Lunghezza di una curva

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(1)www.matematicagenerale.it Lunghezza di una curva Sia y  f ( x). la lunghezza di tale curva è: b. L   1  f '2 ( x) dx a. Se la curva è data in forma implicita: F ( x; y )  0. allora: b. L   1 a. Fx '2 ( x; y ) dx Fy '2 ( x; y ). Se la curva è data in forma parametrica:  x  x(t )   y  y (t ) t2. L   x '2 (t )  y '2 ( x) dt t1. Se la curva è data in forma polare:.   f ( ) L. 2.  .  2 ( )   '2 ( ) d. 1. info@matematicagenerale.it.

(2) www.matematicagenerale.it Esempio 1 Determinare la lunghezza della curva di equazione y  2 5 x 3 situata nel primo quadrante compreso fra le ordinate corrispondenti alle ascisse x=0 e x=1.. b. Applichiamo L   1  f '2 ( x) dx a. Calcoliamo la derivata di y  2 5 x 3. f '( x)  2. 15 x 2 2 5 x3. 15 x 2. . 5 x3. Pertanto:. 1. L 0. 2. 1. 1 1 1 1 1 3  15 x 2   1 1 2 2 2 2 2 1  (10 10  1)  dx   1  9 xdx   (1  9 x) dx   (1  9 x)  9dx   (1  9 x)   3 90 9 3  0 27 0 0  5x . info@matematicagenerale.it.

(3) www.matematicagenerale.it Esempio 2 Determinare la lunghezza dell’arco di curva di equazione: 1 2   x  2 t   y  1 t3  3 Nell’intervallo 0t 2. Calcoliamo le derivate: 1   x '  2 2t  x '  t ;  2 1 2  y '  3t  y '  t  3. Pertanto:. t2. 2. L   x ' (t )  y ' ( x) dt   2. t1. 2. 0. 2. 2. 2 1 12 1 (1  t 2 )3/2   (5 5  1) t  t dt   t 1  t dt   (1  t 2 )1/2 2tdt  0 20 23 3 0 2. 4. 2. info@matematicagenerale.it.

(4) www.matematicagenerale.it Esempio 3 Data la curva.   sen  cos  determinare la sua lunghezza nell’intervallo 0     Applichiamo: L. 2.  .  2 ( )   '2 ( ) d. 1. Calcoliamo la derivata di   sen  cos  :.  '  cos   sen. L. 2.  . 1. . .  ( )   ' ( ) d   ( sen  cos  )  (cos   sen ) d   2d  2  0  2 2. 2. 2. 0. 2. . 0. info@matematicagenerale.it.

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