Su alcuni contributi al programma Langlands: ulteriori connessioni tra alcuni fenomeni fisici naturali, Teoria dei Numeri e Teoria di Stringa.
Michele Nardelli1,2e Francesco Di Noto
1Dipartimento di Scienze della Terra
Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10 80138 Napoli, Italy
2Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli”
Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze e delle Tecnologie Monte S. Angelo, via Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy
INTRODUZIONE
Il programma Langlands si propone di connettere la Teoria dei Numeri con la Teoria quantistica dei Campi. Tale connessione, secondo noi, è possibile, in quanto i fenomeni naturali (compresi i fenomeni fisici, ed a maggior ragione i fenomeni quantistici studiati dalla Teoria Quantistica dei Campi) sono regolati notoriamente da leggi fisiche connesse con variazioni di quantità (spazio, tempo, materia, energia, ecc…); e poiché le quantità sono espresse da numeri, ed i numeri sono regolati dalla Teoria dei Numeri, ecco che è possibile una correlazione tra teorie fisiche in generale e teoria quantistica dei campi in particolare, poiché qui diviene importante l’aritmetica dei numeri interi. A questo livello, infatti, non è possibile parlare di 1/2 quanto o di 3,7 quanti ma soltanto di un quanto, due quanti, n quanti interi.
A sua volta, la teoria dei numeri interi è molto importante nell’algebra (teoria algebrica dei numeri) oltre che nella teoria aritmetica dei numeri.
La Natura, quindi, nel microcosmo opera sui numeri interi n (insieme N) che sono infiniti. Ma c’è da pensare che tra i numeri interi, la Natura scelga, per regolare i suoi fenomeni microscopici (e quindi quantistici) e poi su larga scala anche i fenomeni macroscopici, solo alcuni tipi di numeri interi. Tali numeri sono i numeri primi ed i numeri di Fibonacci, che combinati insieme forniscono i numeri primi naturali, che regolano le vibrazioni delle stringhe e la stabilità nucleare, i numeri (anch’essi interi) che riguardano le partizioni, che regolano i livelli energetici degli atomi, le cui spaziature sono connesse alle spaziature tra gli zeri della funzione zeta di Riemann sui numeri primi.
Di tutto ciò ne abbiamo già parlato nel lavoro “Sulle possibili relazioni matematiche tra Funzione zeta di Riemann, Numeri Primi, Serie di Fibonacci, Partizioni e Teoria di Stringa” (Nardelli, Di Noto, Tulumello), ed altri possibili contributi, come il presente lavoro, seguiranno nel futuro, come il “Progetto UNICOM” (già descritto in maniera parziale in questo ed in quasi tutti i precedenti lavori), sulla possibile unificazione delle costanti matematiche “c”, φ, Φ ,
π
, ed altre, tutte connesse in qualche modo da un lato con i numeri primi, e dall’altro con la teoria delle stringhe; laCongettura dei due divieti, che cerca di connettere numeri primi, zeri di zeta e livelli energetici degli atomi (quindi vibrazioni di stringhe associate a tali livelli energetici).
Questi nostri lavori potrebbero essere un utile contributo al programma Langlands, poiché parlano di numeri interi particolari (primi, Fibonacci, partizioni) connessi con la teoria delle stringhe, che è una teoria fisica quantistica e relativistica (quindi cosmologica) allo stesso tempo, connessa quindi con la gravità quantistica, con la materia/energia oscura, le dimensioni nascoste, le membrane (o brane), etc…
In questa parte introduttiva, dedicata al programma Langlands, vogliamo riportare, oltre alle nostre considerazioni, anche quelle, molto utili ed importanti su questo argomento, del fisico australiano Paul Davies, tratte dal suo libro “La Mente di Dio”, sul perché le leggi fisiche debbano essere espresse in forma matematica.
L’esistenza di regolarità nella Natura è un fatto matematico oggettivo. Le leggi naturali sono universali. Esse sono infatti considerate infallibilmente valide in ogni luogo dell’Universo ed in tutte le epoche della storia cosmica. Non sono consentite eccezioni: in questo senso sono anche perfette. Le leggi naturali sono assolute ed eterne. Il carattere atemporale, eterno delle leggi è riflesso nelle strutture matematiche impiegate per costruire modelli del mondo fisico. Nella meccanica classica, per esempio, le leggi della dinamica sono rappresentate in una funzione matematica detta “hamiltoniana” che agisce su ciò che viene chiamato “lo spazio delle fasi”. Il fatto essenziale è che la hamiltoniana e lo spazio delle fasi sono indipendenti dal moto del punto che rappresenta lo stato del sistema.
Già al tempo di Platone alcuni filosofi sostenevano che la matematica possedesse un’esistenza indipendente. Il fatto che il mondo fisico rifletta le proprietà computazionali dell’aritmetica ha una profonda conseguenza. Significa che, in un certo senso, il mondo fisico è un computer, o, più precisamente, i computer non solo possono simularsi l’un l’altro, ma possono anche simulare il mondo fisico. C’è allora una concordanza cruciale fra le leggi della fisica da una parte e, dall’altra, la computabilità delle funzioni matematiche che descrivono queste stesse leggi.
I progressi più validi della fisica delle particelle sono venuti dall’uso di un ramo della matematica noto come “Teoria dei Gruppi” e strettamente collegato al tema della simmetria, una delle manifestazioni “favorite” della Natura. È possibile usare la teoria dei gruppi per associare, mettendole in famiglie unificate, particelle apparentemente distinte. Ora, il modo in cui questi gruppi possono essere rappresentati e combinati ed il numero delle particelle di ogni tipo che descrivono, sono determinati da regole matematiche ben definite e si spera che da tutto ciò emerga una descrizione in termini di teoria dei gruppi che richieda tre generazioni di particelle. A quel punto, l’apparente prodigalità della Natura ci apparirà una conseguenza necessaria di una simmetria unificatrice più profonda. (Davies, 1992).
Avremo, quindi, la seguente successione.
N = Teoria dei Numeri (interi: primi, Fibonacci, partizioni, ecc…) Formule Matematiche (Matematica) F = Leggi fisiche classiche e quantistiche (Natura) Connessione Matematica : rappresentazione razionale della connessione N F .
Un accenno alla relazione tra aritmetica e fisica quantistica, relazione che dovrà essere la struttura portante del programma Langlands, almeno nei nostri contributi in tal senso, è riportato nel libro “L’Ossessione dei Numeri Primi” di J. Derbyshire. In esso sono riportate le osservazioni che seguono. “…Non sorprende che la teoria pura dei numeri – i concetti che riguardano i numeri naturali e le loro relazioni reciproche – debba avere attinenza con la fisica subatomica. La fisica quantistica ha una componente aritmetica molto forte rispetto alla fisica classica, poiché dipende dall’idea che materia ed energia non siano infinitamente divisibili. L’energia si presenta in forma di 1, 2, 3 o 4 quanti, ma non come 1 + 1/2 , 2 + 17/32, 2 o
π
quanti. Certo questo non è tutto e la meccanica quantistica non avrebbe potuto essere sviluppata senza gli strumenti più potentilinguaggio dell’analisi tradizionale. Eppure, la componente aritmetica è nella meccanica quantistica, mentre nella meccanica classica è quasi del tutto assente”.
