ANALISI MATEMATICA Ottavio Caligaris - Pietro Oliva

ANALISI MATEMATICA

Ottavio Caligaris - Pietro Oliva

CAPITOLO 5

LE SERIE

Il problema di sommare un numero non finito di quantit`a numeriche `e stato per lungo tempo considerato privo di senso, ma `e giustificabile facil- mente, anche dal punto di vista intuitivo, non appena si consideri il seguente esempio.

Sia I = [0, 1] e consideriamo una successione di intervalli cos`ı definita:

poniamo

I₁ = [0, 1/2]

I2 = [1/2, 1/4]

I₃ = [1/4, 1/8]

I₄ = [1/8, 3/4]

· · · · E’ ovvio che

∪I_k = [0, 1]

ed inoltre la lunghezza del segmento I_k `e data da

`(Ik) = 1/2^k Pertanto

1 = `([0, 1]) =

+∞

X

k=1

1 2^k

Possiamo cercare di puntualizzare il concetto di somma infinita median- te la seguente definizione

DEFINIZIONE5.1. Sia a_kuna successione di numeri reali e definiamo S_n=

n

X

k=1

a_k Se lim S_nesiste finito, diciamo che

+∞

X

k=1

a_k= S = lim S_n In tal caso si dice che P+∞

k=1 a_k `e una serie convergente che ha per somma S.

Se lim S_n= +∞ (−∞) diciamo cheP+∞

k=1a_k`e una serie positivamente (negativamente) divergente.

Se lim Snnon esiste diciamo che la serie non `e determinata.

3

Consideriamo ora qualche esempio importante di serie Sia x ∈ R pos- siamo considerare a_n = xⁿe avremo

S_n =

n

X

k=0

a_k =

n

X

k=0

x^k= 1 + x + x²+ x³+ ... + xⁿ Se osserviamo che

xSn = x + x²+ x³+ x⁴+ ... + xⁿ⁺¹ si ottiene

(1 − x)S_n = 1 − xⁿ⁺¹ e, per x 6= 1,

S_n = 1 − xⁿ⁺¹ 1 − x Di qui si vede che

• se |x| < 1 lim S_n = _1−x¹

• se x ≥ 1 lim S_n = +∞

• se x ≤ −1 lim S_nnon esiste.

Pertanto

+∞

X

k=0

x^k= 1

1 − x se |x| < 1

mentre per i restanti valori di x la serie `e divergente o indeterminata.

Xx^k si chiama serie geometrica di ragione x.

Possiamo ottenere facilmente altri esempi di serie convergenti. usando la formula di Taylor.

Consideriamo lo sviluppo di McLaurin della funzione e^x e^x− 1 − x −x²

2! − x³

3! − ... − xⁿ

n! = R_n+1(x)

dove il resto Rn+1 si pu`o esprimere nella forma di Lagrange mediante la

|R_n+1(x)| = e^c |x|ⁿ⁺¹

(n + 1)! ≤ e^|x| |x|ⁿ⁺¹

(n + 1)! kck ≤ kxk Pertanto, se definiamo

S_n=

n

X

k=0

x^k k!

5. LE SERIE 5

si ha

|e^x− S_n| ≤ |R_n+1(x)| ≤ e^|x| |x|ⁿ⁺¹ (n + 1)!

e tenendo conto che

lim |x|ⁿ⁺¹

(n + 1)! = 0 per ogni x ∈ R si ha

e^x= lim S_n =

+∞

X

k=0

x^k k!

In maniera del tutto analoga si prova che

sin(x) =

+∞

X

k=0

(−1)^k x^2k+1

(2k + 1)!∀x ∈ R

cos(x) =

+∞

X

k=0

(−1)^k x^2k

(2k)!∀x ∈ R

ln(1 + x) =

+∞

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k ∀x ∈ [−1/2, 1]

Dal momento che, per n grande

n

X

k=1

a_k =

k0

X

k=1

a_k+

n

X

k=k0

a_k e dal momento che

k0

X

k=1

a_k ∈ R

possiamo dire che una serie converge diverge o `e indeterminata indipenden- temente dal termine a partire da quale si inizia a sommare; ovviamente la somma della serie cambia, cambiando il punto di partenza.

Pertanto il carattere di una serie, cio`e il fatto che sia convergente, diver- gente o indeterminata, non `e influenzato dalla scelta del primo indice di somma.

R_n =

+∞

X

k=n+1

a_k

si chiama ’resto ennesimo’ della serie data ed `e una serie che ha lo stesso carattere della serie stessa poich`e

S_N − S_n =

N

X

k=n

a_k si ricava, per N → +∞

R_n= S − S_n

e quindi lim Rn= 0 se e solo se la serie `e convergente.

Dalla definizione di serie e dal criterio di convergenza di Cauchy pos- siamo subito dedurre che

TEOREMA 5.1. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e P a_k sia convergente `e che

∀ε > 0 ∃n_ε tale che ∀n > n_ε, ∀p ∈ N si ha     

n+p

X

k=n+1

a_k     

< ε.

DIMOSTRAZIONE. Si ha infatti cheP a_k `e convergente se e solo se la successione delle sue ridotte ennesime `e convergente ad S ∈ R.

Pertanto ad essa si pu`o applicare il criterio di Cauchy e si pu`o affermare che:

∀ε > 0 ∃nε ∈ N tale che, se n, m > n^ε

|S_n− S_m| < ε o, equivalentemente, se n > n_εe p ∈ N

|Sn+p− Sn| =     

n+p

X

k=n+1

ak

< ε

2 Come conseguenza immediata otteniamo per p = 1, che, ∀ε > 0 ∃n_ε∈ N tale che, se n > nε(per p = 1)

|a_n+1| = |S_n+1− S_n| < ε e quindi

Condizione necessaria affinch´e

Xa_k sia convergente `e che

lim a_k= 0

Sottolineiamo che la condizione `e solo necessaria e pertanto non assi- cura, da sola, la convergenza della serie; viceversa, se non `e soddisfatta, permette di concludere che la serie non `e convergente.

1. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE A TERMINI POSITIVI 7

Se ad esempio consideriamo

+∞

X

k=1

1 k si ha lim_k¹ = 0 e tuttavia la serie `e divergente.

Infatti le sue ridotte S_n formano una successione crescente che quindi ammette limite; tale limite non pu`o essere finito in quanto non `e soddisfatto il criterio di Cauchy perch´e

2n

X

k=n+1

1

k ≥ n 1 2n = 1

2

1. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

Se ak ≥ 0, o pi`u in generale se ha segno costante, la successione delle ridotte ennesime `e monotona; pertanto il lim S_n esiste, essendo possibili i valori +∞ e −∞.

Sia X

a_k

una serie a termini positivi, allora essa `e o convergente o positivamente divergente.

DEFINIZIONE5.2. Diciamo che P a_k `e assolutamente convergente se risulta convergenteP |ak|.

Diciamo cheP ak `e assolutamente divergente seP |ak| = +∞.

TEOREMA5.2. SeP a_k `e assolutamente convergente, allora `e conver- gente.

Infatti

n+p

X

k=n+1

a_k     

≤

n+p

X

k=n+1

|a_k|

e si pu`o concludere per il criterio di convergenza di Cauchy.

1.1. Criterio del confronto di Gauss. Siano m > 0,P a_keP b_kdue serie tali che 0≤ a_k≤ mb_k; allora:

• seP bkconverge ancheP akconverge

• seP akdiverge ancheP bk diverge.

Infatti dette S_n^aed S_n^b le ridotte diP akeP bk, rispettivamente, si ha:

0 ≤ S_n^a ≤ mS_n^b .

Inoltre S_n^aed S_n^b sono successioni crescenti e pertanto ammettono limite.

Possiamo anche enunciare il criterio nella seguente forma

SianoP ak eP bkdue serie tali che ak, bk >0 e supponiamo che esista un indice k0 tale che, per k > k0

0 < m ≤ a_k b_k ≤ M

allora si ha cheP a_keP b_khanno lo stesso carattere.

Se invece

0 < m ≤ ak

b_k

si ha che seP ak converge allora ancheP bk `e convergente, mentre se P bkdiverge allora ancheP ak `e divergente.

1.2. Criterio del confronto asintotico. Poich`e il carattere di una serie (non la sua somma) non dipende dall’indice da cui si parte a sommare, possiamo affermare che:

seP a_keP b_ksono due serie a termini positivi e se supponiamo che lim a_k

b_k = ` ∈ R⁺ allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Se invece

lima_k bk

= 0 si ha:

• seP ak `e divergente, alloraP bk `e divergente;

• seP bk `e convergente, alloraP ak `e convergente.

1.3. Criterio del rapporto D’Alembert. Sia P a_k una serie tale che a_k>0 e supponiamo che

lima_k+1

a_k = ` ∈ R.

• Se ` < 1 alloraP a<sub>k</sub> `e convergente

• se ` > 1 alloraP a<sub>k</sub> `e divergente.

Infatti se ` < 1 si ha, definitivamente a_k+1

a_k < (` + ε) < 1 e pertanto se ne deduce che

a_k+p < (` + ε)^p a_k

la serie di termine (` + ε)<sup>p</sup>a<sub>k</sub> `e una serie geometrica di ragione < 1 e quindi

`e convergente.

Se ` > 1, definitivamente, si ha a_k+1

a_k > (` − ε) > 1

1. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE A TERMINI POSITIVI 9

e quindi

a_k+p > (` − ε)^pa_k ed a_knon tende a 0.

1.4. criterio della radice di Cauchy. SiaP a_kuna serie tale che a_k ≥ 0 e supponiamo che

lim√^k

a_k = ` ∈ R

• Se ` < 1 alloraP a<sub>k</sub> `e convergente

• se ` > 1 alloraP a<sub>k</sub> `e divergente.

Infatti se ` < 1 si ha, definitivamente

√k

a_k < (` + ε) < 1 e a<sub>k</sub> < (` + ε)^k mentre se ` > 1 si ha, definitivamente

√k

a_k > (` − ε) > 1 e a_k > 1

1.5. Il criterio dell’integrale di Mc Laurin-Cauchy. I concetti di se- rie e di integrale. sono profondamente affini ed il fatto si riflette nel seguente criterio

Sia

f : [1, +∞) −→ R+

decrescente e sia a_k = f (k), allora Z n+p+1

n

f (x)dx ≤

n+p

X

k=n

a_k ≤ Z n+p

n−1

f (x)dx

e ne deduciamo che f `e integrabile in senso improprio su [1, +∞) se e solo seP ak `e convergente.

Inoltre, posto

I_n = Z +∞

n

f (x)dx si ha

0 ≤ S − S_n = R_n≤ I_n

e 

S −



Sn+In+ In+1

2

   

≤ 1 2

Z n+1 n

f (x)dx

Dal momento che f `e decrescente si ha Z k+1

k

f (x)dx ≤ f (k) ≤ Z k

k−1

f (x)dx

e sommando per k = n, .., n + p si ottengono le prime due disuguaglianze.

Inoltre la funzione

F (x) = Z x

1

f (t)dt

`e definita e continua per x ∈ R+ed `e crescente in ¯R+in quanto, se 0 ≤ x <

y si ha

F (y) − F (x) = Z y

x

f (t)dt ≥ 0

Ne deduciamo che lim_x→+∞F (x) esiste e per le disuguaglianze prece- denti l’integrale improprio e la serie hanno lo stesso carattere.

Inoltre l’errore che si commette considerando una ridotta S_n al posto della somma della serie, essendo a_k≥ 0, `e per difetto e si ha S − S_n ≥ 0.

Pi`u precisamente

0 ≤ I_n+1 ≤ S − S_n = R_n≤ I_n

L’approssimazione della somma S della serie pu`o essere ancora migliorata se si sceglie

S_n+ (I_n+ I_n+1)/2 in luogo di Sn.

