Forza conservativa
Un forza F si definisce conservativa se esiste una funzione V(r) V(x,y,z), detta funzione energia potenziale, o solo potenziale, dipendente dal vettore posizione r del corpo e munita di differenziale esatto, tale che:
) (r FV
. (1)
Il differenziale totale, dV, della funzione potenziale, è detto esatto se vale la relazione(1):
dzz dy V y dx V x dz V
dy z dx
V y V x d V
V
dV
r i j k i j k
. (2)
L’espressione (2) è integrabile. Si dimostra infatti che, data una curva C, in un domino semplicemente connesso, con estremi nei punti A e B si ha:
) ( ) (B V A V
dV dV
B
A C
. (3)Lavoro meccanico
Il lavoro di una forza F lungo una curva C, è dato da:
C
d
L F r (4)
dove dr è lo spostamento del corpo lungo i tratti infinitesimi della curva. Il lavoro quindi in generale dipende dal cammino percorso C. In forma differenziale si può scrivere anche:
r F d L
(5)
dove l’uso del simbolo greco indica che il lavoro non è un differenziale esatto, ossia che dipende, in generale, dal cammino percorso.
Per un sistema conservativo possiamo usare la (1). Si ha allora: LFdr Vdr dV
- . Il lavoro
coincide quindi un differenziale esatto. Ossia:
L
dV (6) Per trovare il lavoro totale L integriamo entrambi i membri. Si ha:
(1)Più semplicemente, in una dimensione si ha F i dx
x dV( )
, da cui si ottiene: dVFidxFxdx
B A B
A C
C
V V B V A V dV dV
dL
L
( ) ( ) (7)Per un sistema conservativo il lavoro è dunque indipendente dal cammino C percorso, ma dipende solo dai punti iniziale e finale, A e B, della curva.
Il lavoro di una forza, che sposta il corpo dal punto A al punto B, si può calcolare anche come:
2 2
2 2
A B A
A A
A A
mv d mv
dt m d d m dt d
m d d m d
LB
F r
B a r B
v r B
v r B
vv (8)dove con a si è indicata l’accelerazione del corpo e con v la sua velocità. Uguagliando ora le (7) e la (8) si ottiene:
2 2
2 2
A B B A
mv V mv
V (9)
da cui:
B B A
A mv V
mv V
2
2
2 2
(10)
I termini della forma mv2/2 rappresentano l’energia cinetica del corpo. La somma delle energie cinetica e potenziale, detta energia totale del sistema, è la stessa all’inizio e alla fine del moto. Poiché i punti A e B sono arbitrari sulla curva C, se ne conclude quindi che l’energia totale si conserva su tutta la curva.
Possiamo affermare allora che l’energia totale è costante per un sistema dove esistono solo forze conservative.
Un esempio di sistema conservativo è fornito da un pendolo ideale (senza attriti esterni o interni).
Durante il moto l’energia totale si conserva ed il pendolo oscilla con la stessa frequenza ed ampiezza per un tempo infinito.
Primo principio della termodinamica
In un pendolo non ideale, dove è presente l’attrito dell’aria, quello tra filo e supporto del pendolo e quello dovuto all’allungamento elastico del filo, per quanto impercettibile, l’energia totale non si conserva. Dopo un tempo finito infatti il pendolo si ferma nella posizione caratterizzata dalla minima energia potenziale e da energia cinetica nulla. Per questo sistema reale, non conservativo, non esiste quindi una funzione potenziale e pertanto la (6) non è più valida. Tuttavia, ad una analisi sperimentale più approfondita, ci si accorge che la temperatura dell’aria circostante aumenta man mano che il pendolo rallenta, come anche quella del filo (non perfettamente rigido). Tenendo conto di questi fenomeni termici che insorgono nel moto del pendolo, e nel tentativo di conservare l’esistenza di una funzione potenziale, assumeremo che esiste un’altra forma di energia, diversa dal lavoro, quindi di natura non meccanica, che si osserva ogni qualvolta si instaura un differenza di temperatura.
Indicheremo questa nuova energia con Q, il suo differenziale con Q, la chiameremo calore e riscriveremo la (6) come:
L Q
dV (11)
La (11) rappresenta l’enunciato matematico del primo principio della termodinamica. Tale enunciato sancisce l’esistenza del calore, la cui definizione, in base a quanto si è detto, è la seguente: si definisce calore una forma di energia non meccanica che si manifesta in virtù di una differenza di temperatura.
A volte il calore viene chiamato anche energia termica. La (11) assume inoltre l’esistenza di una funzione potenziale V anche per sistemi non conservativi. Tale funzione è nota come energia interna del sistema. Poiché in termodinamica il cammino percorso durante una trasformazione è definito dalle variabili del sistema (pressione P, temperatura T, volume V, moli n1, n2 …) che descrivono anche lo stato del sistema, la funzione V(P, T, V, n1, n2…) è detta funzione di stato. L’integrale del suo differenziale esatto dV dipende solo dagli stati iniziali e finali delle trasformazioni subite dal sistema, mentre gli integrali dei differenziali non esatti, Q e L, dipendono dal cammino percorso dallo stato iniziale a quello finale.
Una caratteristica fondamentale della funzione di stato V è che essa è una grandezza estensiva. Questo implica la sua additività. Ossia, se il sistema è diviso in N parti, l’energia interna totale del sistema è data dalla somma delle energie interne delle singole parti. In simboli:
VN
V V
V 1 2... (12)