Dall’arte alla biologia, dalla matematica alla natura:
le spirali
Alunni: Antonio Cozzetto; Carlo Falco; Daniela Prezioso; Martina Spera
(Classe III B, a. s. 2012 – 2013, Liceo Scientifico “Enzo Siciliano”, Bisignano
CS) .
ARCHIMEDE DA SIRACUSA
Archimede nasce a Siracusa nel 287 a.C. ; il padre, Fidia, era un astronomo e fu lui che trasmise al figlio l’interesse per le scienze. Gli studi di Archimede abbracciano vasti campi della scienza, ma la sua fama resta legata principalmente alle scoperte di geometria e alle di idrostatica. Tra le sue opere più rilevanti ricordiamo “Dell’equilibrio dei piani”, trattato di statica di cui restano solo due libri, e "Sui corpi galleggianti",nel quale pone le basi dell'idrostatica dimostrando il famoso principio ancor oggi legato al suo nome. Gli studi dedicati alla geometria piana sono esposti nelle opere "Sulla misura del cerchio" e "Delle spirali". Nella prima, parte da considerazioni sui poligoni regolari inscritti e circoscritti a un cerchio, ottenuti raddoppiando il numero dei lati di un esagono fino a novantasei per alcune dimostrazioni sul valore del rapporto tra circonferenza e diametro. Nella seconda, descrive numerose proprietà della curva detta appunto spirale di Archimede.
A proposito degli studi sulle spirali, il nostro lavoro si concentrerà su questo argomento che proporremo nelle pagine seguenti. La scelta non è casuale, poiché nell’osservazione dell’ambiente intorno a noi, notiamo che siamo circondati, seppur inconsapevolmente, da oggetti di uso comune che richiamano proprio queste. Grazie alla Prof.ssa Tortorella che ci ha proposto di partecipare al progetto, abbiamo avuto l’opportunità di approfondire e conoscere meglio l’oggetto in questione.
CENNO STORICO
La spirale di Archimede fu scoperta dal grandissimo matematico siracusano ed esposta nel suo trattato "Sulle spirali" indirizzato a Dositeo, matematico di Alessandria. Nell’opera “Sulle spirali” egli fornisce la seguente definizione: “Supponiamo che una (semi)retta ruoti a velocità costante intorno alla sua origine rimanendo nel piano e che un punto partendo dall’origine si muova a velocità costante lungo la retta; allora il punto descriverà una spirale”. Essa è una linea piana di equazione polare r = kα, dove k è una costante. Pur essendo una delle curve più conosciute anche a livello intuitivo, essa ha una rappresentazione cartesiana difficilissima.
Pappo di Alessandria attribuì erroneamente a Conone di Samo, discepolo di Archimede, la scoperta della spirale, poiché il maestro siracusano inviò a Conone, prima della stesura definitiva del trattato, alcuni teoremi intorno alla spirale. Studiosi del calibro di François Viète e Galileo furono attratti dal fascino della spirale. Successivamente Pascal riuscì a risolvere l´arduo compito della rettificazione
Ritratto raffigurante Archimede
della spirale, sostanzialmente riconducendo il problema all´analogo di quello sulla parabola.
Antiche testimonianze della spirale si trovano già in alcuni dipinti minoici risalenti al 1650 a.C., nonostante questi non fossero a conoscenza delle proprietà della curva, la loro rappresentazione è realizzata in modo straordinario.
Apparentemente può sembrare che trovare un esempio di spirale di uso consueto sia difficile, in realtà tutto ciò è molto semplice: infatti essa è presente in molti campi, come in matematica, in arte, in fisica, in biologia e in natura.
IN MATEMATICA …
… si chiama spirale di Archimede la curva di equazione polare ρ= aθ con a costante reale strettamente positiva e θ≥0.
Dalla definizione è evidente che la curva gode della proprietà di avere in ogni punto il raggio vettore ρ proporzionale
all’anomalia θ.
Per ρ=0, θ=0 si ottiene il polo O della spirale.