In tal caso si ha infatti

|S − S_n− (I_n+ I_n+1)/2| = |R_n− (I_n+ I_n+1)/2| ≤

≤ (I_n− I_n+1)/2 = 1 2

Z n+1 n

f (x)dx Il precedente teorema consente di stabilire il carattere della serie armo- nica generalizzata

+∞

X

k=1

1

k^α α > 0 Si ha infatti

+∞

X

k=1

1 k^α =

(+∞ per 0 < α ≤ 1 S ∈ R+ per 1 < α

1.6. Criterio dell’ordine di infinitesimo. La serie armonica generaliz- zata `e di grande aiuto nell’applicazione del criterio del confronto asintotico.

Infatti, usando la definizione di ordine di infinitesimo possiamo affermare che

Sia P a_k una serie a termini positivi e supponiamo che a_k sia infinitesima di ordine α (non necessariamente reale); allora

• se α ≥ β > 1 , β ∈ R , la serie `e convergente ;

• se α ≤ 1 la serie `e positivamente divergente .

2. SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO 11

Osserviamo che, se α > 1 e non `e reale, non si pu`o affermare cheP a_k

`e convergente, come si vede dal seguente esempio:

sia

a_k = 1 k ln k

lim a_k = 0 con ordine α > 1, ma α < β ∀β ∈ R, β > 1.

Non si pu`o pertanto applicare il criterio dell’ordine di infinitesimo ma, per il criterio dell’integrale,

+∞

X

k=2

ak = +∞

Sempre per il criterio dell’integrale

+∞

X

k=2

1

k(ln k)^α =

(+∞ se 0 < α ≤ 1 S ∈ R+ se 1 < α e

+∞

X

k=3

1

k ln k(ln ln k)^α =

(+∞ se 0 < α ≤ 1 S ∈ R+ se 1 < α

1.7. Serie ”telescopiche”. Se ak `e una successione, alloraP(ak+1 − ak) `e convergente, divergente, indeterminata a seconda che ak sia conver- gente, divergente, indeterminata.

Infatti si ha

Sn =

n

X

k=1

(ak+1− ak) = an+1− a1

2. Serie a termini di segno alterno Sia akuna successione di numeri non negativi e sia

+∞

X

k=0

(−1)^ka_k

In questa situazione parliamo di serie a segni alterni; per le serie a segni alterni vale il seguente risultato.

2.1. Criterio di Leibnitz. Supponiamo che a_k ≥ a_k+1 ≥0 , ∀k ∈ N e che inoltre lim a_k=0. Allora

• la serie `e convergente ad S;

• S₁ ≤ S ≤ S₀ e pertanto S ≥ 0;

• ∀n ∈ N

S_2n− a_2n+1 = S_2n+1 ≤ S ≤ S_2n = S_2n−1+ a_2n

• le ridotte di indice pari approssimano S per eccesso mentre quelle di indice dispari approssimano S per difetto;

• |S − Sn| ≤ an+1.

Cominciamo con il mostrare che la successione delle ridotte di indice pari `e decrescente, mentre la successione delle ridotte di indice dispari `e crescente.

Si ha

S_2n+2 = S_2n− a_2n+1+ a_2n+2 ≤ S_2n (5.1)

S_2n+3 = S_2n+1+ a_2n+2− a_2n+3 ≥ S_2n+1 inoltre

S2n− S2n−1 = a2n ≥ 0

Pertanto lim S_2n = S⁰ e lim S_2n+1 = S⁰⁰esistono finiti e si ha S⁰− S⁰⁰= lim S_2n− S_2n+1 = lim a_2n = 0 da cui deriva subito che S⁰ = S⁰⁰= S = lim S_n.

Per la5.1si ha inoltre

0 ≤ a0− a1 = S1 ≤ S2n+1 ≤ S ≤ S2n≤ S0 = a0

A proposito della maggiorazione del resto di una serie a segni alterni, `e evidente che `e tanto pi`u buona quanto `e pi`u grande l’ordine di infinitesimo della successione an. Si pu`o migliorare la maggiorazione del resto n-esimo non appena si tenga presente il seguente che

Sia a_k una successione tale che a_k ≥ a_k+i ≥ 0 ∀ ∈ N e supponiamo che lim a_k= 0.

Allora si ha

+∞

X

k=0

(−1)^ka_k = a₀ 2 +

+∞

X

h=0

(−1)^ka_k− a_k+1 2 = a₀

2 +

+∞

X

k=0

(−1)^kb_k. Evidentemente bk+1 ≥ bk ≥ 0 ed inoltre

lim

l−a+∞b_k= lima_k k = 0

Infatti b_k+1− b_k = ¹₂(a_k+z− a_k+1+ a_k+1− a_k) ≥ 0 e l’uguaglianza dei due limiti pu`o essere dimostrata usnado i teoremi sulle medie di Cesaro di un successione

In questo modo si ottiene una nuova serie a segni alterni, avente la stessa somma della serie data e avente un termine generale infinitesimo di ordine superiore a quello del termine generale della serie data.

Infatti

b_k = a_k k + ω_k con ω_k→ 0 e

bk

a_k → 0

3. OPERAZIONI SULLE SERIE 13

2.2. Uguaglianza di Brunacci-Abel. Se a_k e b_ke se definiamo B_n,p =

n+p

X

k=n+1

b_k si ha

n+p

X

k=n+1

a_kb_k = a_n+pB_n,p+

n+p−1

X

k=n+1

B_n,k−n(a_k− a_k+1) Infatti si ha

n+p

X

k=n+1

a_kb_k = a_n+1b_n+1+ a_n+2b_n+2+ ... + a_n+pb_n+p =

= a_n+1B_n,1+ a_n+2(B_n,2− B_n,1) + ... + a_n+p(B_n,p− B_n,p−1) =

= B_n,1(a_n+1− a_n+2) + B_n,2(a_n+2− a_n+3) + ...+

+ B_n,p−1(a_n+p−1− a_n+p) + a_n+pB_n,p =

= a_n+pB_n,p+

n+p−1

X

k=n+1

B_n,k−n(a_k− a_k+1)

Criterio di Dirichlet

Supponiamo che le ridotte B_ndiP b_k siano limitate da M e che a_k sia decrescente e convergente a zero.

AlloraP akbk `e convergente ed inoltre 

+∞

X

k=n+1

a_kb_k     

≤ 2M a_n+1.