Quindi, relazione tra numeri interi e fisica quantistica come punto d’inizio. Noi con i nostri contributi (lavori passati e futuri su questo argomento), abbiamo fatto un importante passo avanti: abbiamo compreso e suggerito come tra i numeri interi, la Natura (a cominciare proprio dalla fisica quantistica) sembra preferire numeri interi “particolari”, per conferire stabilità e regolarità ai suoi fenomeni. Tali numeri interi particolari, sottoinsiemi infiniti degli infiniti numeri naturali, come abbiamo visto e vedremo ancora nei nostri lavori, sono:
(i) I numeri primi, correlati alla funzione zeta di Riemann, a sua volta correlata ai livelli energetici degli atomi (quindi alle vibrazioni delle stringhe associate a tali livelli), tramite la connessione tra le spaziature di questi ultimi e le spaziature tra gli zeri di zeta;
(ii) I numeri di Fibonacci che, come coefficienti f della forma generale dei numeri primi, 1
6 ± = n
P , danno luogo ai numeri primi “naturali”, di forma Pn = f6 ±1, i quali sono associati alle frequenze di vibrazioni delle stringhe ed ai numeri magici M della stabilità nucleare, oltre che alle emissioni di biofotoni. Sia le stringhe, sia gli atomi, sono oggetti di studio della fisica quantistica;
(iii) I numeri di Fibonacci che, oltre che nei numeri primi naturali a livello quantistico, a livello di fisica classica sono coinvolti nelle spirali delle galassie, e a livello biologico nelle spirali di fiori, pigne, conchiglie, ecc…;
(iv) Il numero di partizioni di n, simbolo p(n), cioè il numero delle somme possibili con risultato finale n, ossia il numero dei modi in cui un insieme di n oggetti può essere suddiviso in gruppi distinti. Le partizioni a livello quantistico, sono associate al modo in cui variano i livelli energetici degli atomi e quindi alla variazione dell’energia associata alle vibrazioni delle stringhe.
Tutti questi numeri sono chiaramente interi, e ciascun tipo, per la sua parte, contribuisce a regolare, da solo e/o insieme agli altri, i fenomeni quantistici, per esempio le vibrazioni delle stringhe (numeri primi naturali), i livelli energetici (numeri primi tramite gli zeri della funzione zeta di Riemann e partizioni) e stabilità nucleare (numeri primi naturali, tramite i numeri magici della stabilità nucleare). Da evidenziare che i numeri di Fibonacci sono “nascosti” nei numeri primi naturali Pn =6fn±1 come coefficienti fn= 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…
I passi successivi saranno certamente le nuove ed ulteriori connessioni tra questi tipi di numeri con la teoria delle stringhe, con la Congettura (adesso Teorema) di Poincarè (già dimostrata dai due matematici cinesi Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu e oggetto dell’interessante articolo “Poincarè and Geometrization Conjectures: mathematical connections between String Theory, Ricci Flow and Number Theory” di M. Nardelli), con la matematica associata alla dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat, e possibilmente si spera anche con gli aspetti quantistici della materia/energia oscura, dell’anti-materia, della fusione nucleare, etc…, sotto l’aspetto puramente matematico anzi, in questo caso, aritmetico.
Una volta compresi meglio tutti questi fenomeni connessi alla Teoria dei Numeri (e realizzando almeno in parte il programma Langlands), con i risultati ottenuti sarà possibile, successivamente, fare previsioni ed integrazioni dei medesimi con il Modello Standard della fisica delle particelle e con la Teoria di Stringa/Teoria M e infine, ovviamente se tutto andrà per il verso giusto, ottenere anche delle possibili ed augurabili sperimentazioni di laboratorio.
1. I Numeri Primi Naturali e le cariche elettriche frazionarie
Per numeri primi naturali intendiamo un particolare sottoinsieme dei normali numeri primi, di forma P = 6n + 1, in base al nostro Teorema n° 1 (Vedi “Primi per tutti” sul sito gio22). I numeri primi naturali, che chiamiamo così perché sembrano coinvolgere diversi fenomeni fisici naturali, per esempio le vibrazioni delle stringhe e la stabilità nucleare (vedi il lavoro “ Numeri primi, Partizioni, Fibonacci e Teoria di stringa – Connessioni tra Teoria dei Numeri e Teoria di Stringa) e l’emissione di biofotoni da parte del corpo umano (vedi “I biofotoni e i numeri primi naturali”), ma anche, molto probabilmente, il ciclo biologico di due specie di cicale (vedi, su sito gio22 “Teorema di Goldbach, numeri primi e cicli biologici delle cicale”) e, come vedremo nelle pagine successive, anche le possibili cariche frazionarie diverse da quella, unitaria e nota, dell’elettrone. Tornando ai numeri primi naturali Pn, questi, (a differenza di quelli noti di forma P = 6n + 1) sono di forma
Pn = 6f + 1 (1.1)
dove f è la nota serie dei numeri di Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89…, e che dà i seguenti numeri primi naturali :
T A B E L L A 1:
f 6 f - 1 6 f + 1
____________________________________________________________ (0) (-1) (+1) numero primo improprio 1 5 7 2 11 13 3 17 19 5 29 31 8 47 49 = 7 * 7 = 7 ^ 2 13 77 = 7 *11 79 21 125 = 5*5*5 127 34 203 = 7*29 205 = 5*41 55 329 = 7*47 331 … … … Quindi, la serie iniziale dei numeri primi naturali è, fino a 331, la seguente: 5 7 11 13 17 19
29 31 47 79 127 331 …
Oltre che alle frequenze delle vibrazioni delle stringhe, alla stabilità nucleare, ai cicli biologici di due specie di cicale (13 e 17 anni), tali numeri primi naturali potrebbero essere collegati anche alle cariche elettriche frazionarie 1/5, 1/11, 1/13 e 1/53 (sebbene 53 non sia numero primo naturale ma numero primo normale, ma molto vicino a 47 che è primo naturale, e il coefficiente 9 di 53=6*9-1 è contiguo a 8 di 47 = 6*8-1, con 8 numero di Fibonacci) .
Così infatti si legge nell’articolo “Superstringhe” della rivista Focus: …“La presenza di dimensioni nascoste, consente alle stringhe di vibrare in un’infinità di modi diversi, molto più di quanto si possa immaginare. La teoria delle stringhe, quindi, consente non solo di descrivere le particelle note come l’elettrone o i quark, ma anche di prevederne di nuove.
Alcune peserebbero di più di un atomo, altre avrebbero carica frazionaria, pari a 1/5, 1/11, 1/13 o 1/53 di quella dell’elettrone…”
E come abbiamo visto nella TABELLA 1, 5, 11, e 13 sono numeri primi naturali, e 53 è molto vicino al numero naturale 47 e, comunque, è un numero primo. Anche la rivista “Le Scienze” di aprile 2002, nell’articolo “Il rumore delle cariche frazionarie”, accenna ai suddetti numeri includendo anche il 3, che non essendo numero primo naturale è un primo normale, oltre che numero di Fibonacci; pag.71:
…“ Sorprendentemente, sono state scoperte altre quasi-particelle, la cui carica elettrica vale un terzo, un quinto o un settimo di quella dell’elettrone libero…”
(L’articolo, di Laurent Saminadayar e al quale rimandiamo, riporta le previsioni e gli esperimenti sulle misure delle cariche frazionarie).
Concludendo, anche tali cariche frazionarie, così come quella intera dell’elettrone, e con a denominatore numeri dispari ma possibilmente anche primi e soprattutto primi naturali, potrebbero essere benissimo causate dalle vibrazioni delle stringhe con frequenze collegabili ai numeri primi naturali.
I quali, oltre che alle vibrazioni delle stringhe stesse, alla stabilità nucleare, all’emissione di biofotoni da parte del corpo umano, ai cicli biologici delle cicale, potrebbero ora aggiungere anche le cariche frazionarie ai fenomeni naturali ad essi collegabili.
1.1 Cariche frazionarie e Teoria di Stringa
Il 1897, il fisico britannico Joseph John Thomson scopriva che i raggi emessi da un catodo sono costituiti da particelle elementari dotate di massa e di carica elettrica negativa: gli elettroni. Nel 1911, Robert Millikan forniva la prova definitiva dell’esistenza di una carica elettrica elementare e ne determinava il valore: la carica dell’elettrone valeva (e vale) 1,602 10−19
× coulomb. Lo studio delle cariche frazionarie sta suscitando un interesse sempre più vasto. Le cariche frazionarie hanno fatto la loro comparsa una ventina d’anni fa. Per spiegare i valori misurati della conduttività in certi solidi, alcuni teorici hanno ipotizzato l’esistenza di particelle la cui carica sarebbe pari ad una frazione della carica elettronica. Ciò non significa che l’elettrone sia divisibile; queste cariche sono trasportate da quasi-particelle.