La lunghezza del raggio vettore OP con P punto della spirale di coordinate polari (ρ,θ) è ρ= aθ, mentre la lunghezza del raggio vettore OP’ con P’ punto della spirale che si ottiene dopo un giro completo sulla spirale partendo da P (facendo aumentare θ) è uguale
a ; ancora, la lunghezza del raggio vettore OP’’ con P’’ punto della spirale che si ottiene dopo un giro completo sulla spirale partendo da P’ ( sempre facendo aumentare θ) è uguale a
Da questi risultati si nota che la distanza tra le singole spire è costante e pari a 2πa. Il risultato più profondo dell’opera Sulle spirali è la seguente Proposizione inerente la spirale archimedea: “L’area limitata dalla prima spira della spirale e dalla semiretta iniziale è uguale a un terzo del primo cerchio.” La prima spira è l’arco di spirale compreso tra il polo O ed il punto A di coordinate polari A= (2πa,2π), mentre la semiretta iniziale è la semiretta OA. Il primo cerchio è il cerchio di raggio OA e quindi l’area limitata dalla prima spira della spirale e dalla semiretta iniziale è uguale a
La dimostrazione è fatta utilizzando il metodo di Esaustione e nell’ultima parte Archimede ricorre alla dimostrazione per assurdo.
Oltre la spirale archimedea, sono presenti altre due tipologie: la spirale logaritmica (definita dal matematico Jakob Bernoulli “meravigliosa”, o generalmente anche equiangolare) e quella aurea. Di queste, però, daremo solo delle brevi definizioni. Per quanto riguarda il primo caso, è possibile definire in coordinate polari (𝜃, r) l’equazione della spirale mirabile:
f (𝜃) = r = ab𝜃 (1)
(oppure r = bk𝜃 , con k costante, kℝ ), essendo a e b due costanti caratteristiche ( a,b ℝ ) con f (𝜃) funzione monotona. La (1) è equivalente alla seguente:
che, esplicitando 𝜃, diviene: 𝜃 (oppure, in analoga forma, 𝜃 √ ) Ecco dunque spiegato l’attributo "logaritmica": l’angolo tra il raggio vettore e l’asse polare è proporzionale al logaritmo della lunghezza del vettore stesso.
Dalla spirale logaritmica si ricava la forma aurea: infatti l'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b: oppure dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitrariamente positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto:
. Perciò, b è dato da
Il numero aureo, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, se è la lunghezza maggiore e quella minore, ; lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza. In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione: . Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:
.
Esempio della spirale logaritmica
IN ARTE …
... Una scoperta recente mostra che mille anni prima di Archimede, la sua spirale veniva già dipinta dai minoici, utilizzata nelle pitture che decoravano palazzi e uffici pubblici. Lo dimostra una pittura ritrovata sull'isola di Santorini. Intorno al 1650 a. C. un'eruzione vulcanica seppellì la città di Akrotiri (sulla costa meridionale dell’isola), dove sono
stati rinvenuti numerosi edifici e oggetti tra cui le famose pitture. Le spirali, del diametro di 32 cm, decoravano un palazzo pubblico, probabilmente un tempio, il cosiddetto Xeste 3.
Altro esempio nell’arte della presenza delle spirali sono le colonne tortili, in uso soprattutto in due
epoche differenti: - l’epoca paleocristiana, come testimoniano le
fonti e i rilievi su alcuni sarcofagi (ad esempio il sarcofago di Giunio Basso). Particolare importanza ebbero le colonne tortili della "pergula" che
copriva la tomba di Pietro nell'antica basilica di San Pietro in Vaticano, che
fecero da modello per numerose altre architetture. Il modello simbolico originario della colonna tortile sembra essere stato quello delle colonne che, secondo la tradizione, avevano adornato il Tempio di Gerusalemme eretto da re Salomone;
- l’epoca romanica, nella quale era utilizzata la colonna tortile talvolta binata, soprattutto nei chiostri di monasteri e conventi, dove spesso arrivano ad "annodarsi"; un tipico esempio si ritrova all’interno della Basilica di San Giovanni in Laterano, dove nel chiostro è presente una serie di colonne in marmo intarsiato, che conferiscono al luogo un senso di grazia e armoniosità.
Antichi dipinti minoici
"Pergula" della tomba di San Pietro
Chiostro della basilica di San Giovanni in Laterano
Le immagini seguenti sono ulteriori esempi della presenza delle colonne tortili nel
corso della storia.