Criterio di Abel

Supponiamo cheP bksia convergente e aksia convergente e monotona.

AlloraP akb_k `e convergente.

3. Operazioni sulle serie

Per quel che concerne la somma Si pu`o dimostrare che

TEOREMA5.3. SianoP a_k eP b_kdue serie convergenti e sia α ∈ R, alloraP (a_k+ b_k) eP αa_ksono convergenti e si ha

• P(a_k+ b_k) = P a_k+P b_k

• P αak = αP ak

Per quanto riguarda il prodotto di due serie occorre innanzi tutto cercare di definire il termine k-esimo della serie prodotto.

Ci`o pu`o essere fatto in vari modi; qui consideriamo il prodotto secondo Cauchy, che si riveler`a utile quando tratteremo le serie di potenze.

In proposito si pu`o dimostrare il seguente risultato.

TEOREMA5.4. - Mertens - Definiamo ck =

k

X

i=0

aibk−i

Allora, se P ak `e assolutamente convergente e P bk `e convergente, ancheP c_k `e convergente ed inoltre, se

Xa_k= A , X

b_k = B , X

c_k = C si ha

AB = C

Se nessuna delle serie di cui si fa il prodotto `e assolutamente convergen- te, ma entrambe sono solo convergenti, il teorema pu`o essere falso, come si vede considerando

ak = bk= (−1)^k

(k + 1)^α , α > 0 Si ha infatti

k

X

i=0

(−1)ⁱ (i + 1)^α

(−1)^k−i

(k − i + 1)^α == (−1)^k

k

X

i=0

1

[(i + 1)(k − i + 1)]^α e si vede subito che

|c_k| ≥

k

X

i=0

1

(k + 1)^2α = 1 (k + 1)^2α

k

X

i=0

1 = (k + 1)^1−2α da cui, per 0 < α ≤ 1/2, lim cknon pu`o essere 0 .

Per quanto riguarda la possibilit`a di raggruppare i termini di una serie, possiamo provare un semplice risultato.

Precisiamo prima di tutto cosa intendiamo per raggruppamento dei ter- mini di una serie.

DEFINIZIONE5.3. ConsideriamoP a_ne consideriamo una successio- ne k_na valori in N , strettamente crescente e con k1 = 1. Definiamo

b_n =

kn+1−1

X

i=kn

a_i

La serieP b_nsi dice ottenuta dalla serieP a_nraggruppando i termini secondo il riordinamento kn.

3. OPERAZIONI SULLE SERIE 15

E’ evidente che, dette S_n⁰ =

n

X

k=1

a_k , S_m⁰⁰ =

m

X

n=1

b_n si ha

S_m⁰⁰ =

m

X

n=1

kn+1−1

X

i=kn

a_i =

km+1−1

X

i=1

a_i = S_k⁰_m+1−1 e dal momento che S⁰⁰m `e una estratta di S<sub>n</sub><sup>0</sup>, si pu`o affermare che:

TEOREMA 5.5. Se P a_k `e una serie convergente, allora ogni serie ottenuta da essa, raggruppando i termini, `e convergente alla stessa somma.

Viceversa la convergenza di P b_k per una particolare scelta della suc- cessione che genera il raggruppamento, non `e sufficiente per assicurare che P a_kconverga; se infatti

a_k= (−1)^k e k_n = 2n − 1 si ha

b_n=

2n

X

k=2n−1

(−1)^k= 0.

Trattiamo per ultimo il problema del riordinamento dei termini di una serie e precisando, innanzi tutto, cosa intendiamo per riordinamento.

DEFINIZIONE5.4. ConsideriamoP a_k e supponiamo che i: N −→ N sia una applicazione iniettiva e surgettiva.

Diciamo che la serie

Xa_i(j)

`e ottenuta riordinando i termini diP ak.

Per brevit`a chiamiamo l’applicazione i riordinamento dei termini della serie.

TEOREMA5.6. SeP ak `e assolutamente convergente ed i(j) `e un rior- dinamento, allora ancheP ai(j) `e assolutamente convergente e si ha

Xa_k = X a_i(j)

Nel caso in cuiP a_ksia convergente, ma non assolutamente convergen- te `e possibile trovare un riordinamento dei termini e due successioni n⁰e n⁰⁰ in modo che S_n⁰ e S_n⁰⁰siano convergenti allo stesso limite o a limiti diversi, o siano divergenti.

Pi`u precisamente

TEOREMA 5.7. - Riemann-Dini - Supponiamo che P a_k sia conver- gente, ma non assolutamente convergente. Siano inoltre α < β , essendo possibile che α = −∞ e β = +∞.

Allora esiste un riordinamento i dei termini della serie in modo che la successione

S_h =

h

X

j=1

a_i(j)

abbia due estratte, l’una convergente ad α , l’altra convergente a β.

Concludiamo ora ricordando che la convergenza assoluta `e equivalente alla convergenza di ogni suo riordinamento.

DEFINIZIONE5.5. Diciamo cheP akconverge incondizionatamente se ogni suo riordinamento converge alla stessa somma.

TEOREMA5.8. - Cauchy-Dirichlet -P a_kconverge assolutamente se e solo se converge incondizionatamente.

CAPITOLO 6

LE SERIE DI FUNZIONI.

1. Successioni di Funzioni.

Lo studio di una serie di funzioni dipende, come per il caso delle serie numeriche dallo studio della successione delle sue ridotte.

Occorre pertanto definire cosa si intende per successione di funzioni ed i concetti di limite ad essa collegati.

DEFINIZIONE6.1. Chiamiamo successione di funzioni una applicazio- ne definita

N 3 n 7→ Sn

con

S_n : I ⊂ R −→ R

DEFINIZIONE 6.2. Sia Sn una successione di funzioni su I; diciamo che

• S_nconverge puntualmente ad S se, per ogni x ∈ I, ∀ε > 0,esiste n_ε,x∈ N tale che

|S_n(x) − S(x)| < ε ∀n > n_ε,x

• S_n converge uniformemente ad S in I se ∀ε > 0, esiste n_ε ∈ N tale che

∀n > n_ε |S_n(x) − S(x)| < ε, ∀n > n_ε, ∀x ∈ I Possiamo subito verificare che

Snconverge puntualmente ad S in I se

limn S_n(x) = S(x) ∀x ∈ I mentre S_nconverge uniformemente ad S in I se e solo se

limn sup

x∈I

|S_n(x) − S(x)| = 0

Usando il criterio di convergenza di Cauchy, si pu`o affermare che

S_n converge puntualmente se e solo se la successione numerica Sn(x) soddisfa la condizione di Cauchy

Per quanto riguarda la convergenza uniforme si pu`o analogamente otte- nere che

17

Criterio di Cauchy uniforme

Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una successione di funzioni S_nconverga uniformemente su I `e che ∀ε > 0 esiste nε ∈ N tale che, se m, n > n_εsi ha

|S_n(x) − S_m(x)| < ε ∀x ∈ I

E’ inoltre evidente che

Se S_n `e una successione di funzioni uniformemente convergente ad S in I, allora S<sub>n</sub> `e puntualmente convergente ad S per ogni x ∈ I.

Non `e viceversa vero che una successione puntualmente convergente sia anche uniformemente convergente, infatti la successione

S_n(x) = xⁿ su [0, 1]

Se una successione di funzioni converge uniformemente le propriet`a di continuit`a, integrabilit`a e derivabilit`a della successione sono mantenute anche al limite; si pu`o infatti dimostrare che

se Sn `e una successione di funzioni continue su I, e se S<sub>n</sub> converge uniformemente ad S su I, allora S `e continua su I.

Infatti sia x0 ∈ I e proviamo che f `e continua in x₀. Si ha che

|S(x) − f (x₀)| ≤ |S(x) − S_n0(x)| + |S_n0(x) − S_n0(x₀)| + |S_n0(x₀) − S(x₀)|

per cui

|S(x) − S(x₀)| ≤ ε + ε + ε = 3ε dal momento che n₀ pu`o essere fissato in modo che

|Sn0(x) − S(x)| < ε ∀x ∈ I e che, per |x − x₀| < δ_ε

|S_n0(x) − S_n0(x₀)| < ε Si ha anche che

1. SUCCESSIONI DI FUNZIONI. 19

Se Snuna successione di funzioni continue su I = [a, b] e se Snconverge uniformemente ad S su I, allora

Z x a

S_n(t)dt converge uniformemente ad Z x

a

S(t)dt su I

Poich´e Sne di conseguenza S sono continue su I, risultano anche inte- grabili su [a, x] ⊂ I ed inoltre

Z x a

S_n(t)dt − Z x

a

S(t)dt    

≤ Z x

a

|S_n(t) − S(t)|dt ≤ ε(x − a) ≤ ε(b − a) non appena si sia tenuto conto che S_nconverge uniformemente ad S su [a, b]

e si sia scelto n abbastanza grande.

Osserviamo che l’ipotesi di continut`a `e comoda e ragionevole ma non indispensabile; con qualche complicazione pu`o essere sostituita con l’ipo- tesi di integrabilit`a.

In questo senso possiamo provare che

Se S_n `e una successione di funzioni integrabili in senso improprio in [a, +∞), se S_nconverge uniformemente ad S su [a, b] per ogni b ≥ a e se esiste una funzione g su [a, +∞) tale che

|S_n(x)| ≤ g(x) , ∀x ∈ [a, +∞] ,

Z +∞

a

g(x)dx < +∞

allora S risulta integrabile in senso improprio in [a, +∞) e si ha limn

Z +∞

a

S_n(x)dx = Z +∞

a

S(x)dx

Infatti    

Z +∞

a

S_n(x)dx − Z +∞

a

S(x)dx    

≤

≤ Z b

a

|S_n(x) − S(x)|dx + Z +∞

b

|S_n(x) − S(x)|dx ≤

≤ ε + 2 Z +∞

b

g(x)dx ≤ ε + 2ε = 3ε se n `e abbastanza grande e se b `e fissato in modo che

Z +∞

b

g(x)dx < ε

Per quanto riguarda la derivabilit`a

Se Sn∈ C¹((a, b)) e se

• S_n⁰ converge uniformemente a φ su (a, b)

• esiste x₀ ∈ (a, b) tale che

S_n(x₀) → α.

Allora Snconverge uniformemente alla funzione S definita da S(x) = α +

Z x x0

φ(t)dt e risulta

d

dxlim S_n(x) = lim d

dxS_n(x).

Infatti

S_n(x) = S_n(x₀) + Z x

x0

S_n⁰(t)dt

e pertanto, S_nconverge uniformemente ad S.

Inoltre

lim S_n⁰(x) = φ(x) = S⁰(x) = (lim f_n)⁰(x)

Si pu`o anche provare che

Se f_n `e una successione di funzioni derivabili in (a, b) e se S<sub>n</sub><sup>0</sup> converge uniformemente in (a, b) e esiste x<sub>0</sub> ∈ (a, b) tale che S<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>)`e convergente allora S_n converge uniformemente in (a, b) ad una funzione S che `e derivabile e si ha

S⁰(x) = lim S_n⁰(x)

Sia fn una successione di funzioni continue su [a, b] tali che fn(x) `e decrescente rispetto ad n e lim f_n(x) = 0 per ogni fissato x ∈ [a, b].

Allora f_nconverge uniformemente alla funzione identicamente nulla su [a, b].

2. SERIE DI FUNZIONI. 21

Sia fnuna successione di funzioni continue su [a, b] tali che fn(x) `e de- crescente rispetto ad n e convergente verso f(x), ∀x ∈ [a, b]. Se inoltre f risulta continua in [a, b] , allora f_nconverge uniformemente ad f in [a, b].

Sia f_n una successione di funzioni continue in [a, b] allora f_n converge uniformemente in [a, b] se e solo se fnconverge uniformemente in (a, b).