La scoperta dell’effetto Hall quantistico intero e frazionario è stata fondamentale per dimostrare l’esistenza di cariche frazionarie; in quest’ultimo effetto le quasi-particelle, corrispondenti ad eccitazioni elementari del sistema, trasportano un terzo di carica elementare.
L’effetto Hall quantistico compare a temperature molto basse (inferiori a 100 millikelvin) e per campi magnetici molto intensi. In questo caso, la resistenza di Hall presenta dei “plateau”: uno rappresenta la resistenza elementare / e2
h , un altro compare per un valore di resistenza pari a
2
2 / e
h , e così via. Nel caso dell’effetto Hall quantistico frazionario, i valori della resistenza di Hall sono frazioni che hanno denominatore dispari. L’effetto Hall quantistico frazionario si manifesta quando si applicano campi magnetici superiori a quelli per cui si ha effetto Hall quantistico intero. La resistenza longitudinale è nulla sui plateau di Hall.
Abbiamo quindi affermato che i plateau, nel caso dell’effetto Hall quantistico frazionario, compaiono in corrispondenza di multipli non interi della resistenza fondamentale, e si esprimono come frazioni con denominatore dispari: 1/3, 2/3, 1/5 e così via. Da dove vengono questi plateau? È stato il fisico statunitense Robert Laughlin a trovare un modello teorico per spiegare innanzitutto l’effetto Hall quantistico intero, e poi anche questo effetto Hall quantistico frazionario, e per costruire la sua teoria ha dovuto ricorrere proprio alle cariche frazionarie. Quando il rapporto tra il numero di elettroni e quello di quanti è uguale a frazioni di denominatore dispari, allora il campo magnetico corrisponde ad un plateau di Hall frazionario.
Nell’esperimento di “Effetto Tunnel”, una corrente di quasi-particelle circola nei canali di bordo di un gas di elettroni bidimensionale sottoposto ad un forte campo magnetico perpendicolare. Questa corrente viene deviata grazie a due griglie a forma di punta. Queste griglie sotto tensione riducono la distanza che separa i canali di bordo: essa passa da un millimetro a 100 nanometri. Diviene, cioè,
creano una corrente tunnel. Misurando l’intensità e le fluttuazioni di questa corrente si ottiene la carica dei portatori, che vale un terzo della carica elementare dell’elettrone (e/3).
Nel 1999 un’equipe di fisici del Weizmann Institute di Rehovot, in Israele, ha osservato quasi-particelle di carica e/5, e si è provata l’esistenza di quasi quasi-particelle di carica e/7.
Riguardo alle cariche frazionarie, ci si chiede a quale delle due grandi famiglie di particelle esse appartengono: i bosoni o i fermioni? Sappiamo che gli elettroni sono fermioni. Le differenze tra fermioni e bosoni sono molte, ma una delle principali è che i bosoni sono “gregari”, nel senso che in linea di principio un numero infinito di essi può stare nello stesso stato quantico. Al contrario i fermioni sono “solitari”, poiché non se ne possono trovare due in un medesimo stato.
Secondo la teoria oggi più accettata, le cariche frazionarie non sono né bosoni né fermioni: si definiscono “anioni”, una sorta di “intermediari” tra le due classi. Questi strani oggetti della fisica si comportano allo stesso tempo come fermioni e come bosoni. Di fatto, esisterebbe tutto uno spettro di anioni, di cui bosoni e fermioni rappresentano gli estremi: gli anioni passerebbero di continuo da uno stato fermionico ad uno bosonico e viceversa.
Le particelle elementari del modello standard hanno un assortimento molto limitato di cariche elettriche: i quark e gli anti-quark hanno cariche pari a ±1/3 e ±2/3; le altre particelle hanno cariche pari a 1± oppure carica nulla. Nella teoria delle stringhe, invece, sono possibili modi di vibrazione corrispondenti a particelle con cariche assai diverse ed “esotiche”, come 1/5, 1/11, 1/13 o 1/53. Questi valori inconsueti (notiamo con interesse che 5, 11, 13 e 53 sono numeri primi) saltano fuori se le dimensioni compattificate hanno una precisa proprietà geometrica: i loro “buchi” sono tali che le stringhe che li circondano possono liberarsi soltanto se li “avvolgono” facendo un ben determinato numero di giri. La cosa importante da evidenziare è che il numero di avvolgimenti necessari per districarsi determinano il denominatore della carica frazionaria.
Ricordando che in Teoria di Stringa i bosoni sono rappresentati da stringhe bosoniche, quindi da azioni di stringhe bosoniche ed i fermioni da stringhe fermioniche, quindi da azioni di superstringhe, anche l’analisi fisico-matematica di tale fenomeno rafforza ulteriormente il modello Palumbo-Nardelli di corrispondenza biunivoca tra azione di stringa bosonica e azione di superstringa, espresso dalla seguente relazione:
−
∫
− −(
)
( )
φ − ∂ φ∂ φ= π µ ν µν ρσ µν νσ µρ g f G G Tr g g G R g x d 2 1 8 1 16 26∫
∫
(
)
( )
∞ Φ − − − Φ ∂ Φ ∂ + − = 0 2 2 2 10 2 10 2 3 2 2 / 1 10 2 10 ~ 2 1 4 2 1 F Tr g H R e G x d µ µκ
νκ
. (1.2)Prendiamo adesso i numeri puri 3, 5 e 7, cioè i denominatori delle tre cariche frazionarie e/3, e/5 ed e/7. Notiamo subito che tali numeri sono numeri primi, inoltre, essi soddisfano le seguenti relazioni in cui compaiono il rapporto aureo e la sezione aurea, cioè φ e Φ :
3 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 ≅ + − + + ; (1.3) 5 3 2 1 2 1 5 2 1 5 2 3 ≅ + ⋅ − + + ; (1.4) 7 2 1 5 7 5 2 11 3 2 1 5 2 4 ≅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + . (1.5)
Queste, a loro volta, sono correlate all’identità di Rogers-Ramanujan. Difatti, per esempio per il 5, avremo:
( )
(
)
5 3 2 1 5 1 exp 2 5 3 1 5 ) ( 2 1 5 2 0 1/5 4/5 5 3 ≅ + ⋅ − − + + + + +∫
q t dt t f t f q R . (1.6)Anche quindi per la fisica delle cariche frazionarie è possibile evidenziare la correlazione che esiste sia con la Teoria dei Numeri sia con la Teoria delle Stringhe.
2. Materia oscura, Antimateria, Teoria dei Numeri e Teoria di Stringa: Proposta di ipotesi
Sulla materia oscura si conosce ancora molto poco: potrebbe essere costituita da particelle neutre (assioni) che interagiscono molto poco con le particelle di materia note e tra di loro, o da particelle elementari molto pesanti (del tipo wimps), che potrebbero avere effetti gravitazionali accettabili. Si ritiene che la materia/energia ordinaria, quindi visibile, sia soltanto il 5% del totale nell’Universo e la differenza, il 95% (tra 25% di materia e 75% di energia) sia invece di materia/energia oscura. Premettiamo che la natura della materia e dell’energia oscura non è ancora ben compresa. Sappiamo che la natura della materia/energia visibile è collegata alle vibrazioni delle stringhe. La frequenza delle vibrazioni è strettamente connessa ai numeri primi, soprattutto ai numeri primi naturali, quindi con il coinvolgimento dei numeri di Fibonacci, il numero di partizioni, ecc…, che potrebbero benissimo conferire stabilità, regolarità e capacità di interagire tra le particelle risultanti della seguente sequenza:
vibrazioni stringhe quark bosoni fermioni atomi molecole tramite il ruolo delle quattro forze fondamentali
gravità elettromagnetismo forza forte forza debole.
