L'algebra dei polinomi

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L’algebra dei polinomi”

_{L’algebra dei polinomi”}

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L’algebra dei polinomi”

_{L’algebra dei polinomi”}

Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni

Docente: Donatiello Angela

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Introduzione

Fino ad ora abbiamo operato prevalentemente

con i numeri interi o razionali, utilizzando

operazioni aritmetiche, ma abbiamo anche

incontrato alcune regole scritte con l’uso

delle lettere. Tale formalismo richiama il

linguaggio simbolico dell’algebra, in quanto

oltre ai numeri, compaiono anche simboli

letterali. In questo modulo sarai condotto

all’interno del calcolo letterale, imparando

ad operare con i monomi, i polinomi e le

frazioni algebriche.

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Formule letterali: variabili e costanti

Consideriamo un triangolo e

chiamiamo b la base ed h l’altezza. Come ben sapete l’area del triangolo

si calcola utilizzando la formula scritta a lato. In questa formula b

ed h sono lettere che possono assumere diversi valori a seconda

dei casi, possono dunque variare. Diremo dunque che b ed h sono

variabili. Il numero 2 invece non

cambia se variano la base e l’altezza, per cui diremo che 2 è

una costante.

h b

2 h

b

A





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Assegnazione di valori alle variabili:

dal caso generale al caso particolare

Il concetto di variabile è un concetto fondamentale in matematica e viene utilizzato per esprimere proprietà generali,

come ad esempio l’area di un triangolo

qualsiasi. Se dovessimo calcolare l’area per

un triangolo particolare, dovremmo

assegnare dei valori precisi alle nostre due

variabili.

2 h

b

A





b = 3 h = 2

₂

3

2

3 

_



A

Proprietà generale

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Formula letterale Caso generale

Assegnazione di valori

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Il linguaggio dell’algebra è un

linguaggio simbolico

che ci

permette di rappresentare in forma letterale proprietà

generali. Studiare l’algebra non significa quindi acquisire solo

tecniche di calcolo, ma soprattutto affinare le proprie

capacità di astrazione, sapendo riconoscere

nell’impostazione di un problema, le

variabili

fondamentali

che entrano in gioco e le

relazioni matematiche

che le

legano.

Linguaggio simbolico dell’algebra

Algebra

Linguaggio simbolico

(si manipolano lettere anziché numeri)

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Nota storica

François Viète, (Fontenay-le Comte 1540 - Parigi 1603), matematico e uomo politico francese. Conseguì il baccalaureato in diritto nel 1560. A partire dal 1602 lavorò alle sue prime opere scientifiche e fu autore di un sistema notazionale di simbolizzazione dell'algebra, grazie al quale fu possibile applicare il formalismo algebrico allo studio della

geometria. Viète introdusse inoltre l'uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi

fondamentali alla teoria delle equazioni.

Raffaele Bombelli, (Bologna 1526 – Roma 1572), matematico italiano, fu uno dei grandi algebristi del Rinascimento. Il suo contributo alla matematica è contenuto in un

trattato di algebra in 3 volumi (il progetto originale ne prevedeva 5), pubblicato l’anno della sua morte e intitolato Algebra. Il trattato comprende regole di computo per numeri negativi e relative dimostrazioni. Bombelli però, nel dimostrare proprietà generali, utilizzava ancora numeri, anziché lettere. La vera rivoluzione si ebbe invece nel 1600, grazie a Viète.

Euclide di Alessandria d'Egitto, attivo nel 300 a.C. Matematico greco formatosi probabilmente ad Atene presso l'Accademia platonica, insegnò geometria ad

Alessandria d'Egitto, dove fondò una scuola di matematica. Nel suo capolavoro, gli Elementi le proprietà algebriche vengono trattate utilizzando segmenti e figure geometriche. Bisogna aspettare il Rinascimento per veder fiorire l’algebra come disciplina autonoma.

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Differenza tra espressione letterale e

valore dell’espressione

Espressione



Valore dell’espressione

5

2

3 





a

2

1

3

5

3

2

3

3 











con a = 3 Caso particolare Caso generale

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Se cambia il valore della variabile

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Esempi esplicativi

1. Consideriamo l’espressione letterale 3 + a – 2 b

Diciamo che

a

e

b

sono

variabil

i, mentre

3 e

2 sono

costanti

.

