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I FRATTALI
FRATTALI
FRATTALI
FRATTALI
Studente: Antonio Cozzetto, Classe IV B, a. s. 2013 – 2014, Liceo
Scientifico “E. Siciliano” Bisignano CS
Benoit Mandelbrot, il grande matematico del XX secolo, di origine polacca e francese di adozione, venuto a mancare nell’ottobre del 2010 a Cambri-dge, ha sconvolto lo scenario della geometria classica.
Egli nel 1967 pubblicò sulla prestigiosa rivista Science, l’articolo “How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional di-mension “ in cui sosteneva che ogni linea costiera possiede un perimetro che tenda all' infinito, pur essendo l'area sottesa certamente finita ed è dotata di auto-somiglianza: il grado di irregolarita' della costa, cambiando di scala (cioè prendendo riproduzioni della costa sempre più dettagliate, con foto sempre più ravvicinate) rimane essenzialmente immutato.
Mandelbrot aveva scoperto nuove figure geometriche , caratterizzate da peculiari proprietà,che nel 1975 denominò frattali.
Il termine frattale, coniato da Mandelbrot , deriva dall'aggettivo lati-no fractus che significa irregolare o frammentato ed è connesso con il verbo frangere che significa rompere. I frattali sono ,infatti, figure stra-ne,frastagliate, ramificate ed intricate.
“Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi, un fulmine non viaggia in linea retta” ~ Benoit Mandelbrot
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infini-to di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizio-ne più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione
matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frat-tale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di se-guito:
1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
Autosimiliarità nella curva di Koch
Il fiocco di neve di Koch è una particolare curva frattale costruita dal ma-tematico Koch a partire dal merletto di Koch. Si tratta di una curva co-struita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch; questo deve il suo nome al matematico H. Von Koch che lo introdusse in un articolo pubblicato nel 1904, prima quindi che venisse introdotto il concetto di frattale come lo intendiamo oggi. All'epoca fu visto come una curva dalle proprietà curiose, per non di-re patologiche.
Vediamo come viene costruito, facendo uso unicamente di tecniche di geometria elementare
- Come figura di partenza, si considera l'intervallo;
- L'intervallo viene diviso in tre parti di uguale ampiezza. La parte centrale viene soppressa ed al suo posto vengono inseriti due lati di un triangolo equilatero. Si ottiene così la figura accanto;
- La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti che for-mano la figura precedente;
- Nello stesso modo si procede per ognuno degli 12 segmenti della figura del passo 2;
- Andando avanti nella costruzione, la figura risulta sempre più frastagliata ed il numero dei lati cresce in maniera esponenziale. La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni tende a diventare infinita, mentre l'area racchiusa tende ad un valore finito.
2) Struttura fine: ad ogni ingrandimento un frattale rivela dettagli; si ar-ricchisce di nuovi particolari.
Ingrandimento microscopico del vetro
3) Ricorsività: gli oggetti frattali sono generati da funzioni ricorsive proce-dimenti ciclici, in cui l'output di un passo diventa l’input del passo succes-sivo;
4) Dimensione frattale: La caratteristica di queste figure, caratteristica dal-la quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappre-sentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè tra-sformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misura-ta definimisura-tamene, ma dipende stretmisura-tamente dal numero di iterazioni al qua-le si sottopone la figura iniziaqua-le.
Vari esempi di frattali
L’uso dei frattali abbraccia tanti campi, tra i quali presenziano la Geome-tria, la Fisica e l’Informatica, i quali hanno dimostrato una stretta parente-la. Ciò che ne venne fuori è descrivibile da tre punti di vista:
• Analitico: l’analisi matematica lavora con le formule, ad un livello molto astratto e poco intuitivo, ma descrive la Fisica reale.
Nel primo ventennio del ‘900 Gaston Julia stava studiando l’andamento di una particolare serie matematica ricorsiva per definirne i confini della rap-presentazione grafica. Il risultato a cui pervenne fu che tale frontiera era frastagliata all’infinito e che riproponeva sempre la stessa struttura a varie scale di grandezza. Il confine di questa rappresentazione grafica non pote-va mai essere approssimato da un segmento di retta.
Si è riusciti a rappresentare la scoperta di Julia solo con l’avvento del com-puter.
Esempi di insiemi di Julia
Negli anni ’80 Mandelbrot definì l’insieme che porta il suo nome e che altro non è che la somma di numerosi insiemi di Julia
Esempi di insiemi di Mandelbrot
• Geometrico: in questo ambito il frattale è più intuitivo. Un esempio è quel-la che viene chiamata Curva di Von Koch:
Questa proprietà è detta come già detto prima autosimilarità ed è tipica dei frattali. E’ per questa proprietà che i frattali, che sono delle curve (quindi unidimensionali), coprono una frazione di superficie del
pia-no (quella che viene chiamata dimensione frattale).
• Fisico-dinamico: a questo punto di vista si giunge partendo dal problema del Caos. Ragionando su questo, negli anni ’60, Lorenz scopre l’attrattore
Lorenz: stava lavorando ad un modello atmosferico quando notò che tale modello presentava delle configurazioni che sembravano casuali, caotiche. Ragionando sul problema si rese conto che la causa di questo effetto era la non linearità , giungendo a sostenere, dunque, l’impossibilità pratica della previsione.
Approfondendo i suoi studi scoprì un ordine in quel caos: un modulo fon-damentale che si riproponeva ricorsivamente e di cui minime variazioni portavano a nuove evoluzioni. Per la forma a farfalla di tale modulo si de-nominò tale situazione effetto farfalla. Fu Lorenz stesso a definire quel modulo un Attrattore Strano.
Attrattore di Lorenz Attrattore di Rossler
Teoria del Caos: il Caos è un caso di determinismo con dipendenza tempo-rale, ma che appare temporalmente irregolare, casuale e disordinato. Si tratta, dunque, di un determinismo talmente complicato da risultare im-prevedibile.
Si possono riconoscere andamenti caotici all’interno del ciclo dell’attività solare e nella propagazione delle onde sismiche.
I frattali compaiono un po' ovunque, ma il luogo dove stupisce maggior-mente la loro presenza è la natura.
La natura, come abbiamo detto, è ricca di tantissimi frattali, ad esempio in un albero comune come l'abete è facile notare come ogni singolo rametto riproduca in scala ridotta il proprio ramo e in miniatura l'albero nella sua grandezza!
Questo perché la natura non si potrebbe mai sviluppare tramite la gelida geometria: come potremmo spiegare con forme geometriche un fiocco di neve? Una pianta grassa? Un girasole?
Questo è impossibile perché la natura per sopravvivere si muove attraver-so schemi non geometrici, le montagne non posattraver-sono essere definite coni, le nuvole non sono sfere e un fiume non è una semplice linea. La natura quindi ha bisogno di un sistema non puramente geometrico per definirsi, ed è quello frattale.
Anche il nostro corpo è costituito da numerosissimi frattali; pensiamo al si-stema vascolare o all'apparato respiratorio: la natura ha scelto di organiz-zarli così per ottimizzare il sistema! Prendiamo ad esempio i piccoli vasi sanguigni del cuore e le loro ramificazioni in vasi ancora più ridotti.
Ma se vogliamo arrivare alla base pensiamo ai neuroni: cosa c'è di più frat-tale della loro struttura?
Sviluppo dei coralli
Forma fulmini
Forma montagne
