Appendice 3: Approfondimenti sull’estensione dello spettro operata dall’HTRAIT
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Appendice 3: Approfondimenti sull’estensione dello spettro operata dall’algoritmo HTRAIT
Nel capitolo 3, paragrafo 3.6, abbiamo visto che al fine di calcolare lo spettro è necessario introdurre l’angolo δ tale che s=−
(
1+ jδ) ( )
exp z .Per il modello a costanti di tempo discrete, l’impedenza termica vista dalla sorgente si esprime come:
( )
11 1 exp ( )
n
i i
i i i
R R
Z s = ∑
=+ s τ = ∑ + S + ζ
(A.3.1)con S =ln
( )
s .Analogamente per uno spettro di costanti di tempo continuo si ha:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 exp 1 exp
R R z
Z S d dz
S S z
ζ ζ
ζ
+∞ +∞
−∞ −∞
= = −
+ + + −
∫ ∫
(A.3.2)Prendiamo ora tale funzione sull’asse reale negativo del piano complesso:
( )
( ) ( )
( ) ( )
ln
1 1 exp R z
Z dz
j z
σ δ
+∞
−∞
Σ = − Σ = −
− + Σ −
∫
(A.3.3)Appendice 3: Approfondimenti sull’estensione dello spettro operata dall’HTRAIT
172 Che scriviamo come
( ) ( )
a( )
Z z = R − ⊗ z W z
(A.3.4)dove
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ( ) ) ( )
( )
( ( ) ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 exp
1 exp exp
1 exp exp 1 exp exp
a ar ai
W z W z jW z
j z
z z
z z j z z
δ
δ
δ δ
= = + =
− +
= − +
− + − +
(A.3.5)
La A.3.5 può quindi essere separata in parte reale ed immaginaria:
{ ( ) } ( ) ( )
{ ( ) } ( ) ( )
Re Im
ar ai
Z z R z W z Z z R z W z
= − ⊗
= − ⊗
(A.3.6)Si dimostra che se δ →0 W approssima una delta di Dirac moltiplicata per ai π . Otteniamo quindi:
