Materiali e Risorse

(1)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 11/10/2016)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di laurea in Ingegneria Meccanica & Gestionale (A–D)

Esercizio 1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni:

a) f (x) = ln ln x + 2 ln2x − 1 · 4 r x 5x/(x−1)_{− 5} + sinp|x2_{+ 5x − 1|} 3x_{+ 5} · x 2_{+ 1}π b) f (x) = 1 − 4 sin 2_xe ln (3x_{+ 2)} · √ cos x + arctan (x 2_{− 1)} cosh x Esercizio 2

Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:

z = i√3 + i3(1 − i)2

Esercizio 3

Determinare i numeri complessi z che soddisfano la seguente equazione:

(2)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 18/11/2016)

Esercizio 1

Calcolare (senza usare la regola di de l’Hˆopital) i seguenti limiti di funzioni:

a) lim x→0 2ln2(1+x)− 2x tan x b) lim x→0 sin x 1 − ex c) lim x→π/2 ln (sin x) cos x Esercizio 2

a) Studiare la seguente funzione e tracciarne un grafico qualitativo:

f (x) = 3 r

1 x2_{− 1}

b) Classificare i punti di discontinuit`a della seguente funzione:

f (x) = arctan x

2 _{− 4}

x2 _{− 1}

(3)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia A

(Dated: 15/12/2016)

Esercizio 1

Calcolare:

a) una primitiva della funzione f (x) = 1 (x2_{− 1)}2

b) una primitiva della funzione f (x) = x cos2_x

c) l’area del trapezoide di f (x) = √ x

x + 1 sull’intervallo −1 2, 1 2 Esercizio 2

Studiare il comportamento della seguente serie numerica

∞ X k=3 k arcsin 7 k2

(4)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia B

(Dated: 15/12/2016)

Esercizio 1

Calcolare:

a) una primitiva della funzione f (x) = x

4_{+ 1}

x3_{− x}2_{+ x − 1}

b) una primitiva della funzione f (x) = x√1 − x2_{arcsin x}

c) l’area del trapezoide di f (x) = √cos x + 1 sull’intervallo h−π 2,

π 2 i

Esercizio 2

∞

X

k=1

k 1 + k2k

(5)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia C

(Dated: 15/12/2016)

Esercizio 1

Calcolare:

a) una primitiva della funzione f (x) = x + 1 2x2_{+ 3x + 2}

b) una primitiva della funzione f (x) = √ x 1 − x2e

arcsin x

c) l’area della regione di piano compresa tra le funzioni f (x) = cos x e g (x) = sin x nell’intervallo [0, 2π]

Esercizio 2

∞

X

k=1

ln (k + 2) k3

(6)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia D

(Dated: 15/12/2016)

Esercizio 1

Calcolare:

a) una primitiva della funzione f (x) =√x2_{+ 2x}

b) una primitiva della funzione f (x) = x

2

x4_{− 1}

c) l’area della regione di piano compresa tra le funzioni f (x) = −2x2_{+ 5x + 1 e}

g (x) = |7x − 11|

Esercizio 2

∞ X k=1 √_k k − 1 k

(7)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia A

(Dated: 16/10/2017)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di laurea in Ingegneria Gestionale & Meccanica

Classe 1 (A–D)

Esercizio 1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni: a) f (x) = (3 2x_{− 3}x+1_{− 4)} √ 2 +√arctan x 4 √ x2_{sin x} + x 2_{+ 1}cosh x b) f (x) = ln (|x 2_{− 1| − 1) · arcsin (|x + 1|)} 1 +p|x| +

sett sinh √sin x + 1 √ sin2x + 2 cos2_x · ln x2− 4x + 3 Esercizio 2

a) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso z = (1 + i)

2

(1 − i)3 2i 1 + i√32 b) Determinare i numeri complessi z che soddisfano l’equazione z6− 2z3_{+ 2 = 0}

(8)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia B

(Dated: 16/10/2017)

Classe 1 (A–D)

Esercizio 1

a) f (x) = q 4 − log2_1/2x (22x_{− 3 · 2}x_{− 4)}π + 4 ptanh x · |cos x| (x2_{+ 2)}sinh x b) f (x) = 8 q√ 3 − 3sin x_· 4 q 2cos x₋√_{2 +} √ sett cosh x 3 p|x + 1| + 1· e x2₊₂ Esercizio 2

a) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso z = i √

3 − 12 −1 − i√33 4i (i − 1)3

(9)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia C

(Dated: 16/10/2017)

