sui rapporti (dimostrazione).

- Proporzioni tra grandezze. Terminologia relativa. Teorema fondamentale sulle proporzioni tra grandezze.

Proprietà delle proporzioni tra grandezze. Teorema (esistenza ed unicità della quarta proporzionale): Date due grandezze omogenee e , e una terza grandezza ( non nulle), esiste ed è unica una quarta grandezza , omogenea a , che con le prime tre forma la proporzione .

- Corrispondenza biunivoca tra classi di grandezze (funzione biettiva). Classi di grandezze direttamente proporzionali. Criterio di proporzionalità diretta. Teorema: I rettangoli di uguale altezza sono proporzionali alle rispettive basi (dimostrazione). Teorema: I rettangoli di uguale base sono proporzionali alle rispettive altezze (dimostrazione). Teorema: In una circonferenza, gli angoli al centro sono direttamente proporzionali ai corrispondenti archi (dimostrazione). Osservazione: In una circonferenza, angoli al centro e corde

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corrispondenti sono direttamente proporzionali, mentre gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro o le corde e i corrispondenti archi non sono direttamente proporzionali. Classi di grandezze inversamente proporzionali.

- Teorema di Talete: Un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali individua su di esse due insiemi di segmenti direttamente proporzionali (dimostrazione). Teorema inverso. La retta parallela al lato di un triangolo. Teorema: Una retta parallela al lato di un triangolo divide gli altri due, o i loro prolungamenti, in segmenti proporzionali (dimostrazione). Teorema (inverso): Una retta che determina su due lati del triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo. Teorema: In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due lati (dimostrazione). Teorema (inverso): Se in un triangolo un punto di un lato lo divide in parti direttamente proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto con il vertice dell’angolo opposto è bisettrice di tale angolo.

- Aree dei poligoni. Area di un rettangolo (dimostrazione). Area di un parallelogramma (dimostrazione).

Area di un quadrato (dimostrazione). Area di un triangolo qualsiasi e di un triangolo rettangolo (dimostrazione). Area di un trapezio (dimostrazione). Area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari (in particolare di un rombo) (dimostrazione). Area di un poligono circoscritto ad una circonferenza (dimostrazione). Area di un poligono regolare (dimostrazione).

- Relazioni tra le misure degli elementi di un triangolo rettangolo. Espressione metrica dei teoremi di Pitagora e di Euclide. Formule derivate (dirette ed inverse). Relazioni metriche tra lato (di misura ) e altezza (di misura ) di un triangolo equilatero (tra ipotenusa e cateto adiacente all’angolo di 30° di un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°): , (dimostrazione). Relazioni metriche tra lato (di misura ) e diagonale (di misura ) di un quadrato (tra ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45°): , (dimostrazione).

Trasformazioni geometriche

- Concetto di trasformazione geometrica. Punto unito. Composizione di trasformazioni. Isometrie e relative proprietà invarianti. Traslazione, rotazione, simmetria centrale, simmetria assiale: relative proprietà, punti e figure unite, composizioni. Omotetia e relative proprietà.

Similitudine

- Similitudine. Figure simili. Angoli (interni), vertici e lati omologhi (corrispondenti) in figure simili.

Proprietà della similitudine: 1. Figure congruenti sono simili: 2. La similitudine è una relazione di equivalenza.

- Similitudine fra triangoli. Criteri di similitudine dei triangoli. Primo criterio di similitudine (dimostrazione).

Corollario 1: Due triangoli equilateri sono simili (dimostrazione). Corollario 2: Due triangoli rettangoli aventi un angolo acuto congruente sono simili (dimostrazione). Corollario 3: Due triangoli isosceli aventi l’angolo al vertice, ovvero un angolo alla base congruenti sono simili (dimostrazione). Secondo criterio di similitudine (dimostrazione). Corollario: Due triangoli rettangoli aventi i due cateti in proporzione sono simili (dimostrazione). Terzo criterio di similitudine (dimostrazione).

- Applicazione dei criteri di similitudine. Teorema: In due triangoli simili le basi stanno tra loro come le rispettive altezze (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le mediane relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Teorema: In due triangoli simili le bisettrici di due angoli omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati omologhi (dimostrazione). Primo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa (dimostrazione).

Secondo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (dimostrazione).

- La similitudine nella circonferenza. Teorema delle corde: Se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione (dimostrazione). Teorema delle secanti: Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in e l’altro in ciascuno dei punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione (dimostrazione). Teorema della secante e della tangente: Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una secante ed una tangente, il segmento di tangente che ha per estremi ed il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi e ciascuno dei punti di intersezione (dimostrazione). Sezione aurea di un segmento.

Teorema: Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al decagono.

- Poligoni simili. Condizione sufficiente per la similitudine di due poligoni con lo stesso numero di lati.

Corollario: Due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili (dimostrazione). Teorema: I

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perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi (dimostrazione). Teorema: I perimetri di due poligoni regolari con lo stesso numero di lati stanno tra loro come i rispettivi apotemi e come i raggi delle rispettive circonferenze circoscritte (dimostrazione). Teorema: Le aree di due triangoli simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi (dimostrazione). Estensione del teorema al caso di due poligoni simili qualsiasi.

- Circonferenza rettificata. Lunghezza di una circonferenza. Teorema: Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle misure dei rispettivi raggi (dimostrazione). Teorema (misura della lunghezza di una circonferenza): Osservazione: Il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro è costante e precisamente uguale a . La misura della lunghezza di una circonferenza è uguale al prodotto della misura del diametro per . Area del cerchio. Teorema: Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla circonferenza rettificata ed altezza congruente al raggio (dimostrazione). Teorema (misura dell’area di un cerchio): La misura dell’area di un cerchio è uguale al prodotto di per il quadrato della misura del raggio. Cenni al concetto di radiante. Misura della lunghezza di un arco di circonferenza (dimostrazione). Misura dell’area di un settore circolare (dimostrazione). Teorema: La misura della lunghezza del raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto tra la misura dell’area e la misura del semiperimetro del triangolo (dimostrazione).

Teorema: La misura della lunghezza del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo è uguale al rapporto tra il prodotto delle misure delle lunghezze dei lati ed il quadruplo della misura dell’area del triangolo (dimostrazione). Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo sapendo le misure delle lunghezze dei suoi lati (dimostrazione).

- I lati di poligoni regolari. Altezza, lato e area di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato, diagonale e area di un quadrato inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Altezza, lato e area di un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato, diagonale e area di un quadrato circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Lato di un esagono regolare circoscritto ad una circonferenza a partire dal relativo raggio (dimostrazione). Problemi relativi.

Siena, 6 giugno 2015

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