Viene quindi spontaneo chiedersi, considerando che i numeri primi naturali sono una piccola percentuale dei numeri, se le particelle di materia oscura, specificamente gli assioni, non derivino da frequenze di vibrazioni di stringhe basate su altri numeri, che conferirebbero agli assioni le loro caratteristiche, teoriche o sperimentali:
(i) carica neutra, non essendo soggette alla forza elettromagnetica; (ii) scarsissima interazione con gli altri assioni, elettricamente neutri;
(iii) scarsissima interazione con le particelle della materia/energia visibile (il 5%) rimanente, che hanno invece carica elettrica;
(iv) interazione soltanto gravitazionale a livello galattico, come da osservazioni astrofisiche.
A sostegno di tale nostra ipotesi sulla natura ultima della materia oscura (stringhe con vibrazioni diverse da quelle della materia normale), notiamo che i numeri primi naturali sono molto pochi rispetto a tutti gli altri.
Adesso, se prendiamo le prime cento unità, avremo la seguente tabella (f = numeri di Fibonacci): n f 6 ±f 1 Primi naturali 1 1 6 ±⋅1 1 5 , 7 2 2 6⋅2±1 11 , 13 3 3 6 ±⋅3 1 17 , 19 4 5 5 6 ±⋅5 1 29 , 31 6 7 8 8 6 ±⋅8 1 47 9 10 11 12 13 13 6⋅13±1 79 … 21 21 6⋅21±1 127
Da questa notiamo che ci sono 11 numeri primi naturali su 127 unità, cioè l’8,6% contro il 91,4% (100 – 8,6 = 91,4) dei rimanenti numeri. Evidenziamo come 8,6 e 91,4 siano numeri molto vicini alle stime finora fatte sulla materia/energia visibile (5%) e materia/energia oscura (95%), stime che potrebbero migliorare in seguito a future osservazioni astronomiche e/o esperimenti.
Se i nuovi valori si avvicineranno molto ai valori da noi qui proposti (8,6% e 91,4%), questa nostra ipotesi, attualmente molto vaga e quindi abbastanza azzardata, diverrebbe più fondata a livello teorico, con il conforto dei nuovi dati delle osservazioni, più coerenti degli attuali numeri 5% e 95% come rispettive percentuali, con rapporto 95/5 = 19 e dei dati da noi proposti 8,6% e 91,4% con rapporto 91,4/8,6 = 10,62; 127/11 = 11,54 (10 ≈,6 11,5) (rapporto tra unità considerate e numero dei numeri primi naturali in esse compresi); mentre il rapporto tra 100% e 5% è 100/5 = 20 (20 ≈19).
Se però consideriamo un solo numero primo per ogni coefficiente f, i numeri primi naturali, non considerando i quattro gemelli eventualmente coinvolti, si ridurrebbero a 7, quindi avremo 7/127 = 5,51% valore vicinissimo al 5% finora stimato per la materia/energia visibile e quindi anche al 95% ottenendo 94,49% (100 – 5,51 = 94,49) per quanto concerne la materia/energia oscura.
Questo potrebbe significare che le stringhe vibrano a tutte le frequenze possibili fino a 127, ma soltanto il 5,51% cioè quelle che vibrano con frequenze corrispondenti ai numeri primi naturali (esclusi i quattro numeri primi gemelli), darebbero luogo a quark idonei a formare poi particelle di materia ed energia visibile (elettroni, protoni, neutroni, quindi fermioni e gravitoni, fotoni, gluoni,
±
W e Z0, quindi bosoni), mentre le altre frequenze (il 94,49%) darebbero luogo a quark in grado di formare soltanto assioni (non interagenti, o meglio, pochissimo interagenti con la materia visibile e tra di loro), quindi materia ed energia oscura osservata nella quasi identica proporzione (95% contro il 5%), i cui effetti gravitazionali, ricordiamo, sono osservabili a livello galattico, cioè soltanto su grande scala. Su piccola scala, invece, vi sono soltanto poche evidenze sperimentali e tutto ciò che si conosce è ad un livello puramente teorico. Alcuni ricercatori dell’Università di Trieste hanno affermato: “Gli assioni sembrano formarsi ad un ritmo 1000 volte superiore alle teorie. Se accadesse così anche nelle stelle, queste dovrebbero aver già da tempo consumato la loro energia nella produzione di assioni, ed essere tutte spente”. Forse vi è qualche meccanismo
quantistico che impedisce la formazione di assioni nelle stelle ad un fattore 1000 di crescita, facendola rientrare nella normalità e questo, a sua volta, impedisce la formazione “simmetrica” di anti-materia a causa della “asimmetria” dovuta proprio agli assioni. Essi quindi, nelle loro proporzioni reali (o da noi stimate in precedenza), renderebbero conto sia della presenza di così tanta materia oscura, sia dell’assenza di anti-materia.
È quindi possibile dedurre che ci potrebbe essere una possibile connessione, tramite i numeri primi naturali, tra materia/energia visibile (circa il 5%), materia/energia oscura (circa il 95%), connessa con gli assioni stessi, ed anti-materia, quasi del tutto proibita in natura per la presenza degli assioni. Riepilogando, avremo il seguente schema rappresentativo di quanto finora descritto:
Vibrazioni delle stringhe
Frequenze su Frequenze su altri primi naturali numeri
Materia/Energia Materia/Energia visibile (circa 5%) oscura - Assioni (circa il 95%)
Asimmetria Antimateria (circa 0%)
(prodotta soltanto in laboratorio, con carica elettrica invertita, la cui produzione richiede moltissima energia, che per brevissimo tempo annulla l’effetto negativo degli assioni).
2.1 Connessioni con la Teoria dei Numeri e la Teoria delle Stringhe
Prendiamo adesso i numeri puri 5,51 e 94,49. Vediamo che tali numeri soddisfano le seguenti relazioni contenenti ϕ, Φ e c (costante di Legendre = 1,08366) :
( )
5,50862 5,51 2 1 5 1 3 3 ≅ ≅ + − + c ; (2.1)( )
94,49877 94,49 2 1 2 1 5 1 2 1 5 9 6 ≅ ≅ + − + + + c . (2.2)Tali relazioni, inoltre, sono ottimamente correlate anche con l’identità di Rogers-Ramanujan. Abbiamo infatti, per esempio:
( )
(
)
( )
94,49 2 1 5 1 exp 2 5 3 1 5 ) ( 1 2 1 5 6 0 1/5 4/5 5 9 ≅ + − − + + + + + +∫
c t dt t f t f q R q . (2.3)Per quanto riguarda, invece, la teoria di stringa, dal lavoro di P. Svrcek ed E. Witten “Axions in String Theory”, abbiamo alcune interessanti connessioni.
Ricordiamo che la parte rilevante della lagrangiana 10-dimensionale a bassa energia della stringa eterotica, per l’equazione
∫
(
)
( )
− − Φ ∂ Φ ∂ + − = −Φ 2 2 2 10 2 10 2 3 2 2 / 1 10 2 10 ~ 2 1 4 2 1 F Tr g H R e G x d Shet ν µ µκ
κ
, (2.4) è( )
g l trF F H H l g R g l g F trF H H R g L s s s s s s ∗ ∧ − ∗ ∧ − − = ∗ ∧ − ∗ ∧ − − = 2 2 8 2 4 2 6 10 2 10 2 10 4 2 1 2 1 2 2 8 ' 4 1 2 1 π π π κ α κ κ (2.5)Ricordiamo che R è lo scalare di Ricci, H il campo di forza del campo B 2-forma, ed F la curvatura
8
8 E
E × o SO(32).
Tali equazioni conducono alla seguente azione che concerne il modello degli assioni nell’ambito della teoria di stringa:
( )
∫
+∫
(
∧ − ∧)
∂ ∂ − = d x a a a trF F trR R V l g a S Z s s 2 4 4 2 16 1 2 1 2π
π
µ µ . (2.6)È evidente il nesso tra queste equazioni ed il modello Palumbo-Nardelli descritto precedentemente (vedi eq. (1.2)).
Quindi, anche per quanto concerne la materia/energia oscura e l’antimateria sembrano esistere delle connessioni sia con la Teoria dei Numeri, sia con la Teoria di Stringa.