Numerosi artisti hanno utilizzato forme a spirale, dall’impressionista Van Gogh in “Giapponeseria: Orian” e “Notte Stellata” a uno degli esponenti del Liberty, Gustav Klimt, in “L’attesa” o “L’abbraccio”. Anche Leonardo Da Vinci utilizzò questa forma. Tra i sui disegni è stato evidenziato lo studio per la capigliatura di “Leda” (1503-1506 circa),
prezioso poiché manca l’originale dipinto. Esempio di colonna tortile
contemporanea
La colonna, come l'intera struttura del protiro, è stata realizzata dalla
bottega di Giovanni da Campione tra il 1350 e il 1360 circa
Passaggio da una colonna ancora grezza, semplice ad una colonna più elaborata (a spirale)
La “Leda" di Leonardo da Vinci
IN FISICA …
… L’esempio più significativo che ritroviamo è il ciclone; i venti dei cicloni in pieno sviluppo convergono verso il centro a velocità che possono raggiungere i 300 Km/h descrivendo spirali quasi perfette, assumendo forme antiorarie nell’emisfero boreale e orarie in quello australe; sembra che anche le onde dell’oceano nel momento in cui raggiungono la maggior altezza seguono una forma logaritmica. I cicloni sono tra le manifestazioni visibili più affascinanti della meteorologia, come lo sono le galassie per l'Universo, che tra l'altro sono straordinariamente simili: in particolare, esamineremo proprio le galassie a forma di spirale. Le galassie spirali hanno la forma di un disco, con un nucleo globulare più o meno prominente detto bulge (bulbo) e alcune braccia a spirale che si avvolgono
attorno ad esso. Il tutto e' in rotazione attorno all'asse del disco, con una velocità angolare che varia dal centro alla periferia. Le spirali vengono designate con la lettera S, seguita da una lettera (a, b o c) a seconda dell'importanza dei bracci. Nelle spirali di tipo Sa, i bracci sono piuttosto stretti e il nucleo e' preponderante, nelle Sb invece i bracci sono più prominenti e nelle Sc sono ancora più importanti rispetto al nucleo e hanno anche un aspetto più "diffuso". La nostra Galassia e' una spirale di tipo Sb, come M31, la galassia di Andromeda, mentre M33 e' una Sc.
Le galassie spirali sono piuttosto numerose, hanno masse comprese tra 1 e 100 miliardi di volte quella del Sole e diametri di 70.000 anni
luce in media.
Di questo tipo di galassia fanno parte anche le spirali barrate, che si indicano con la notazione Uragano ripreso da un satellite
Varie tipologie di galassie a spirale SB
SB seguita dalle lettere a, b o c. Esse sono identiche alle precedenti, salvo per il fatto che le braccia partono dalle estremità di una barra di stelle e gas che attraversa diametralmente il bulge, anziché direttamente da questo. Le SB rappresentano circa il 30% del totale delle spirali.
IN BIOLOGIA ...
… la spirale più famosa è senza dubbio il DNA: essa rappresenta la molecola che racchiude l’informazione genetica di ciascuno di noi. Come mai viene definita quindi una spirale? Tutto ciò partì dalla biofisica Rosalind Franklin, che grazie ad una tecnica detta “cristallografia a raggi X” è riuscita, per la prima volta nella storia, a fotografare , e quindi a scoprire, la ricercata struttura del DNA, ovvero la famosa “doppia elica biologica”. Grazie poi agli studi condotti anche da Waston e Crick, si è riusciti quindi a definire le caratteristiche uniche di questa molecola:
- è formata da due filamenti polinucleotidici che si avvolgono l’una intorno all’altra in senso orario a formare una doppia elica destrorsa: si può immaginare il modello come una scala a pioli arrotolata in spire;
- il diametro dell’elica è di 2 nm;
- i due filamenti sono antiparalleli, ovvero nonostante l’andatura parallela, le polarità sono continuamente opposte;
-gli scheletri di zucchero e fosfato sono all’esterno della doppia elica mentre le basi sono all’interno;
- le basi dei due filamenti sono unite da legami idrogeno deboli. Adenina con Timina (due legami idrogeno), e Citosina con Guanina (tre legami idrogeno).
IN NATURA …
… Sono davvero molteplici i casi di spirali: possono essere rintracciati sia nella fauna che nella flora. Iniziamo la ricerca esplorando il primo campo.
Hanno a che fare con le spirali degli organismi odiatissimi dalla maggior parte di noi: gli insetti. Esaminiamone una, la mosca: se notiamo meglio i suoi movimenti, vedremo che sono “inspiegabilmente attratti” dalle lampade poiché ruotano
Ricostruzione del DNA
continuamente intorno ad esse, descrivendo una traiettoria che assume la forma di una spirale, andando infine a sbattere contro l’oggetto in questione. In realtà, succede che la maggior parte degli insetti, si “orienta” nello spazio in base alla posizione del sole (o della luna), mantenendo un angolo fisso rispetto ai raggi di luce: la velocità del moto dell’insetto dipende da tale angolo. Per questo, essendo il sole un riferimento decisamente lontano, essi negli spazi aperti si muovono liberamente secondo traiettorie rettilinee. Tuttavia nel momento in cui l’insetto assume come riferimento la luce della lampada, molto vicina, seguendo un angolo constante piccolo (in questo caso secondo una spirale equiangolare) si avvicina sempre di più all’oggetto ed entra in contatto con la lampada.
Un altro animale che sfrutta le proprietà della spirale è il falco pellegrino; furono condotti lunghi e numerosi studi per spiegare la sua agilità e velocità nel catturare le prede, finché il biologo Vance A. Tuker riuscì nell’impresa. Il ricercatore si poneva una domanda in particolare: come mai il falco nel piombare su una preda non sceglieva mai una traiettoria rettilinea, più breve e più veloce, ma conduceva una traiettoria “spiralizzante”? Nel 2000 ha dimostrato che l’animale in picchiata segue una spirale logaritmica, poiché gli occhi del falco guardano lateralmente l’uccello, e facendo
ciò dovrebbe ruotare la testa per vedere la preda; tale assetto, però, peggiorerebbe la sua aerodinamica: così l’animale tiene la testa dritta seguendo una spirale mirabile in modo da non perdere di vista la preda e al tempo stesso massimizzare la velocità. Altri animali
presentano
delle caratteristiche davvero sorprendenti: esiste il camaleonte, che possiede una particolare coda raccolta in una meravigliosa spirale, come anche quella dello spettacolare cavalluccio marino; ritroviamo la forma geometrica in questione anche nel nyala, un antilope sudafricana, il quale possiede delle speciali corna a spirale, caratteristica che però appartiene solo al maschio della specie; allo stesso modo, rinveniamo Traiettoria assunta da un falco pellegrino in
attacco
A sinistra, cavalluccio marino; a destra, camaleonte: da notare la particolare coda raccolta in una spirale
A sinistra, nyala; a destra, ariete: anche qui da notare le prominenti corna che assumono una forma spiralizzante
queste anche nell’ariete. Insomma, è davvero lunga la lista degli animali con queste particolari caratteristiche. Una domanda però ora ce la poniamo noi stessi: qual è il motivo che spinge le corna, le code, e chi più ne ha più ne metta, a crescere in questo determinato modo? Per rendere più comprensibile la risposta, rintracciamo questa in esemplari come i gasteropodi, ovvero molluschi come lumache e chiocciole, o anche nelle ammoniti, nei nautilus, come pure nei foraminiferi: tutti questi organismi hanno in comune una caratteristica, cioè le particolari e spiralizzanti conchiglie. Queste
strutture crescono secondo una crescita per addizione (accumulazione interna) e una crescita isometrica (un semplice ingrandimento) aumentando il passo della spirale; in questo modo non è necessario correggere alcun equilibrio. Per quando riguarda la fauna, ricordiamo un ultimo caso; la spirale archimedea si ritrova anche nello schema della tela del ragno: l’avvolgimento che unisce i raggi principali di una ragnatela è, appunto, una spirale archimedea. I ragni tessono anzitutto la struttura portante e poi, partendo dal centro, ricoprono i fili con una spirale, mantenendo sempre la stessa distanza tra una spira e la successiva. La spirale archimedea rappresenta il metodo più rapido e regolare di copertura, mentre quella logaritmica lascerebbe delle maglie sempre più larghe man mano che ci si sposta dal centro, rendendo la rete non adatta a trattenere piccoli insetti volanti.
