- &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Ottavio Caligaris - I Numeri di Fibonacci e la Sezione Aurea.

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I numeri di Fibonacci

e

la Sezione Aurea

http://web.inge.unige.it/SMA/Sv/FIB16.pdf

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Fibonacci

Leonardo da Pisa detto Fibonacci cioè

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Fibonacci

Nacque a Pisa attorno al 1170 Morì a Pisa attorno al 1250

Fu educato in Nord Africa da precettori mussulmani Ebbe modo di conoscere ed apprezzare il sistema di

numerazione indo-arabica che introdusse per primo in Europa. Le sue opere maggiori sono

Liber Abaci (1202)

Practica Geometriae (1220) Liber Quadratorum (1225)

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Fibonacci

Quante coppie di conigli verranno

prodotte in un anno a partire da

un’unica coppia, se ogni mese

ciascuna coppia genera una nuova

coppia che diventa produttiva a partire

dal suo secondo mese di vita?

( Liber Abaci 1202 )

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Fibonacci

Il numero fn di conigli al mese n è dato da

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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La successione di Fibonacci

La successione fn fu chiamata successione di Fibonacci da

François Édouard Anatole

Lucas

nato ad Amiens il 4 Aprile 1842 morto a Parigi il 3 Ottobre 1891

La successione di Fibonacci è identificata da

8 > > > < > > > f1= 1 f2= 1 f = f + f n – 2 (1)

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La successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci può essere espressa mediante la

fn = 1 p 5 0 @ 0 @ 1 +p5 2 1 A n ` 0 @ 1 `p5 2 1 A n1 A dove 1 +p5 2

è il Rapporto Aureo e si indica solitamente con la lettera ’ oppure con la lettera fi

’ = 1 +

p 5 2

Il Rapporto aureo risolve il problema di dividere un segmento in due parti di cui la maggiore è media proporzionale tra la minore ed l’intero segmento

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La Sezione Aurea

Problema: Dividere il segmento AB in due parti AT e TB delle quali una sia media proporzionale tra l’altra ed il segmento intero.

A T B Deve essere AB TB = TB AT AT + TB TB = TB AT AT + 1 = TB

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La Sezione Aurea Se chiamiamo ’ = TB AT avremo ’ = 1 + 1 ’ da cui ’ = 1 ˚ p 5 2 = 8 < : 1:618033987:::: `0:618033987:::: e ’ = 1 + p 5 2 = 1:618033987

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La Sezione Aurea

Se consideriamo la successione Rn=

fn

fn`1

dei rapporti tra due numeri di Fibonacci successivi, possiamo osservare che il suo andamento è del tipo

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La Sezione Aurea

Costruzione Geometrica della sezione aurea

γ

a+b

a

=

a

b

a = 1

a + b = ϕ

a a a + b b

(13)

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(16)

(17)

(18)

(19)

La Sezione Aurea

γ

a+b

a

=

a

b

a = 1

a + b = ϕ

a a a + b b

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Costruzione del pentagono regolare 1/2 0 0 _{(1 +}q (5))/2 1 0

(21)

Costruzione del pentagono regolare

1/2 1

(22)

1/2 1

(23)

1/2 1

0

0 _{(1 +}q

(24)

Costruzione del pentagono regolare 1/2 0 0 _{(1 +}q (5))/2 1

(25)

Costruzione del pentagono regolare 1/2 0 0 _{(1 +}q (5))/2 1

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(28)

(29)

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Numeri di Fibonacci e Natura

I semi del girasole sono disposti secondo uno schema che rispetta proporzioni indicate dalla successione di Fibonacci.

È possibile identificare spirali orarie e spirali antiorarie disegnate dalla disposizione dei semi.

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Il numero di spirali orarie ed antiorarie sono coppie di numeri di Fibonacci successivi.

Si osservano 34 e 55 ma anche 89 e 144 spirali Nel 1951 The Scientific Monthly pubblicò la notizia dell’osservazione di un girasole con 144 e 233 spirali.

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Si possono trovare coppie di numeri di Fibonacci successivi in molti altri casi

(33)

(34)

(35)

Nelle piante le foglie sono disposte lungo il fusto secondo una spirale.

ad esempio

N 1 1 2 3 5

T 2 3 5 8 13

T il numero di giri bisogna fare

attorno al fusto di una pianta per trovare due foglie sovrapposte

N numero di foglie che si

incontrano prima di trovare due foglie sovrapposte

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Qualche proprietà della successione di

Fibonacci

La successione di Fibonacci è caratterizzata dalla relazione di ricorrenza

fn+1 = fn+ fn`1

Dividendo per fn si ricava

fn+1 fn = 1 + fn`1 fn Posto Rn+1= fn+1 fn Rn = fn fn`1 si ha Rn+1= 1 + 1

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Per n abbastanza grande

Rn ! ’ e ’ = 1 + 1 ’ da cui ’2 = ’ + 1 ’2` ’ ` 1 = 0 ’ = 1 ˚ p 5 2 e ’ = 1 + p 5 2 = 1:618033987:::: > 1

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La successione di Fibonacci soddisfa molte identità tra cui

n X k =1 fk = f1+ f2+ f3+ : : : fn = fn+2` 1 (*) n X k =1 f2k `1 = f2n (*) n X k =1 f_k2 = fnfn+1 (*) fn`1fn+1` fn2 = (`1) n _{(Identità di Cassini)}

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Scomporre e Ricomporre

Consideriamo il quadrato di lato 21 scomposto come in figura.