3. Interazione nucleare debole, Teoria dei Numeri e Teoria di Stringa
La teoria unificata delle forze elettromagnetiche e deboli, la cosiddetta teoria elettrodebole, ha riscosso notevoli successi. Tra le sue predizioni c’era la stessa esistenza dei bosoni vettori intermedi
0
Z e W±, ed alcuni valori piuttosto specifici per le masse di tali particelle (circa 80 e 90 GeV, rispettivamente). I bosoni ±
W e Z0 furono osservati in esperimenti al CERN di Ginevra nel 1983 ed i valori previsti per le loro masse furono confermati con buona precisione, dato che i moderni valori sperimentali sono rispettivamente di 81,4 e 91,2 GeV (circa 81 e 91 GeV)
81=
(
6⋅13+1)
+2=79+2=81; 81 2 162 2 83 79 81= + = = ; 89=(
13⋅6+11)
=78+11=89; 91=7⋅13; 91=89+2; 91=(
8⋅11+3)
=88+3=91;79=(
13⋅6+1)
=78+1=79; 83=(
6⋅14−1) (
= 6⋅7⋅2−1) (
= 21⋅4−1)
=6(
13+1)
−1=83; 91=83+8=83+5+3=91; 91=37+54=34+3+55−1=3+21+13+55−1=91; 89=(
6⋅15−1)
=[
6(
13+2)
−1]
=89; 81=83−2=79+2=81; 7=(
6⋅1+1)
; 13=(
6⋅2+1)
; 91−81=10=2+8=2+5+3.Evidenziamo, inoltre, che 11=1,375⋅8 , dove 1,375 è il fattore medio di crescita delle partizioni. Ricordando la serie di Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….
notiamo che nelle espressioni precedenti troviamo tutti questi numeri. Per quanto concerne i numeri primi abbiamo la seguente serie:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 79, 83, 89 in cui 7, 13 e 79 sono anche numeri primi naturali.
Ora, per i numeri 7, 13 e 79, abbiamo le seguenti espressioni:
7 2 1 5 7 5 2 11 3 2 1 5 2 4 ≅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ; 7 2 1 5 2 1 5 4 4 ≅ − + + 13 2 1 5 7 3 5 2 2 1 5 2 1 5 5 ≅ − ⋅ ⋅ + + + + ; 79 2 1 5 2 1 2 1 5 2 1 5 9 2 ≅ − + + + + .
Queste possono essere ottimamente correlate con l’identità di Rogers-Ramanujan. Abbiamo infatti, per esempio (vedi la seconda espressione):
( )
( )
(
)
7 5 1 exp 2 5 3 1 5 4 1 5 4 0 1/5 4/5 5 4 ≈ − − + + + + +∫
q t dt t f t f q R . (3.1)3.1 Connessioni con la Teoria di Stringa
A 10 elevato alla meno 33 secondi dopo il Big Bang, alla fine dell’era dell’inflazione, la gravità iniziò a rallentare l’espansione dell’universo. La temperatura era di 10 elevato alla 26 gradi Kelvin e la densità del cosmo, anche se stava calando, era ancora sufficiente a far sì che la massa del nostro pianeta non occupasse più del volume di un ditale. Prendiamo il numero puro 33. Esso si scompone
in 33 = 11× 3 ; ma 11 = 1,375 × 8 in cui 1,375 è il fattore medio di crescita delle partizioni. Anche il numero 33 è connesso a
φ
, Φ e “c” dalle seguenti relazioni:
( )
3 3 1 2 1 5 2 ≅ + + c ; (3.2)( )
8 2 1 5 5 2 1 2 1 5 4 ≅ − × + + + c . (3.3) Avremo, quindi:( )
( )
33 2 1 5 5 2 1 2 1 5 375 , 1 3 1 2 1 5 2 4 ≅ − × + + + ⋅ + + c c , (3.4)da cui, per l’identità di Rogers-Ramanujan, si ottiene:
( )
( )
33 ) ( ) ( 5 1 exp 2 5 3 1 5 ) ( 5 2 1 2 1 5 375 , 1 3 1 2 1 5 0 1/5 4/5 5 4 2 ≅ − − + + + × + + + ⋅ + +∫
q ff t t tdt q R c c . (3.5)Nell’istante successivo, chiamato era elettrodebole, apparvero i bosoni H di Higgs, che completarono la separazione delle quattro forze fondamentali, dividendo la forza debole in elettromagnetismo ed interazione nucleare debole. Nel processo, leptoni ed anti-leptoni evolsero in varianti come elettroni e positroni, che sono sensibili all’elettromagnetismo, e neutrini ed anti-neutrini, sensibili all’interazione debole.
L’espressione − ⋅
∫
m∗ n s s s s K c v p d u v h g tπ
τ
ψ
ψ
µ
ψ
βψ
σ σ σ ~ ~ 8 2 2 2 4 2 3 , (3.6)dove pσ è il valore del momento del neutrino, (E. Fermi, 1934) esprime la probabilità che nel tempo t abbia luogo una disintegrazione
β
in cui un elettrone viene emesso nello stato s. Tale probabilità risulta proporzionale al tempo; il coefficiente di t fornisce la probabilità di transizione per il processo indicato (la transizione di cui si parla è quella da neutrone a protone, accompagnata dalla creazione di un elettrone e di un neutrino). Essa risulta: − =
∫
m∗ n s s s s s K c v p d u v h g Pπ
τ
ψ
ψ
µ
ψ
βψ
σ σ σ ~ ~ 8 2 2 2 4 2 3 . (3.7)Secondo la (3.7) Ps dipende dalle autofunzioni un e vm della particella pesante nel nucleo, attraverso all’elemento di matrice ∗
∫
∗= v u dτ
Qmn m n . Questo elemento di matrice ha, nella teoria dei raggi β (quindi nella forza elettrodebole), una funzione analoga a quella dell’elemento di matrice del momento elettrico nella teoria dell’irradiazione.
Con l’espansione ed il raffreddamento, le collisioni diventarono sempre meno energetiche di quanto non fossero state durante l’era dell’inflazione, producendo un numero inferiore di particelle
oltre che meno massicce. L’annullamento fra materia ed anti-materia produsse un gran numero di fotoni, parte dei quali decaddero in coppie di elettroni e positroni.
Un bosone H di Higgs completa, quindi, la separazione delle quattro forze fondamentali quando viene assorbito da un trasportatore della forza elettrodebole. Il risultato dell’interazione è un fotone della forza elettromagnetica ed un bosone vettore intermedio dell’interazione nucleare debole. Un incontro fra un quark ed un elettrone (quindi tra due stringhe fermioniche) durante l’era elettrodebole produce un bosone per ognuna delle quattro forze ( produce quindi stringhe bosoniche). È interessante notare che questo è proprio quello che afferma il modello Palumbo-Nardelli, secondo il quale l’azione di stringa bosonica è uguale all’integrale da zero ad infinito dell’azione di superstringa (contenente anche fermioni). Durante l’era elettrodebole, dunque, è valida l’equazione del modello Palumbo-Nardelli, correlabile all’equazione (3.7) contenente il valore del momento del neutrino (che è un fermione)
−
∫
− −(
)
( )
φ − ∂ φ∂ φ= π µ ν µν ρσ µν νσ µρ g f G G Tr g g G R g x d 2 1 8 1 16 26(
)
( )
⇒ − − Φ ∂ Φ ∂ + − =∫
∫
∞ Φ − 0 2 2 2 10 2 10 2 3 2 2 / 1 10 2 10 ~ 2 1 4 2 1 F Tr g H R e G x d µ µκ
νκ
− ⇒∫
∗ s s s s n m K c v p d u v h gβψ
ψ
µ
ψ
ψ
τ
π
σ σ σ ~ ~ 8 2 2 2 4 2 3 . (3.8)La collisione produce anche un elettrone ed un positrone, un quark ed il suo anti-quark e la coppia originale elettrone-quark. Quando un elettrone ed un positrone si annullano l’un l’altro (quando cioè una coppia di stringhe ed anti-stringhe fermioniche si annullano), si hanno due fotoni di alta energia (quindi due stringhe bosoniche), ognuno dei quali decade prontamente in una coppia elettrone-positrone identica. Questo processo continua fino a quando il livello di energia rimane molto alto, trasformando l’energia del cosmo in materia ed anti-materia.
