Algebra (Informatica) – 15 dicembre 2004
1. Risolvere in numeri interi la seguente equazione: (5 punti) 12x− 56y = 8
Soluzione:
{x = 10 + 14k, y = 2 + 3k} dove k `e un intero relativo qualsiasi.2. Trovare tutti gli x ∈ Z56 tali che: (5 punti) 12x = 8 mod 56
Soluzione:
l’equazione diofantina dell’esercizio precedente `e la stessa che risolve questo problema e fornisce x = 10 + 14k, per cui le soluzioni x ∈ Z56 sono 10, 24, 38, 52.3. Trovare i valori dell’intero a per cui l’equazione:
16x = a2mod 320
sia risolubile. (5 punti)
Soluzione:
l’equazione diofantina che risolve il problema:16x− 320y = a2,
`e risolubile se il massimo comun divisore tra 16 e 320 `e un divisore di a2. Ovvero se a
`e un multiplo di 4.
4. Calcolare, in forma trigonometrica, le radici quadrate di
√2i−√ 2 (5 punti)
Soluzione:
osservato che eiπ3/4 =−12√2 + 12i√
2 = 12√
2 (−1 + i) si ottiene:
−√ 2 +√
2i = √
2 (−1 + i) = 2eiπ3/4 le due radici richieste sono quindi:
±√
2(cos 3π/8 + i sin 3π/8)
5. Dimostrare che 177777777732− 1 `e divisibile per 24. (6 punti)
Soluzione
: basta calcolare ϕ(24) e applicare il teorema di Eulero. I numeri minori di 24 e primi con esso sono: {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}. Essendo in numero di 8 ne segue che ϕ(24) = 8. Essendo 32 multiplo di 8, e 1777777777 primo con 24, si applica subito il teorema di Eulero:177777777732− 1 =¡
1777777777ϕ(24)¢4
− 1 = 14− 1 = 0 mod 24
1
6. Dimostrare che x =−i `e radice quadrupla del polinomio: (3 punti) x6 + 2ix5+ x4+ 4ix3− x2+ 2ix− 1
7. Trovarne le altre radici. (3 punti)
Soluzione
: basta dividere il polinomio per (x + i)4 e si ottiene subito:x6+ 2ix5+ x4+ 4ix3− x2+ 2ix− 1
x4+ 4ix3− 6x2− 4ix + 1 = (x− i)2
Dimostrando cos`ı anche che le altre due radici sono x = i con molteplicit`a 2. Se si volesse dimostrare solo che x =−i `e radice quadrupla, basta mostrare che `e radice del polinomio e delle sue prime tre derivate.
2
