Anelli a fattorizzazione unica Domini ad ideali principali Anelli Euclidei

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Giulio Del Corso 5.1

Capitolo 5: Anelli speciali:

Introduzione:

Gli anelli speciali sono anelli dotati di ulteriori proprietà molto forti che ne rendono agevole lo studio.

Proposizione:

Anelli euclidei Domini ad ideali principali Anelli a fattorizzazione unica

Anelli a

fattorizzazione unica Domini ad ideali

principali

Anelli Euclidei

•Ogni elemento si scrive in modo unico come prodotto di irriducibili.

•Primo ↔ Irriducibile

•Ogni catena ascendente di ideali si stabilizza

•𝐴[𝑥] è a fattorizzazione unica

•Tutti i suoi ideali sono principali

•Si può definire un M.C.D.

•Esiste una funzione grado

•Gli elementi di grado minimo coincidono con gli invertibili

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Anelli a fattorizzazione unica:

Un dominio di integrità si dice Anello a fattorizzazione unica se ogni elemento di diverso da 0 e non invertibile si scrive in modo unico (A meno dell’ordine e della moltiplicazione per elementi invertibili) come prodotto di elementi irriducibili.

Caratterizzazione:

è a fattorizzazione unica ↔ Valgono:

1- Ogni catena ascendente di ideali principali si stabilizza.

2- Ogni elemento irriducibile è primo.

Idea:

Dato un anello a fattorizzazione unica studiamo l’anello dei polinomi a coefficienti in .

Definizione (Contenuto):

Sia , il contenuto di è

Definizione (Primitivo):

Lemma (Prodotto polinomi primitivi è primitivo):

Sia un anello a fattorizzazione unica e . Se

Teorema:

è un dominio di integrità ↔ è un dominio di integrità.

Lemma di Gauss:

Siano un anello a fattorizzazione unica e , allora:

Corollario:

Siano , primitivo e dove è il campo quoziente di ; se allora

Teorema:

Sia :

1. Se allora irriducibile in ↔ irriducibile in .

2. Se è irriducibile in ↔ è primitivo ed è irriducibile in dove è il campo dei quozienti di .

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Giulio Del Corso 5.3 Teorema:

Sia un anello a fattorizzazione unica è a fattorizzazione unica.

Criterio di irriducibilità di Eisenstein:

Siano un anello a fattorizzazione unica, e un elemento primo.

Se:

1. non divide 2.

3. non divide

Allora è irriducibile.

Corollario:

Se è un numero primo, allora il polinomio è irriducibile in .

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Dominio ad ideali principali:

Un dominio di integrità si dice un dominio a ideali principali se tutti i suoi ideali sono principali.

Definizione (Primo):

Sia non invertibile, allora si dice primo se: o

Osservazione:

primo equivale a dire che è un ideale primo.

Definizione (Irriducibile):

Sia non invertibile, allora si dice irriducibile se: invertibile o invertibile.

Proposizione:

Sia un dominio ad ideali principali, è irriducibile ↔ è massimale.

Corollario:

In un dominio ad ideali principali primo ↔ irriducibile.

Proposizione (Importante):

Ogni catena ascendente di Ideali principali di un dominio ad ideali principali si stabilizza.

Equivalente:

Se è una catena ascendente di Ideali di allora

Osservazione:

Si può definire un M.C.D. fra due elementi di un anello ad ideali principali a meno di invertibili.

Attenzione:

La differenza con gli anelli euclidei è che non è possibile applicare l’algoritmo di Euclide (Che sfrutta la funzione grado). Quindi non abbiamo un modo standard di calcolarlo.

Teorema (di Fattorizzazione Unica):

Sia un dominio ad ideali principali, ogni elemento di diverso da 0 si scrive in modo unico (A meno dell’ordine e della moltiplicazione per elementi invertibili) come prodotto di elementi irriducibili.

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Anelli euclidei (E):

Un dominio di integrità si dice anello euclideo se una funzione (grado) 1. si ha

2. e oppure Esempio:

Anello dei polinomi con funzione il grado del polinomio.

Anello con grado il valore assoluto.

Esempio:

Interi di Gauss, dove la funzione grado è:

Definizione (Elementi di gradi minimo):

Dato il minimo valore ottenibile dalla funzione grado

Proposizione:

Gli elementi di grado minimo di coincidono con

Proposizione:

Tutti gli ideali di un anello euclideo sono generati da un elemento (Ideali principali)

Definizione (Divisione in un anello euclideo):

Siano , diciamo che divide se

Proposizione:

Sia un anello euclideo, un MCD tra due elementi si può trovare con l’algoritmo delle divisioni successive.

Osservazione:

L’unicità del MCD è assicurata solo a meno di un fattore moltiplicativo, ossia sono MCD tra e ↔ con

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Esempi:

Esempio 1:

Consideriamo l’anello degli interi di Gauss e studiamo Ricordiamo che

Soluzione:

Ricordiamo che il modo che abbiamo per determinare se un elemento è irriducibile è la Norma euclidea (Se la norma è un primo è irriducibile).

La condizione espressa è equivalente a ma primo.

Quindi: ma questo è equivalente (In un anello speciale vale la legge di eliminazione) a: osserviamo che nessuno dei due è irriducibile in quanto hanno norma

rispettivamente 10 e . Dunque ricordandoci che a meno di unità l’unico irriducibile di norma 2 è allora:

ma è divisibile per infatti la condizione diventa: