Tema B

(1)

Universit`

a degli Studi di Udine

Anno Accademico 2012/2013

Corso di Laurea in Biotecnologie

Modulo di Matematica

Esame del 29/01/2013

N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Tempo a disposizione: 2.5 ore

1 Se limx→x0f (x) = 0 e limx→x0g(x) = +∞, allora limx→x0

f (x) g(x) `e

A −∞ B +∞ C 0

D non ci sono elementi sufficienti per rispondere

2 Se f `e una funzione derivabile due volte su ]a, b[ con f00(x) < 0 per ogni x ∈]a, b[, allora A f `e crescente in ]a, b[

B f è decrescente in ]a, b[ C f è concava in ]a, b[ D f è convessa in ]a, b[

3 L’equazione differenziale y00= t2_{y − 2y}0_{sen t `}_e

A un’equazione lineare del primo ordine B un’equazione lineare del secondo ordine C un’equazione non lineare del primo ordine D un’equazione non lineare del secondo ordine

4 Il grafico della funzione f (x) = 2 + 3x

2

2x2_{− 1} rappresenta

A una retta B una parabola C un’iperbole

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x

asintoto per x → +∞? Argomentare la risposta.

6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti propriet`a:

lim

x→−∞g(x) = +∞ x→2lim−g(x) = −1 _x→2lim+g(x) = 3 _x→+∞lim g(x) = 0

7 a) Enunciare il Teorema del valore medio di Lagrange;

b) determinare, argomentando, a quale delle tre funzioni f (x) = |x|, g(x) = 3x+1_x−2 , h(x) = ln(x2) `e possibile applicare il teorema nell’intervallo [−1, 1].

8 Data la funzione

g(x) = 3 − 2x x3

a) determinare il dominio D; b) studiare il segno di g;

c) calcolare i limiti agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti;

d) determinare gli intervalli in cui la funzione `e crescente, quelli in cui `e decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto;

e) determinare gli intervalli in cui la funzione `e convessa e quelli in cui `e concava; f) disegnare un grafico approssimativo di g.

9 Dato il problema di Cauchy    y0 = y ln3y(t 2_{+ sen(2t))} y(0) = e

a) dire se la funzione y(t) = e1+3t _`_{e soluzione del problema;}

b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente; oppure,alternativamente

b’) Calcolare i seguenti integrali Z x2− 2 √ x + 5 cos x dx, Z e 1 ln4x 2x dx.

10 Calcolare il polinomio di Taylor di grado 2 della funzione f (x) = sen(3x) nel punto x0 =

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Soluzioni dell’Appello di Matematica per Biotecnologie- 29 gennaio 2013 1

Soluzioni dei quesiti dell’esame del 29 gennaio 2013

1 C; 2 C; 3 B; 4 D; 5 a) consultare il libro di testo; b) si ha limx→+∞ f (x)_x = +∞

quindi f non ammette asintoto, limx→+∞g(x)_x = 0, limx→+∞(g(x) − 0 · x) = +∞ quindi

neppure g ammette asintoto, mentre limx→+∞(h(x) − x) = 0 quindi la retta y = x `e un

asintoto di h a +∞.

6 In neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione `e quindi completato a piacere (linea sottile), per esempio:

x g(x)

3

−1

2

7 a) consultare il libro di testo;

8 a) Il dominio `e D = R \ {0} e la funzione `e ivi continua e derivabile.

b) Il numeratore è positivo quando 3 − 2x ≥ 0 cioè x ≤ 3/2, il denominatore è positivo quando x > 0, quindi g è negativa quando x > 3/2 oppure x < 0, positiva quando 0 < x < 3/2 e si annulla in x = 3/2.

c) Ha senso andare a studiare i limiti in 0 e a ±∞. Si ha lim x→±∞g(x) = limx→±∞ 3/x − 2 x2 = −2 +∞ = 0, lim x→0±g(x) = 3 0± = ±∞, quindi il limite in x0 = 0 non esiste e inoltre la funzione non ammette massimo n´e minimo.

d) La derivata prima `e g0(x) = −2 · x 3_{− (3 − 2x)3x}2 x6 = −2x − (3 − 2x)3 x4 = 4x − 9 x4 .

Il numeratore `e positivo quando x ≥ 9/4, il denominatore `e sempre positivo nel dominio, quindi g0(x)    < 0, se x ∈] − ∞, 0[ ∪ ]0, 9/4[, = 0, se x = 9/4, > 0, se x ∈]9/4, +∞[,

perciò la funzione è decrescente in ] − ∞, 0[ e in ]0, 9/4[, mentre è crescente in ]9/4, +∞[. In x = 9/4 la funzione ha un punto di minimo relativo.

e) Calcoliamo la derivata seconda: g00(x) = 4 · x 4_{− (4x − 9)4x}3 x8 = 4x − (4x − 9)4 x5 = 36 − 12x x5 .

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Il numeratore `e positivo quando x ≤ 3, il denominatore `e positivo se x > 0, quindi g00(x)      > 0, se x ∈ ]0, 3[, = 0, se x = 3, < 0, se x ∈ ] − ∞, 0[ ∪ ]3, +∞[.

In definitiva la funzione `e concava in ] − ∞, 0[ e in ]3, +∞[, convessa in ]0, 3[.

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 x

9 a) Si ha y0(t) = 3e1+3t e sostituendo si ottiene l’equazione 3e1+3t= e

1+3t

ln3(e1+3t₎(t

2_{+ sen(2t))}

che non `e identicamente soddisfatta per t ∈ R (ad esempio, per t = 0 si ottiene 3e 6= 0). La funzione non `e dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y(0) = e.

b) Scrivendo y0 = dy_dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha ln3y

y dy = (t

2_{+ sen(2t)) dt}

e integrando (utilizzando le tabelle) Z ln3y y dy = Z (t2+ sen(2t)) dt =⇒ ln 4_y 4 = t3 3 − cos(2t) 2 + c, dove c `e la generica costante d’integrazione. Quest’ultima equazione `e equivalente a

ln4y = 4t 3 3 − 2 cos(2t) + 4c ⇐⇒ | ln y| = 4 r 4t3 3 − 2 cos(2t) + 4c,

e dovendo essere y(0) = e si avr`a ln y(t) > 0 per t vicino a 0, per cui | ln y| = ln y da cui

y = exp 4 r

4t3

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Soluzioni dell’Appello di Matematica per Biotecnologie- 29 gennaio 2013 3

Imponendo la condizione y(0) = e (nella prima delle tre equazioni qui sopra) si ricava 14 = −2 + 4c che risolta nell’incognita c fornisce c = 3/4. La soluzione `e quindi

y(t) = exp 4 r

4t3

3 − 2 cos(2t) + 3.

Alternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale)

Z y e ln2z z dz = Z t 0 (s2+ sen(2s)) ds =⇒ ln 4_z 4 y e = s 3 3 − cos(2s) 2 t 0 =⇒ ln 4_y 4 − 1 4 = t3 3 − cos(2t) 2 + 1 2 che risolvendo rispetto a y fornisce la soluzione cercata.

b’) Dalla prima tabella si ottiene Z x2− 2 √ x + 5 cos x dx = Z x3/2dx − 2 Z x−1/2dx + 5 Z cos x dx = x 5/2 5/2 − 2 x1/2 1/2 + 5 sen x + c = 2 5x 2√_{x − 4}√_{x + 5 sen x + c,}

con c costante arbitraria. Utilizzando la seconda tabella e il Teorema fondamentale del calcolo si ha Z e 1 ln4x x dx = 1 2 Z e 1 ln4x (ln x)0dx = 1 2 hln5x 5 ie 1= 1 2 1 5 − 0 = 1 10.

10 Si ha f0(x) = 3 cos(3x) e f00(x) = −9 sen(3x) da cui f (π/2) = −1, f0(π/2) = 0, f00(π/2) = 9 perci`o il polinomio di Taylor cercato `e

P (x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + f00(x0) 2 (x − x0) 2 _{= −1 +}9 2(x − π/2) 2_.