4. Sulle cancellazioni delle anomalie nella Teoria di Gauge supersimmetrica e nella Teoria di Superstringa con D = 10 e sulle teorie chirali con anomalia libera in 6 dimensioni: connessioni con la Teoria dei Numeri
La seguente azione, per le teorie interagenti, contiene termini bosonici
∫
− − ∂ ∂ − − = − − − µνρ µνρ µνα α µν µ µϕ
κ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
κ
κ
R g F F g H H xe d S 4 2 2 1 2 2 2 2 10 0 2 3 4 1 1 2 1 . (4.1)Il campo di forza di Yang-Mills è definito da
2 2 1 A dA dx dx F F ≡ µν µ∧ ν = + . (4.2)
Il potenziale 1-forma A è una rappresentazione matriciale dell’algebra di gauge α α µ
µ
λ
dx AIl campo di forza H associato con il potenziale 2-forma µ ν µνdx dx B
B= ∧ del multipletto (stato quantizzato multiplo) della supergravità, è definito per il caso di SO(N) o USp(N) attraverso
0 3 0 3Y L dB H = −ω −ω . (4.4) Abbiamo, inoltre, la 12-forma gauge-invariante Ω12 dove n
n TrF
2
4 =
Ω . (4.5)
Inoltre, Ω può essere riespressa nei termini delle rappresentazioni fondamentali di matrici 4n
(
)
2 4 = N+2 trFl Ω ; (4.6a)(
)
4(
2)
2 8 = N+8l trF +3trF Ω ; (4.6b)(
)
6 2 4 12 = N+32l trF +15trF +trF Ω . (4.6c)Il secondo termine nell’equazione (4.6c) può essere espresso come
(
)
(
0 2)
7 4 0 3 4 2 trF d trF d trF trF = ω Y = ω Y , (4.7) dove 0 1 2n+Y ω è definito da 0 1 1 2 + + = n Y n trF dω . (4.8)Similmente, applicando una trasformazione di gauge infinitesimale, è possibile definire 1 2nY ω attraverso 1 2 0 1 2n Y dω nY δω + =− . (4.9)
L’anomalia consistente corrispondente al secondo termine nell’equazione (4.6c) è
∫
+ = 12 4 16 2 3 2 3 1 trF trF c G ω Y ω Y , (4.10)e tale anomalia può essere cancellata aggiungendo l’azione effettiva
∫
+ = 4 30 70 1 3 2 Y Y BtrF c S ω ω . (4.11)Per il gruppo E8, le equazioni (4.6) sono sostituite dalle
2 4 =trF Ω ; (4.12a)
(
2)
2 8 100 1 trF = Ω ; (4.12b)(
2)
3 12 7200 1 trF = Ω . (4.12c)Ciò è importante paragonando le analisi delle anomalie associate per SO(32) ed E8×E8 che per entrambi questi gruppi di gauge
( )
Ω − Ω Ω = Ω12 4 8 4 2 300 1 48 1 . (4.13)Segue, dalle equazioni (4.12) per lo stesso ragionamento di prima che l’anomalia consistente per
8
8 E
E × è data dalla seguente equazione
=
∫
[
211(
1 2)
2+ 122(
2 2)
2]
000 . 108 ' c trF trF G ω Y ω Y , (4.14)ed essa può essere cancellata aggiungendo l’azione effettiva
1=
∫
[
30(
(
1 2) (
2+ 2 2)
2− 1 2 2 2)
− 301 302(
1 2− 2 2)
]
000 . 108 ' c B trF trF trF trF trF trF S ω YωY . (4.15)Adesso, abbiamo la seguente equazione fondamentale
(
2)
3 2 4 6 7560 496 5760 496 8 1 13824 496 32 1 trR n trR trR n trR n − + − + + − + . (4.16)In tale espressione abbiamo incluso i contributi di un gravitino di spin sinistrorso uguale a 3/2, di un campo appartenente al settore della supergravità avente spin destrorso uguale a 1/2 ed n campi appartenenti al settore della materia aventi spin sinistrorsi uguali ad 1/2, che dipendono soltanto dalle dimensioni del gruppo di gauge.
Poiché la dimensione della rappresentazione aggiunta di SO(32) o di E8×E8 è 496, la cancellazione avviene per ciascuno di questi gruppi di gauge. Le anomalie associate con i primi due termini dell’equazione (4.16), possono essere cancellate (ponendo n = 496) aggiungendo all’effettiva azione per SO(32) o E8×E8
∫
(
)
+ + = 4 30 70 2 2 2 12 1 8 1 32 1 L L BtrR trR B c S ω ω . (4.17)L’espressione per la 12-forma che caratterizza le anomalie associate per SO(32) è
2 4+
(
2)
2+ 2 4+(
2)
2 32 5 8 1 8 1 trR trR trF trF trF trR . (4.18)Le 12-forme nelle equazioni (4.7), (4.16) e (4.18) sono date con la relativa normalizzazione corretta. Le anomalie associate possono essere cancellate aggiungendo i termini locali
∫
+ + + + = 2 2 30 30 2 30 30 2 30 70 30 70 3 12 1 3 2 24 1 48 1 8 1 L Y Y L L Y Y L trR trF trF BtrR c S ω ω ω ω ω ω ω ω . (4.19)Data la cancellazione delle anomalie associate al gruppo di gauge SO(32), la possibilità della loro cancellazione nel gruppo di gauge E8×E8 segue dall’equazione (4.13). Precisamente, per E8×E8 si ottiene
(
)
∫
+ + − − + = 2 1 2 30 30 2 30 70 30 30 1 2 30 30 2 2 3 7200 30 5 20 ' c BtrR trF trR trF trF S ω Lω Y ω Yω L ω Yω L ω Lω Y (12) (4.20)Quindi, come prima, l’aggiunta di S1'+S2+S3' all’azione, cancella tutte le “one-loop” anomalie per il gruppo di gauge E8×E8.
Consideriamo adesso la supergravità N = 1 accoppiata alla teoria super Yang-Mills in dieci dimensioni, con un gruppo di gauge G10. I campi chirali che contribuiscono alle anomalie nei diagrammi esagonali a “one-loop” sono un gravitino Majorana-Weyl (M-W) sinistrorso ed uno spinore M-W destrorso proveniente dal multipletto della supergravità, come anche n=dimG10 spinori M-W derivanti dal dal super-multipletto della teoria super Yang-Mills.
Sappiamo che sia la teoria Yang-Mills, sia quella gravitazionale, e per le anomalie associate dovute a questi “loops” (cappi), sono caratterizzate da una 12-forma proporzionale a
12 =− 6+ 4 2− 2
[
4 4+5(
2)
2]
+ 960 1 24 1 15 1 trR trR TrF trR TrF TrF I(
2)
3 2 4 6 7560 496 5760 496 8 1 13824 496 32 1 trR n trR trR n trR n − + − + + − + + . (4.21)Esiste un termine inverso locale che cancella le anomalie ogni volta che l’equazione (4.21) può essere fattorizzata in un espressione della forma
(
2 2)
812 trR kTrF X
I = + , (4.22)
dove X8 è una 8-forma gauge-invariante inerente i campi F ed R.
Adesso indaghiamo quando l’equazione (4.21) si riduce alla forma (4.22). Chiaramente, due condizioni necessarie sono che n=dimG10 =496 e che TrF6 non sia un invariante indipendente di Casimir del sesto ordine di G10. Entrambe queste proprietà sono soddisfatte dai gruppi di gauge
8
8 E
E × ed SO(32) = D16. Nel caso di un singolo E8, abbiamo
4
(
2)
2 100 1 TrF TrF = ; (4.23) 6(
2)
3 7200 1 TrF TrF = . (4.24)Naturalmente, nessuna di queste è valida per E8×E8. Comunque, in questo caso la condizione più debole 6 2 4
(
2)
3 400 . 14 1 48 1 TrF TrF TrF TrF = − , (4.25)è soddisfatta. In particolare, l’equazione (4.25) è anche valida per D16. Sostituendo questa relazione ed n = 496 nell’equazione (4.21), si ottiene un’espressione fattorizzata della forma dell’equazione (4.22) con 30 1 − = k (4.26) e 4
(
2)
2 2 2 4(
2)
2 8 32 1 8 1 240 1 7200 1 24 1 trR trR trR TrF TrF TrF X = − − + + . (4.27)Questo prova la cancellazione di tutte le anomalie, sia per D16, sia per E8×E8. Infine, è facile mostrare che n = 496 e l’equazione (4.25), precisamente con i coefficienti dati, sono condizioni entrambe necessarie e sufficienti per la fattorizzazione dell’equazione (4.21).
Sia dato il seguente campo di forza 3-forma:
H dB 3Y 3L 30 1 ω ω + − = . (4.28)
La richiesta che H sia globalmente “ben definito” fornisce una condizione topologica sulle possibili “compattificazioni” spaziali. In modo specifico, poiché
2 2 30 1 trR TrF dH =− + , (4.29)
è necessario che i campi di background R0, F0 soddisfino la seguente equazione
∫
= − 4 0 30 1 2 0 2 0 M TrF trR (4.30)per qualche sotto-varietà quadridimensionale M4 chiusa dello spazio-tempo 10-dimensionale.
Se i campi non nulli F0 si estendono attraverso un sottogruppo H ⊂G10, allora c’è un’unica sottoalgebra massima G di G10, in cui tutti i generatori commutano con quelli di H, così che
G10 ⊃G×H. (4.31)
La rappresentazione aggiunta di G10 può essere decomposta in una somma di rappresentazioni aggiunta di =
∑
(
)
i i i C L G10 , (4.32)dove Li e Ci sono rappresentazioni irriducibili di G ed H, rispettivamente. In particolare, si ha che
∑
= = i i i C G L dim dim 496 dim 10 . (4.33)Se X è una matrice della rappresentazione aggiunta di G10 che corrisponde ad un generatore del sottogruppo G, essa può essere decomposta come segue
(
i i)
i X
X =⊕ ⊗1 . (4.34a) Similmente, se Y corrisponde ad un generatore di H, abbiamo
(
i i)
i Y
Y =⊕1 ⊗ . (4.34b) Da queste formule risulta evidente che
(
i i)
i X Y YX XY = =⊕ ⊗ (4.35) e(
)
=∑
=0 i i itrY trX XY Tr . (4.36)L’anomalia totale in sei dimensioni è caratterizzata da una 8-forma formale = + +
∑
i i i I n I n I n I 3/2 30/2 1/2 10/2 1/2 1/2 . (4.37) In essa, 0 2 / 3I caratterizza l’anomalia dovuta ad un singolo campo di spin 3/2 sinistrorso, che nel presente caso è un singoletto del gruppo di gauge G. Essa è data dalla seguente equazione
( )
(
)
+ − = 4 2 2 4 0 2 / 3 72 49 288 43 4 1 trR trR Iπ
. (4.38)La 2-forma R è una matrice 6× nella rappresentazione fondamentale dell’algebra SO(5,1). 6 L R
n n
n3/2 = 3/2− 3/2 (4.39)
è il numero preciso dei gravitini sinistrorsi in sei dimensioni. Questo numero è dato dal seguente teorema esponenziale: =
∫
4 2 0 2 2 / 3 48 1 8 1 M trR n π . (4.40) Similmente, 0 2 / 1I è l’anomalia dovuta ad un campo di singoletto di spin 1/2 sinistrorso in sei dimensioni
( )
(
)
+ = 4 2 2 4 0 2 / 1 360 1 288 1 4 1 trR trR Iπ
. (4.41)Il numero preciso di questi campi in sei dimensioni, derivante da un gravitino sinistrorso e da un multipletto di spinore destrorso nella supergravità D = 10, è dato da una combinazione dei teoremi esponenziali dello spin 1/2 e dello spin 3/2 nello spazio interno. Il risultato è
= − =−
∫
4 2 0 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 16 7 8 1 M R L trR n n n π . (4.42)Il contributo di anomalia di un multipletto degli spinori sinistrorsi nella rappresentazione Li di G è
( )
(
)
+ + − = 4 4 2 2 2 2 4 2 / 1 360 dim 288 dim 6 1 3 2 4 1 trR L trR L trR F trL F trL I i i i i iπ
(4.43)e il numero di tali multipletti è dato da un teorema esponenziale dello spin 1/2
= − =
∫
− + 4 2 0 2 0 2 48 dim 2 1 8 1 M i C R i L i i trR C F tr n n n i π . (4.44)Adesso questi risultati possono essere messi insieme per fornire l’espressione completa I dell’equazione (4.37). Combinando le equazioni (4.37 – 4.44), si ottiene
( )
∫
(
)
(
)
+ − − + − = 4 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 4 6 72 11 144 1 3 1 3 4 4 2 1 M trR trR TrF trR trR F TrF F TrF Iπ
− 4 02+ 4 02 + 4 02− 2 2 02 72 1 18 1 6 1 180 1 trR trR TrF trR TrF trR trR TrF trR . (4.45)Per semplificare questa espressione notiamo anzitutto che l’equazione (4.25) applicata ad un’arbitraria combinazione lineare di F ed F0, e l’equazione (4.36) implicano la seguente equazione 2
(
2)
2 0 4 2 0 2 0 2 2 2 0 4 000 . 72 1 720 1 120 1 TrF TrF TrF TrF F TrF TrF F TrF = + − . (4.46)Usando questa e l’equazione (4.30), si ottiene
( )
∫
(
)
(
)
= − − + + − = 4 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 6 12 1 72 1 3 1 1800 1 90 1 4 2 1 M trR trR trR trR TrF F TrF trR trR TrF F TrF TrF Iπ
( )
∫
− − − = 4 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 6 12 1 60 1 3 1 30 1 4 2 1 M trR trR TrF trR F TrF TrF trRπ
, (4.47)che è un’espressione fattorizzata simile all’equazione (4.22) la quale, a sua volta, deriva dalla (4.21).
4.1 Connessioni con la Teoria dei Numeri e con il modello Palumbo-Nardelli.
Andiamo adesso ad analizzare le connessioni matematiche che possono essere ottenute sia con alcuni settori della Teoria dei Numeri, sia con la relazione che è alla base del modello Palumbo-Nardelli.
Prendiamo il numero puro 496. Esso oltre a comparire nelle equazioni (4.16), (4.21) e (4.33) è insito nella teoria di stringa E8×E8 che predice l’esistenza di 496 bosoni di campo.
Anzitutto, vogliamo evidenziare come tale numero possa essere ricavato dalle formule di Ramanujan che consentono di calcolare
π
, direttamente collegate ad equazioni modulari. Abbiamo infatti:(
)(
)
+ + = 2 13 3 5 2 log 130 12π
, (4.48) e + + + = 4 2 7 10 4 2 11 10 log 142 24π
. (4.49)Da cui, otteniamo, dopo alcuni semplici calcoli:
(
)(
)
1 24 2 13 3 5 2 log 576 496 2 2 − ⋅ + + =72 1 4 2 7 10 4 2 11 10 log 2304 496 2 2 − ⋅ + + + =
π
, (4.51) per quanto concerne la (4.49).Notiamo, a parte il numero 496, come in tali equazioni compaiano anche i numeri 24 e 72 = 24× 3. È importantissimo sottolineare come il numero 24 corrisponda alle vibrazioni “fisiche” di una stringa bosonica.