Sia fn una successione di funzioni su (a, b) un uniformemente convergente ad f . Supponiamo che

lim

x→b⁻fn(x) = Cn

e

limn C_n= C Allora

lim

x→b⁻f (x) = C

2. Serie di funzioni.

Ricordiamo alcune definizioni a proposito delle serie

Ad ogni successione f_kdi funzioni su I; possiamo associare, come per le serie numeriche la successione delle sue ridotte definite da

S_n(x) =

n

X

k=1

f_k(x) e possiamo scrivere

S(x) =

+∞

X

k=1

f_k(x)

qualora il lim S_n(x) esista finito in senso puntuale o uniforme.

Diciamo, nel primo caso cheP f_kconverge puntualmente in I mentre, nel secondo caso diciamo cheP f_kconverge uniformemente in I.

Diciamo inoltre cheP f_k converge assolutamente in I se P |f_k| con- verge puntualmente in I.

Diciamo infine cheP f_kconverge totalmente in I se, posto λ_k= sup

x∈I

{|f_k(x)|}

P λk `e convergente.

Vale la pena di ricordare che, per il criterio di Cauchy

Condizione necessaria e sufficiente affinch´e P fk sia uniformemente convergente in I `e che ∀ε > 0 esista n_ε ∈ N tale che se n > n_ε, ∀p ∈ N si ha

n+p

X

k=n+1

f_k(x)     

< ε ∀x ∈ I

Ne segue per p = 1

SeP fkconverge uniformemente in I allora la successione fkconverge uniformemente a zero in I.

inoltre

P fkconverge uniformemente in I se e solo se la successione Rndefinita da

Rn(x) =

+∞

X

k=n+1

fk(x) converge uniformemente a zero in I.

Poich`e     

n+p

X

k=n+1

f_k(x)     

≤

n+p

X

k=n+1

|f_k(x)| ≤

n+p

X

k=n+1

λ_k

il criterio di convergenza di Cauchy permette di affermare che

Convergenza Totale

. &

Convergenza Uniforme Convergenza Assoluta

& .

Convergenza Puntuale

2. SERIE DI FUNZIONI. 23

mentre le due serie

+∞

X

k=1

(−1)^k

k ,

+∞

X

k=1

(x^k− x^k+1)

mostrano che le implicazioni mancanti possono essere false.

Infatti la prima serie converge uniformemente in R ma non `e ivi n´e as- solutamente n´e totalmente convergente, mentre la seconda converge assolu- tamente in [0, 1], ma non `e ivi n´e uniformemente n´e totalmente convergente.

Il fatto che la convergenza totale implichi la convergenza uniforme `e spesso indicato con il nome di criterio di Weierstraß; possiamo anche ve- dere che

P f_k `e totalmente convergente in I se e solo se esiste una successione numerica λ_ktale che

|f_k(x)| ≤ λ_k e X

λ_k < +∞

Ricordiamo ora tutta una serie di risultati sulle serie di funzioni che derivano dai risultati sulle serie numeriche e sulle successioni di funzioni.

Siano f_ke ϕ_kdue successioni di funzioni su I tali che

|f_k(x)| ≤ |ϕ_k(x)| ∀x ∈ I.

Se P |ϕ_k| `e uniformemente convergente su I allora anche P |f<sub>k</sub>| e P f<sub>k</sub> `e uniformemente convergente su I allora ancheP |f_k| `eP f<sub>k</sub> `e uniformemente convergente su I.

Siano f_k e g_k due successioni di funzioni su I tali che le ridotte F_n diP f_k siano uniformemente limitate in I e sia g_k decrescente e con- vergente uniformemente a 0 su I. Allora P f_kg_k `e uniformemente convergente su I.

Alla stessa conclusione si pu`o arrivare supponendo cheP f_k sia uni- formemente convergente su I e g_k decresca uniformemente a g su I.

Sia fk : [a, b] −→ R una successione di funzioni continue e decrescenti a zero; allora

X(−1)^kf_k(x)

`e uniformemente convergente su [a, b].

Se f_k `e una successione di funzioni continue su I e se P f<sub>k</sub> `e ivi uniformemente convergente, allora

S(x) =

+∞

X

k=1

f_k(x)

`e una funzione continua in I.

Se f_k `e una successione di funzioni integrabili in [a, b] e se P f<sub>k</sub> `e ivi uniformemente convergente ad S, allora si ha

Z b a

S(x)dx =

+∞

X

k=1

Z b a

f_k(x)dx

Se f_k `e una successione di funzioni integrabili in senso improprio su [a, +∞) e seP f<sub>k</sub> `e uniformemente convergente ad S su ogni intervallo [a, b], con b > a; se inoltre esiste una funzione φ su [a, +∞) tale che

|S_n(x)| ≤ φ(x) ∀x ∈ [a, +∞) e

Z +∞

a

φ(x)dx < +∞

allora

Z +∞

a

S(x)dx =

+∞

X

k=1

Z +∞

a

f_k(x)dx.

3. LE SERIE DI TAYLOR. 25

Sia fkuna successione di funzioni di classe C¹((a, b)) e supponiamo che P f_k⁰ converga uniformemente su (a, b) ad una funzione s e che esista x₀ ∈ (a, b) tale cheP fk(x₀) converga ad α.

AlloraP f_k risulta uniformemente convergente su (a, b) alla funzione S definita da

S(x) = α + Z x

x0

s(t)dt ed inoltre

d dx

+∞

X

k=1

f_k(x) =

+∞

X

k=1

d dxf_k(x)

Sia f_k una successione di funzioni derivabili in (a,b) tali cheP f_k sia puntualmente convergente in x₀ ∈ (a, b); supponiamo inoltre cheP f_k⁰ sia uniformemente convergente ad s in (a, b).

AlloraP f_k `e uniformemente convergente in (a, b) ad una funzione S derivabile e risulta S⁰ = s ovvero

d dx

+∞

X

k=1

f_k(x) =

+∞

X

k=1

d dxf_k(x)

Sia f_k una successione di funzioni continue e non negative su [a, b]; Se P f_k `e puntualmente convergente ad S e se S risulta continua in [a, b], alloraP f<sub>k</sub> `e uniformemente convergente ad S su [a, b].