Dopo aver esaminato le spirali nel mondo degli animali, ora passiamo ad osservare queste nell’ambito floreale. In questo campo, le spirali presenti più evidenti sono quelle logaritmiche e quelle auree: ad esempio, nei girasoli, i semi sono disposti secondo due gruppi di spirali logaritmiche. Gli elementi di infiorescenza del fiore crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio circolare
al centro del fiore. Il numero delle spirali ,in senso orario e in senso antiorario, dipende dalle dimensioni del fiore ed è correlato alla serie numerica di Fibonacci: 34/21; 55/34
Spaccato interno del nautilus
Tela del ragno messa in evidenza da gocce d'acqua
Disposizione particolare dei semi di girasole: da notare l'esatta sequenza numerica di Fibonacci
Anche la pigna e alcune piante grasse seguono la serie numerica di Fibonacci
89/55, 144/89 e 233/144. Anche nella pigna le squame sono disposte lungo linee a spirali allo stesso modo alcuni cactus (in particolare la famiglia Cactacee) e alcune piante rampicanti, ma anche l’ananas (5, 8, 13 o 21 spirali) e il cavolfiore hanno strutture simili.
ALTRE RAMMIFICAZIONI
Le metafore usate nel linguaggio comune di spirale del vizio o della follia ci mostrano come in questa curva il movimento si possa trasformare da un’espansione ad una contrazione continua che ipnoticamente fa precipitare nel centro. Per questo motivo l’immagine di questa può essere utilizzata da ipnotizzante.
La spirale è un simbolo molto antico che racchiude più significati, espansione, sviluppo, crescita. Rappresenta il sole nel suo movimento del cielo se a partire dal centro si svolge da sinistra verso destra, ma se il suo moto procede dal centro verso sinistra è connessa all'acqua che scorre e fluisce dal sottosuolo verso la superficie. In questo caso la spirale simboleggia il potere della Terra in quanto Dea della vita, colei che guida le tribù a spostarsi nel territorio. La spirale rappresenta anche la strada da seguire per entrare in se stessi e trovare la luce interiore, ma può anche simboleggiare il sentiero che lo spirito deve percorrere per giungere agli dèi celesti.
Nelle ricerche svolte per l’elaborazione di questo progetto, abbiamo rilevato come dei semplici oggetti quotidiani richiamino le spirali di Archimede, ad esempio:
Forma a spirale del cavolfiore
Nei giorni che ci hanno portato al compimento di questo lavoro, il nostro percorso ha visto raggiungere diverse tappe, biologia, arte, matematica, simbologia. E come in questa ultima tappa abbiamo appreso che la spirale è segno di espansione, crescita, sviluppo, la realizzazione di questo
elaborato ci ha portato proprio a crescere, a nutrire la nostra conoscenza, ed alimentare il nostro desiderio di scoperta. Abbiamo cercato con l’originalità dei contenuti per coinvolgere il lettore, per incuriosirlo e persino sorprenderlo con informazioni di cui non era ancora a conoscenza. SITOGRAFIA http://www.metaforum.it/archivio/2006/index7741.html?t8364.html http://it.wikipedia.org/wiki/Colonna_tortile http://www.spiralifrattali.altervista.org/spirali.htm http://www.centrometeo.com/articoli-reportage-approfondimenti/fisica-atmosferica/4302-cicloni-tropicali-uragani.html http://www.miorelli.net/frattali/natura.html http://www.frattali.it/spirale.htm http://beadsandtricks.blogspot.it/2010/06/della-spirale-matematica-natura-arte-e.html http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf http://archive.oapd.inaf.it/MOSTRA/NEW/A5002SPI.HTM http://www.spiralifrattali.altervista.org/images/spirale_aurea.htm http://www.spiralifrattali.altervista.org/logaritmica.htm http://www.archweb.it/geometrie/spirale_aurea.htm http://it.wikipedia.org/wiki/Spirale_aurea
“Il libro della natura è stato scritto con le forme della geometria”
-Galileo Galilei
Per terminare, ecco a voi una poesia che è nata durante la creazione del progetto;
Dopo giorni di lungo lavoro
Abbiamo trovato un grande tesoro Archimede, brillante scopritore
Con le spirali fu in tutti i campi il migliore
Dall’arte alla biologia, dalla matematica alla natura Le spirali, ancora oggi, sono un simbolo dell’architettura La sua più grande bravura è stata quella di variare È questo il messaggio che vi vogliamo lasciare
La spirale è segno di crescita e di espansione E se ci si fa attenzione
La spirale è un’icona
Di chiunque percorra un nuovo sentiero che lo condurrà a trovare la sua vera persona.
