Dispensa I.5

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LE MACCHINE COMBINATORIE

La capacità elaborativa del calcolatore risiede nel processore; il processore è in grado di eseguire un set di azioni elaborative elementari più o meno complesse

Le istruzioni sono comandi espliciti che:

• governano il trasferimento di informazioni sia all’interno del calcolatore sia tra il calcolatore e i dispositivi di I/O

• specificano le operazioni aritmetiche e logiche che devono essere effettuate

I dati di ingresso e di uscita dell’elaborazione, nonchè la stessa sequenza di istruzioni sono immagazzinati nella memoria centrale

Il processore preleva ed esegue le istruzioni dalla memoria una ad una

Una sequenza di istruzioni memorizzate nella memoria centrale costituisce un PROGRAMMA.

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ALGEBRA DI BOOLE – TABELLE DELLA VERITA’

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ALGEBRA DI BOOLE – PROPRIETA’

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FUNZIONI BOOLEANE

Anche AND OR e NOT sono funzioni Booleane e vengono definite funzioni fondamentali dell’algebra. Una funzione che è costituita dall’insieme di AND OR e NOT si dice Algebrica o razionale.

Una funzione Booleana può essere definita tramite la TABELLA DELLA VERITA’

Una funzione costituita da n variabili potrà assumere

2

ⁿvalori e dunque la tabella della verità avrà

2

ⁿ^righe.

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INSIEMI FUNZIONALMENTE COMPLETI

Qualsiasi funzione Booleana può essere espressa come combinazione delle funzioni AND OR e NOT dunque l’insieme { AND , OR , NOT} si dice funzionalmente completo.

Ad esempio

xor = xy + xy

Esistono altri insiemi funzionalmente completi.

Si noti che grazie alla legge di DE MORGAN si può costruire la AND come combinazione di OR e NOT oppure la OR come combinazione di AND e NOT. Quindi anche l’insieme {OR , NOT} e l’insieme {AND , NOT} sono insiemi funzionalmente completi.

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RETI LOGICHE

I valori booleani possono essere rappresentati da grandezze elettriche. Ad esempio:

0 <=> tensione di 0 Volt 1 <=> tensione di +5 Volt

In tal caso le funzioni booleane possono essere realizzate mediante circuiti elettronici detti reti logiche.

Le porte logiche (gates) sono circuiti logici elementari che realizzano le operazioni fondamentali.

Le reti logiche si costruiscono connettendo più porte logiche.

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MACCHINE COMBINATORIE

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SEMPLIFICAZIONE MEDIANTE MAPPE DI KARNAUGH

Le semplicazioni di una funzione logica possono essere effettuate mediante i teoremi dell'algebra di Boole. Esiste però un metodo molto più pratico di semplificazione che e quello costituito dalle mappe di Karnaugh. Tale metodo di facile applicazione per funzioni di poche variabili, in genere fino ad un massimo di quattro o cinque, risulta alquanto difficoltoso se le variabili diventano numerose. Di seguito sono riportate le mappe di Karnaugh (di forma quadra o rettangolare) per funzioni di due, tre o quattro variabili.

Ogni mappa contiene tante caselle quante sono le 2n combinazioni delle n variabili della funzione logica. Caselle che hanno un lato in comune sono dette adiacenti. Debbono essere considerate adiacenti anche le caselle all'estremità' di una riga o di una colonna, come se la mappa fosse disegnata su una superficie chiusa su se stessa.

Sono caselle adiacenti, ad esempio, le caselle 0 e 8, 10 e 8, 5 e 7; non lo sono invece le caselle 4 e 13, 1 e 13 etc. Le caselle inoltre sono disposte in modo tale che passando da una qualsiasi ad una adiacente sulla stessa rigao sulla stessa colonna cambia di valore una sola variabile. Per rappresentare una funzione Y sulla mappa basta scrivere 1 nelle caselle corrispondenti alle combinazioni per le quali la funzione vale 1. Ad esempio alla funzione:

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Dispensa I.5 versione 1.0 mail: lamonica@associatesonline.it Pagina 9 di 11 corrisponde la mappa di Karnaugh

Si considerino ora le due caselle comprese nel rettangolo tratteggiato; esse corrispondono alle combinazioni 010 e 011 delle variabili A, B, C, e quindi nell'espressione algebrica della funzione alla somma del secondo e terzo termine che vale:

Il prodotto così ottenuto e'sopra evidenziato dal rettangolo che racchiude i due 1 adiacenti. I due fattori che lo compongono sono dati da quelle variabili (A, B) che non cambiano di valore (0,1) nelle due caselle del rettangolo.

Questo prodotto può essere scritto direttamente dall'osservazione della mappa, assumendo come fattori le variabili che mantengono il loro valore, negando quelle a valore 0 e lasciando inalterate quelle a valore 1.

Le considerazioni precedenti possono essere estese al raggruppamento delle quattro caselle contigue dell'ultima riga ottenendo come risultato dei quattro 1 adiacenti il solo termine C. Infatti lungo tutta la riga la sola variabile che resta costante e' la C, (che non va poi negata perché vale 1).

Poiché tutti gli 1 della mappa sono stati inclusi nei rettangoli tratteggiati, la somma dei termini corrispondenti a detti rettangoli da' come risultato l'espressione minima della funzione:

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ESEMPIO DI SEMPLIFICAZIONE

Realizzare lo schema logico che soddisfa la seguente tabella di verità:

La forma canonica della somma vale:

e la rappresentazione della funzione sulla mappa di Karnaugh e la seguente:

Si nota che è possibile minimizzare i termini cercando di raggruppare gli uni in varie maniere.

Entrambe le espressioni sono minime. A queste espressioni corrispondono le seguenti reti logiche.

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