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E ricomponiamo le parti come segue ottenendo un rettangolo di lati 13 e 34

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Ma

21

2

= 441 6= 442 = 13 ˆ 34

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L’identità di Cassini

fn`1fn+1` fn2= (`1) n

consente di costruire un puzzle che si puó scomporre e ricomporre perdendo o guadagnando una unità di area come mostra la seguente figura

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fn`1fn+1` fn2= (`1) n

La differenza di una unità è più evidente per numeri di Fibonacci più piccoli.

(44)

Numeri di Fibonacci ed arte

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(48)

Numeri di Fibonacci ed arte

Il corpo umano viene

rappresentato con proporzioni auree.

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La spirale logaritmica

Si definisce spirale logaritmica una curva descritta nel piano da un punto P tale che

Il raggio vettore OP ed

il vettore tangente alla

curva PT formino un

angolo fissato ¸

O P T α α P T α P T

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L’equazione

(„) = ke

(„ cot ¸)

descrive le proprietá geometriche della spirale logaritmica O P T α θ ρ(θ)

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La spirale aurea è una spirale logaritmica che per „ = ı=2  vale ffi.

Ha equazione

(„) = eb„ dove b = 2 ln(ffi)_ı = cot(¸) per cui ¸ ı 72:9‹ Se

1= eb ¯„ ; 2eb( ¯„+ı=2) 3eb( ¯„+ı)

si ha

13= 22

e 1 é medio proporzionale tra 1 e 3.

Inoltre 3 2 = 2 1 = ffi

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La spirale logaritmica ρ1 ρ2 ρ3 ρ1 ρ2 ρ3

Pertanto il rettangolo avente lati 1+ 3 e 2 è aureo così

come i rettangoli aventi lati 1 , 2 e 2 , 3

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La spirale di Fibonacci

Consideriamo ora due

quadrati di lato 1 sovrapposti e tracciamo due quarti di circonferenza in essi inscritti

(54)

Affianchiamo alla loro

sinistra un quadrato di lato 2 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta

(55)

Aggiungiamo sotto alla figura ottenuta un quadrato di lato 3 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta

(56)

Aggiungiamo a destra della figura ottenuta un quadrato di lato 5 e tracciamo un quarto di circonferenza in esso inscritta

(57)

Aggiungiamo a sinistra un quadrato di lato 8 e tracciamo un quarto di

(58)

Aggiungiamo a sinistra un quadrato di lato 13 e tracciamo un quarto di

circonferenza in esso inscritta Proseguiamo con un arco di circonferenza di raggio 21

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La curva ottenuta si chiama spirale di Fibonacci ha evidenti connessioni con la sezione aurea. e compare molto spesso in natura.

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Nautilus è un genere di molluschi cefalopodi tetrabranchiati, considerato estinto in seguito ai ritrovamenti fossili risalenti al Paleozoico, che è stato osservato per la prima volta in vita solamente nel 1829, pertanto è classificato come fossile vivente, per quanto la sua conchiglia, proveniente dai commerci con le Indie orientali, fosse ben nota ed usata in oreficeria già nel secolo XVII.

Il nautilus si presenta come una grossa conchiglia (anche oltre i 20 cm di diametro a sezione di spirale logaritmica) con l’apertura rivolta verso l’alto in cui vive un corpo molle con una grossa testa La conchiglia ha una superficie liscia e bianca con screziature rosso arancio, è sottile e liscia, avvolta dorsalmente su uno stesso piano . Altre specie presentano una conchiglia madreperlacea o di colore bianco brillante.

Il nicchio è concamerato, presenta cioè un canale che collega i vari compartimenti e permette al gas azotato ivi contenuto di passare attraverso i setti trasversali che delimitano le camere, favorendo il galleggiamento dell’animale, nella sua tipica posizione verticale, tramite opportune regolazioni di pressione. I setti, inoltre, sostengono strutturalmente la conchiglia quando l’animale si immerge a grandi profondità ed è sottoposto a pressioni notevoli. Il nautilus, intervenendo sulle varie percentuali di liquido e gas nei vari setti, effettua una grande escursione batimetrica (di profondità) tra il giorno (dove si sposta a profondità di 500 metri) e la notte (dove si avvicina alla superficie dell’oceano).

All’interno del nicchio sono presenti circa 34-36 zone divise da pareti di madreperla, chiamate setti, che aumentano di numero con l’aumentare dell’età: sono le camere che il corpo dell’animale occupa a mano a mano che aumenta di dimensione. Solo l’ultimo e più esterno dei setti è occupato costantemente dalle parti molli dell’organismo, dotato di circa 90 tentacoli privi di ventose, di un becco corneo, una radula ed un imbuto ottenuto dalla modificazione del tubo.

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La spirale di Fibonacci e la spirale aurea sono simili ma non coincidenti.

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I solidi Platonici

Trai solidi Platonici il dodecaedro e l’icosaedro sono identificati da una terna di rettangoli mutuamente ortogonali di proporzioni auree.

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I solidi Platonici

http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/intro.htm http://www.scienzainrete.it/contenuto/articolo/numeri-della-natura https://it.wikipedia.org/wiki/Nautilus_%28mollusco%29