Il numero 496 è anche dato dalla seguente somma che comprende le partizioni: p
( )
19 =490=11⋅44,5455=1,375⋅8⋅44,5455; p( )
4 =5; p( )
1 =1.Ora, p
(
5m+4)
≡0(
mod5)
, per m = 0, abbiamo p( )
4 =5≡0(
mod5)
, perché il numero 5 è divisibile per 5. Inoltre, p(
5m+4)
≡0(
mod5)
, per m = 3, abbiamo p( )
19 =490≡0(
mod5)
, infatti 490 è divisibile per 5. Infine, p(
7m+5)
≡0(
mod7)
, per m = 2, abbiamo( )
19 =490≡0(
mod7)
p , infatti 490 è divisibile anche per 7.
Ora, 5 e 7 sono numeri primi, inoltre essi possono essere espressi anche attraverso le seguenti due relazioni comprendenti sia la sezione aurea, sia il numero (o costante) di Legendre:
( )
7 2 1 5 5 1 24 ≅ − + c , (4.52) e( )
5 2 1 5 47 1 20 ≅ − + c . (4.53)Infine, tali espressioni per l’identità di Rogers-Ramanujan, già in precedenza citata, possono essere scritte:
( )
( )
( )
(
)
5 5 1 exp 2 5 3 1 5 47 1 0 1/5 4/5 5 20 ≅ − − + + + +∫
q ff t t tdt q R c , (4.54)( )
( )
( )
( )
7 5 1 exp 2 5 3 1 5 5 1 0 1/5 4/5 5 24 ≅ − − + + + +∫
q tdt t f t f q R c . (4.55)Andiamo adesso ad analizzare gli esponenti di “c”, quindi i numeri puri, 20 e 24.
Abbiamo che 20 – 1 = 19 = 6×3+1= primo naturale; 24 – 1 = 23 = primo normale; 20 + 1 = 21 = numero di Fibonacci; 8×3=24, con 8 e 3 numeri di Fibonacci.
Poi, 13 + 8 – 1 = 20 e 13 + 13 – 2 = 24, con 1, 2, 8 e 13 numeri di Fibonacci; (20 + 24) / 2 = 22 e p(8) = 22 (cioè 22 è il numero delle partizioni di 8); 20 + 2 = 22 con p(2) = 2; 20 = 15 + 5 con p(7) = 15 e p(4) = 5; 24 = 22 + 2 con p(8) = 22 e p(2) = 2 ed infine, 24 = 15 + 7 + 2 con p(7) = 15, p(5) = 7 e p(2) = 2.
Quindi, ulteriori connessioni sia con i numeri primi normali e naturali, sia con i numeri di Fibonacci ed anche con le partizioni. Le formule (4.54) e (4.55) possono allora essere connesse anche alla fondamentale formula sulle partizioni concepita dal genio S. Ramanujan:
∑
∑
≤ ≤ − − + − − − = N k h k i k h O n n k n dn d e k n p k hn 1 4 1 mod 2 , 24 1 1 3 2 24 1 cosh 2 1 ) (π
ω
π
π , (4.55a)o alla sua variante: ( ) 3 4 ) ( 3 / 2 n e n p n π ≈ per n→∞. (4.55b)
Quindi, il numero 496, corrispondente ai bosoni di campo della teoria di stringa E8×E8, è dato anche dalla somma delle tre partizioni p(19) + p(4) + p(1) = 490 + 5 + 1 = 496. Per la proprietà di congruenza delle partizioni, 490 è divisibile per 5 e per 7, e 5 è divisibile per 5. I numeri 5 e 7, inoltre, sono correlati alla costante di Legendre “c” ed alla sezione aurea, tramite l’identità di Rogers-Ramanujan concernente le frazioni continue di Rogers-Ramanujan.
Riguardo alle equazioni (4.17) e (4.19), inoltre, evidenziamo i seguenti numeri posti a denominatore delle frazioni: 3, 8, 12, 24, 32 e 48. Essi sono tutti, in qualche modo, correlati al numero 24. Difatti 48 è il doppio di 24 e 24 è divisibile per 3, 8 e 12. Riguardo a 32, abbiamo che 32=4×8, e 24 è divisibile sia per 4, sia per 8. Anche i numeri concernenti le equazioni (4.45) e (4.47) sono correlati al numero 24. Abbiamo infatti: 3, 6, 12, 18, 30, 60, 72, 90, 144, 180 e 1800. Notiamo immediatamente che 24 è divisibile per 3, 6 e 12. Riguardo agli altri numeri, abbiamo:
6 3
18= × ; 30=6×5; 60=12×5; 72=3×24; 90=5×3×6; 144=12×12; 180=2×3×6×5. Notiamo subito che in ognuno di tali prodotti vi sono uno o più numeri divisibili per 24.
Quindi, anche le equazioni (4.17), (4.19), (4.45) e (4.47) sono matematicamente correlabili al numero 24, corrispondente, come abbiamo detto precedentemente, alle vibrazioni fisiche di una stringa bosonica. Le stesse equazioni, infine, risultano correlate anche alla relazione del modello Palumbo-Nardelli che fa derivare le stringhe fermioniche (le particelle) da quelle bosoniche (le interazioni, l’energia), che prevede quindi, insieme alla nota equazione di Einstein 2
mc E = , che l’energia possa trasformarsi in materia. Quindi, la relazione fra stringhe bosoniche e stringhe fermioniche, alla base del modello Palumbo-Nardelli, è un perfezionamento ed una generalizzazione della relazione di Einstein che lega l’energia alla massa.
∫
− −(
)
( )
φ
− ∂φ
∂φ
=π
µ ν µν ρσ µν νσ µρ g f G G Tr g g G R g x d 2 1 8 1 16 26(
)
( )
⇒ − − Φ ∂ Φ ∂ + − =∫
∫
∞ Φ − 0 2 2 2 10 2 10 2 3 2 2 / 1 10 2 10 ~ 2 1 4 2 1 F Tr g H R e G x d µ µκ
νκ
( )
∫
(
)
(
)
= − − + + − ⇒ 4 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 6 12 1 72 1 3 1 1800 1 90 1 4 2 1 M trR trR trR trR TrF F TrF trR trR TrF F TrF TrF π( )
⇒ − − − =∫
4 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 6 12 1 60 1 3 1 30 1 4 2 1 M trR trR TrF trR F TrF TrF trRπ
(
)(
)
− ⇒ ⋅ + + ⇒ 1 24 2 13 3 5 2 log 576 2 2π
( )
( )
( )
(
)
5 5 1 exp 2 5 3 1 5 47 1 0 1/5 4/5 5 20 ≅ − − + + + + ⇒∫
q t dt t f t f q R c ,( )
( )
( )
( )
7 5 1 exp 2 5 3 1 5 5 1 0 1/5 4/5 5 24 ≅ − − + + + +∫
q t dt t f t f q R c . (4.56)5. I Quattro Problemi Additivi classici: Soluzioni e Considerazioni
Qualche studioso dei numeri primi si fa delle domande su possibili relazioni tra i problemi additivi (per es. Goldbach) e i problemi moltiplicativi (per es. fattorizzazione). Ne citeremo soltanto due, per poi rispondere con nostre considerazioni e proposte di soluzione.
1) Prof. Peter Atkins, nel suo ottimo e recente libro “Il dito di Galileo - Le dieci grandi idee della scienza” (Raffaello Cortina Editore, 2004) pag. 409:
“ La congettura di Goldbach non è stata ancora dimostrata, a dispetto di molti sforzi. La difficoltà sembrerebbe nascere dal fatto che i primi emergono dal concetto di moltiplicazione, ma vengono invocati qui nel contesto dell’addizione. Ad ogni modo, questa congettura potrebbe esemplificare una caratteristica che tra non molto vedremo salire al centro della ribalta: è pure possibile che non esista alcuna dimostrazione, e nemmeno si dia dimostrazione della sua negazione. Goldbach congetturò pure che ogni numero dispari (nota come ipotesi debole di Goldbach, N.d.A.A.) sia la somma di tre primi.
Questa congettura è stata parzialmente dimostrata nel 1937 (la dimostrazione funziona solo con numeri molto grandi) dal matematico russo Ivan Matveyedich Vinogradov (1891 – 1983).”