2. Consideriamo l’espressione letterale x + 2 y . Il

valore

di tale espressione per x = 1 e y = 5 è:

1 + 2 * 5 = 1 + 10 = 11

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Convenzione di scrittura

Al posto di

Scriveremo

x * y

xy

2 * x

2x

3 * (x + y)

3(x + y)

Indicheremo generalmente le variabili con le lettere minuscole

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monomi

Espressione in cui compare solo l’operazione di moltiplicazione

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Grado di un monomio

Somma degli esponenti dei fattori letterali

x xy x2y3z5 x0 5

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Analizziamo un monomio

Coefficiente numerico

Parte letterale 3 x2 y b5

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Esercitazioni

1. Scrivi le espressioni algebriche che indicano le seguenti operazioni:

a. Sommare alla metà di a il doppio di b. b. Sottrarre al triplo di a il cubo di b.

2. Calcolare il valore numerico delle seguenti operazioni letterali, assegnando alle lettere i valori indicati:

a. -5a+2b+3ab con a = -2 e b = 4 R: [-6] b. 3a2-6a+3 con a = 3 R: [12] c. con x = 2 R: [-3] d. x2+3y-z con x = -5; y = -3; z = 6 R: [10] 2 2 x 3 1 x 1 x 2    

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Esercitazioni

1. Stabilisci quali delle seguenti espressioni algebriche sono monomi:

x2y; a + b; x3y2z; 5a4 – b; x(-y)(z3a4b2); 4(x-y)

2. Per ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente, la parte letterale e il grado:

xyz2; 5x3y4z; 2abc; 8; -a2b4xy5

3. Scrivi un monomio di ottavo grado che abbia come parte letterale solo tre variabili.

4. Scrivi un monomio di sesto grado che sia di quarto rispetto alla lettera y e che abbia coefficiente uguale ad 1.

5

3

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Monomi simili

Hanno la stessa parte letterale

Monomi simili: 2x3yz2 5x3yz2

Monomi non simili: 4xy7 3x2y

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Somma algebrica di monomi

La loro somma restituisce un unico monomio:

2x3yz2 + 5x3yz2 = (2+5) x3yz2 =

= 7 x3yz2

La loro somma

non è un unico monomio ma un polinomio

4xy7 + 3x2y

Monomi simili: 2x3yz2 5x3yz2

Monomi non simili: 4xy7 3x2y

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La somma di due monomi simili è un nuovo monomio

che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e come parte letterale la stessa parte letterale

La somma di due monomi simili di grado n

è ancora un monomio di grado n

5xy + 3xy = (5 + 3)xy = 8xy

5xy ha grado 2 3xy ha grado 2

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Moltiplicazione di monomi

1. Si moltiplicano i coefficienti numerici

2. Si moltiplicano tra loro i fattori letterali

3. Se ci sono fattori letterali comuni:

si applicano le proprietà delle potenze

Esempio:

5b

2

 4b

3

=

= (5  4) b

2

_

b

3

= 20 b

2+3

=

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Potenza di monomi

La potenza di un monomio è uguale al prodotto delle potenze dei suoi fattori

(-2x2yz3)2 = (-2)2(x2)2(y)2(z3)2 = 4x4y2z6

Grado = grado del monomio base  esponente

Grado (-2x2yz3)2 = grado (-2x2yz3)  2 =

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Esercitazioni

1. Indica tra i seguenti gruppi di monomi quelli simili:

a. 3ab2; ab; -b2a; a2b; 5ab; 3a

b. xy; 5ac; -xy; -x2y; axy; 8ac

2. Calcola le seguenti somme di monomi simili ed indica il loro grado:

a. 5ab3 + 3ab3 = grado =

b. 10xy + (-11xy) = grado =

c. -7ac2 + 7ac2 = grado =

3. Calcola i seguenti prodotti ed indica il grado del monomio risultante:

a. -4a2b(-3ab2) = grado =

b. 3xyz(-x2z)(3z2) = grado =

5 3

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Esercitazioni

1. Calcola le seguenti potenze ed indica il grado del monomio risultante:

a. (3xy2)3= grado =

b. (-2a3bc4)5 = grado =

c. [-(-3x2)3]2 = grado =

2. Esegui le seguenti moltiplicazioni dopo aver sommato i monomi simili:

a. R: b. R:              _ _ _a _bc 11 6 ac 3 5 ac 4 1 ac 8 7 ₂ _a3_bc2 4 5        _ _ _      _ _ _ 2 2 _xy2 3 2 xy 2 xy 3 4 ax 20 13 ax 4 3 ax 5 3 ₂ ₂ y ax 3 4

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