a) an= 7n2+ 3n 3n2 e dimostrare usando la definizione

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Analisi Matematica 1 (Informatica, Universit`a di Cagliari), 2006/2007

Esame scritto, 21. 02. 2007, VERSIONE A

Cognome e nome: ... Matricola: ...

1. Studiare i limiti delle successioni.

a) an= 7n²+ 3n

3n² e dimostrare usando la definizione.

b) a_n= 4√⁴

n(3 + n⁴) − 7ⁿ 2007 + n^21/4+ 7ⁿ. 2. Trovare i limiti:

a) lim

x→−1

1 − 2^x+1+ sin(3x + 3)

(x²+ 5x + 4) ln(5 + 3x). Potete risolvere mediante due metodi.

b)^∗ lim

x→+∞

1 − 1

5x

7x

.

3. Scrivere la definizione della derivata. Inoltre, trovare f⁰(x) e scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x₀, f (x₀)), dove

a) f (x) = ln(4x²+ cos(3πx)), x₀ = −1/2;

b) f (x) = x^−3x, x0 = 1/3.

4. Sia f (x) = −2x³+ 5x²− 4x, x ∈ IR.

i) Trovare f⁰(x), massimi e minimi. Esistono massimi e/o minimi assoluti?

ii) trovare f⁰⁰(x) e studiare per intervalli di convessit`a, concavit`a, punti di flesso.

iii) Tracciare il grafico.

5. Risolvere a)

Z 6

√4

7 − 4xdx; b) Z

2^1−3ydy; c)

Z 2t + 7 t²+ 7t − 8dt.

6. Sia f ∈ C([a, b]) una funzione nonnegativa, dove a = −4, b = 7. Disegnare in modo schematico (spiegando il significato geometrico) della somma superiore e la somma inferiore per la partizone di [a, b] a 11 intervallini uguali. Dare la definizione dell’integrale definito

Z b a

f (x)dx. Ennunciare il teorema della media.

7. Studiare e calcolare (se esistono) i seguenti integrali generalizzati (impropri), usando le definizoni

a) Z 7/6

1

12

√3

7 − 6xdx; b)^∗ Z 1

−∞

(x − 1)e^3xdx.