3. Le Serie di Taylor.

Se f ∈ C^∞((a, b)) e se x₀ ∈ (a, b) possiamo allora considerare la for- mula di Taylor di ordine n per f centrata in x₀per qualunque valore di n ed avremo che

f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k+ R_n(x) dove

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n + 1)! (x − x₀)ⁿ⁺¹ , ξ ∈ (a, b)

`e il resto nella forma di Lagrange.

Se poniamo

S_n=

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k Snrisulta essere una ridotta della serie

+∞

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k e risulta

f (x) − S_n(x) = R_n(x)

Qualora R_n(x) → 0, quando n → +∞, per x ∈ I ⊂ R, possiamo affermare che

f (x) − S_n(x) = R_n(x) → 0 per x ∈ I e quindi la serieP+∞

k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x₀)^k risulta convergente e la sua somma

`e f (x)

Possiamo quindi scrivere che f (x) =

+∞

X

k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x₀)^{k per x∈I}

e diciamo che f `e sviluppabile in serie di Taylor nel punto x₀ per x ∈ I.

Risulta quindi interessante conoscere condizioni sufficienti affich`e R_n(x) → 0 per x ∈ I e, in proposito, possiamo dimostrare che

• se |f^(k)(x)| ≤ HM^k per ogni x ∈ (a, b) e per ogni k ∈ N allora R_n(x) → 0 per x ∈ (a, b);

• se |f^(k)(x)| ≤ HM^kk! per ogni x ∈ (a, b) e per ogni k ∈ N allora R_n(x) → 0 per x ∈ (x₀− 1/M, x₀+ 1/M ).

Infatti nel primo caso si ha

|f (x) − S_n(x)| ≤ H(M (b − a))ⁿ⁺¹

(n + 1)! ∀x ∈ (a, b) mentre, nel secondo caso

|f (x) − S_n(x)| ≤ H(M |x − x₀|)ⁿ⁺¹ ∀x ∈ (a, b).

e Si pu`o concludere osservando che in entrambi i casi i secondi membri tendono a zero, nelle ipotesi considerate (si pu`o ad esempio usare il criterio del rapporto.

4. LE SERIE DI POTENZE. 27

Osserviamo che pu`o accadere che la serie (21.1) sia convergente senza che f sia sviluppabile in serie di Taylor. Se infatti consideriamo

f (x) =

(e^−1/x2 x 6= 0

0 x = 0

si ha che f ∈ C^∞(R), f^(k)(0) = 0 ∀k, e pertanto

+∞

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k = 0 6= f (x) ∀x 6= 0

I criteri di cui sopra permettono di trovare facilmente gli sviluppi di e^x, sin x , cos x .

E anche possibile dimostrare un criterio di sviluppabilit`a in serie di` Taylor facendo uso del resto in forma integrale.

TEOREMA6.1. -Bernstein- Sia f ∈ C^∞((a, b)) e siano x₀, α ∈ (a, b), x₀ <

α.

Se f^(k)(x) ≥ 0 per x0 ≤ x ≤ α. Allora f `e sviluppabile in serie di Taylor di centro x0 in [x0, α]

Poich`e le serie di Taylor sono anche serie di potenze si potr`a vedere che la serie converge in (−α, α].

Usando il teorema precedente si pu`o provare che la serie binomiale converge in [−1, 1).

4. Le serie di potenze.

Si tratta delle serie della forma

+∞

X

k=0

a_k(x − x₀)^k = a₀+

+∞

X

k=1

a_k(x − x₀)^k

dove x₀ ∈ R `e fissato e si chiama centro della serie. mentre i valori ak si dicono coefficienti della serie.

E’ chiaro che a meno di una traslazione possiamo sempre supporre che x₀ = 0 e pertanto consideriamo soltanto serie di potenze centrate nell’origine e cio`e della forma:

+∞

X

k=0

a_kx^k

A proposito della convergenza di una serie di potenze si pu`o subito verificare che

Se la serie

+∞

X

k=0

a_kx^k

converge per x = α allora converge assolutamente in [−β, β] per ogni β < |α|

Infatti, per x ∈ [−β, β], avremo che

|akx^k| ≤ |ak|β^k = |ak|β^k

α^kα^k ≤ M β α

k

dal momento che

|a_k|α^k`e infinitesimo in quanto termine generale di una serie convergen- te. Pich`e inoltre ^β_α < 1

 β α

k

`e il termine generale di una serie geometrica convergente e si pu`o conclu- dere, usando il criterio di Weierstraß.

In pratica quindi, se una serie di potenze converge in un punto, converge anche in tutto il segmento che congiunge il punto all’origine (centro della serie).

Ci`o autorizza a definire quel che si chiama raggio di convergenza della serie di potenze come

R = sup{α ≥ 0 :X

|a_k|α^k ∈ R}

Si prova che

• una serie di potenze converge totalmente per |x| ≤ β < R

• una serie di potenze non converge se |x| ≥ R

Infatti poich`e la serie converge per x = β + ε < R avremo che es- sendo la convergenza per |x| ≤ β `e garantita da quanto abbiamo detto in precedenza

Se viceversa la serie convergesse anche solo puntualmente per x = γ >

R allora ci sarebbe convergenza assoluta per |x| ≤ γ − ε e γ − ε > R, e questo contraddirrebbe la definizione di R.

Non siamo invece in grado di dire qualcosa sul comportamento della serie quando |x| = R .

Consideriamo infatti

Xx^k , Xx^k

k , X x^k k²

4. LE SERIE DI POTENZE. 29

E’ facile vedere che in tutti i casi R = 1, mentre quando |x| = 1 si ha che

• la prima serie non `e convergente ∀x;

• la seconda serie converge se x = −1 e diverge se x = 1;

• la terza serie converge ∀x.

Vele il seguente teorema

TEOREMA6.2. - Abel - ConsideriamoP a_kx^ke sia R > 0 il suo raggio di convergenza.

Se la serie

Xa_kR^k

converge alloraP a_kx^kconverge uniformemente in [0, R].

DIMOSTRAZIONE. Possiamo intanto supporre R = 1 a meno di con- siderare _R^x in luogo di x Per l’uguaglianza di Brunacci-Abel avremo che posto

B_n,p=

n+p

X

k=n+1

a_k si ha

n+p

X

k=n+1

a_kx^k = x^n+pB_n,p+

n+p−1

X

k=n+1

B_n,k−n(x_k− x_k+1) per cui

n+p

X

k=n+1

a_kx^k     

≤ |x^n+pB_n,p| +

n+p−1

X

k=n+1

B_n,k−n(x^k− x^k+1) ≤

≤ |x^n+pB_n,p| +

n+p−1

X

k=n+1

|B_n,k−n||x^k− x^k+1| Per n abbastanza grande avremo che |Bn,p| < ε e quindi se consideriamo che x ∈ [0, 1]

n+p

X

k=n+1

a_kx^k     

≤ ε + ε

+∞

X

k=0

x^k− x^k+1
≤ ε (1 + 1))

2 Possiamo calcolare il raggio di convergenza di una serie applicando il criterio del rapporto o il criterio della radice alla serie

X|a_kx^k|

I criteri citati sono inutili quando il limite del rapporto o della radice

`e 1; osserviamo che questo caso si verifica negli estremi dell’intervallo di convergenza.

Possiamo anche affermare che

TEOREMA6.3. Se lim 1

p|ak _k| , lim |a_k|

|a_k+1|

esistono, allora sono uguali al raggio di convergenza R diP akx^k. 4.1. Derivabilit`a di una serie di potenze. Consideriamo

Xakx^k

e supponiamo che R > 0 sia il suo raggio di convergenza, definiamo inoltre f (x) =

+∞

X

k=0

a_kx^k. Allora f `e derivabile e si ha

f⁰(x) =

+∞

X

k=1

ka_kx^k−1 per |x| < R;

Se infatti consideriamo la serie di potenze

+∞

X

k=1

ka_kx^k−1 poich`e

|a_kx^k| ≤ |ka_kx^k−1|

per k ≥ |x|, possiamo affermare che se la serie delle derivate converge asso- lutamente allora anche la serie di partenza converge assolutamente, inoltre, poich`e

|ka_kx^k−1| ≤ |a_ky^k−1|k |x|

|y|

k−1

e quindi se la serie di partenza converge assolutamente allora anche la serie delle derivate converge assolutamente.

In altre parole le due serie hanno lo stesso raggio di convergenza e quin- di possiamo applicare il teorema di derivazione per serie per giustificare quanto affermato.

Inoltre si pu`o dimostrare per induzione che f^(k)(0)

k! = a_k.

per cui f `e sviluppabile in serie di Taylor ed il suo sviluppo di Taylor `e dato da

Xa_kz^k .

Concludiamo questo paragrafo illustrando brevemente come possono essere ricavati gli sviluppi di Taylor delle funzioni (reali) ln(1+x) e arctan(x);

osserviamo che lo sviluppo della prima funzione pu`o essere ricavato anche

5. LE SERIE DI FOURIER. 31

elementarmente e qui ne estendiamo solo il campo di sviluppabilit`a, mentre lo sviluppo della seconda funzione non `e facilmente ricavabile in maniera diversa da quella pi`u sotto illustrata.

Tali sviluppi sono ottenuti per integrazione da particolari serie geome- triche. Ci limitiamo ad indicare le operazioni da compiere precisando solo che tali operazioni sono giustificate dai precedenti teoremi di integrazione per serie.

Si ha ln(1 + x) =

Z x 0

1 1 + tdt =

Z x 0

+∞

X

k=0

(−t)^kdt =

=

+∞

X

k=0

(−1)^k Z x

0

t^kdt =

+∞

X

k=0

(−1)^k x^k+1 k + 1 per −1 < x < 1

arctan(x) = Z x

0

1

1 + t²dt = Z x

0 +∞

X

k=0

(−t²)^kdt

=

+∞

X

k=0

(−1)^k Z x

0

t^2kdt =

+∞

X

k=0

(−1)^k x^2k+1 2k + 1 per −1 < x < 1

Osserviamo altres`ı che si pu`o vedere che lo sviluppo di ln(1 + x) `e valido in (−1, 1].

5. Le serie di Fourier.

E spesso utile saper rappresentare una funzione` f : [−π, π] → R mediante la somma infinita

F (x) = 1 2a₀+

+∞

X

k=1

(a_kcos kx + b_ksin kx) per opportune scelte dei coefficienti a_ke b_k.

Chiaramente la funzione F ottenuta `e periodica di periodo 2π e pu`o non coincidere con f fuori dall’intervallo [−π, π].

Gli enunciati relativi alla possibilit`a di ottenere una rappresentazione di questo tipo trovano collocazione naturale in uno spazio di funzioni per definire il quale `e necessario conoscere la teoria dell’integrazione secondo Lebesgue, tuttavia possiamo trovare un ragionevolmente semplice ambiente di lavoro considerando la seguente classe di funzioni.

Chiamiamo F² lo spazio vettoriale delle funzioni f : [−π, π] → R tali che f ed f² sono integrabili in [−π, π]

Possiamo verificare che F² `e uno spazio vettoriale e definiamo

kf k∞= sup{|f (x)| : x ∈ [−π, π]}

kf k2 =

Z π

−π

(f (x))²dx

1/2

Si pu`o verificare, che

kf k₂ ≤ 2πkf k∞

e quindi se f_n `e una successione di funzioni in F²

kf_n− f k_∞−→ 0

se e solo se f_nconverge uniformemente ad f ∈ [−π, π]

Ci`o suggerisce la possibilit`a di dire che f_nconverge in media quadratica ad f se

kf_n− f k₂ −→ 0

Questo tipo di convergenza `e molto naturale nell’ambito che stiamo esa- minando ed `e intuitivamente evidente che esso tiene conto del comporta- mento medio delle funzioni f_n.

Quanto abbiamo in precedenza osservato permette di affermare che se fn converge uniformemente ad f , allora fn converge in media quadratica alla stessa funzione.

Infine si pu`o verificare che se

f_n(x) = x + π 2π

n

fnconverge in media quadratica ma non uniformemente.

Cominciamo con l’osservare che affinch`e si possa avere f (x) = F (x)