Classe 1 (A–D)

Esercizio 1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni: a) f (x) = (6 2x_{+ 6}x+1_{− 16)}π ₊√_{x · arc cot x} 8 √ x2_{cos x} + x4+√2 sinh x b) f (x) = ln (|x 2_{− 5x + 4| − 4) · arccos (|x + 2|)} 1 +p|x + 1| +

sett cosh √cos2_{x + 1 · ln (|x}2_{− 3x − 4|)}

√

2 sin2x + cos2_x

Esercizio 2

a) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso z = 2i 1 + i √

33 (1 + i)3(1 − i)2 b) Determinare i numeri complessi z che soddisfano l’equazione z8− 2z4_{+ 2 = 0}

(10)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia D

(Dated: 16/10/2017)

Classe 1 (A–D)

Esercizio 1

a) f (x) = q 9 − log2_1/3x (52x_{− 24 · 5}x_{− 25)}e + 6 psinh x · |sin x| (|x| + 1)tanh x b) f (x) = 6 q√ 7 − 7cos x _· q

5sin x₋√_{5 +} psett sinh (x − 2)

3

p|x − 1| + 1 · e

2x+5

Esercizio 2

a) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso z = 4i (i − 1)

2

i√3 − 13 −1 − i√32 b) Determinare i numeri complessi z che soddisfano l’equazione z8_{+ 2z}4_{+ 2 = 0}

(11)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia A

(Dated: 20/11/2017)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di laurea in Ingegneria Gestionale & Meccanica (A–D)

Esercizio 1

Calcolare (senza usare la regola di de l’Hˆopital) i seguenti limiti di funzioni: a) lim

x→0

ex·sin x_{− 1 arcsin (1 − cos x)}

4 √ 1 + 3x4_{− 1} b) lim x→∞ 3x + tanh x 2x2_{+ 1} ln e 2x_{− 5e}x_{+ 3} e3x_{+ e}2x_{+ 1} c) lim x→∞ x √ x2_{+ x + 1 −}√_x2_{+ x} Esercizio 2 Assegnata la funzione f (x) = ln 1 − x + x2 − x determinare:

a) gli intervalli di crescenza e decrescenza;

b) gli eventuali punti di minimo e massimo relativo; c) gli eventuali punti di minimo e massimo assoluto;

(12)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia B

(Dated: 20/11/2017)

Esercizio 1

Calcolare (senza usare la regola di de l’Hˆopital) i seguenti limiti di funzioni: a) lim x→0 1 − cos x2 (ex tan x_{− 1) arcsin} √_{1 + 2x}2_{− 1} b) lim x→−∞ 2x − 3 arctan x x2_{+ 4} ln√4 1 + ex_{− 1} c) lim x→π₂− √ tan x + 3 −√tan x + 1 Esercizio 2 Assegnata la funzione f (x) = ln 3 + 3x + x2 + x determinare:

b) gli eventuali punti di minimo e massimo relativo; c) gli eventuali punti di minimo e massimo assoluto;

(13)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia C

(Dated: 20/11/2017)

Esercizio 1

a) lim x→0+ q 1 − (1 − x2₎2_{ln (1 + 2 sin x) tan 2x} sin3x b) lim x→0 sin x + 2 cos x + 1 x2_{+ sin}3_x x3_{+ 2x}4 c) lim x→∞ √ x2_{+ 3x + 1 − x} Esercizio 2 Assegnata la funzione f (x) = ln 3 + 3x + x2 − x determinare:

b) gli eventuali punti di minimo e massimo relativo; c) gli eventuali punti di minimo e massimo assoluto; d) gli eventuali asintoti.

(14)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia D

(Dated: 20/11/2017)

Esercizio 1

a) lim x→0− q 1 − (1 − x2₎2_{ln (1 + 2 tan x) sin 2x} sinh3x b) lim x→0 5x_{+ 1} x2_{+ 2} x + 1 x c) lim x→∞ √ x2_{− 2x + 5 − x} Esercizio 2 Assegnata la funzione f (x) = ln 1 − x + x2 + x determinare:

b) gli eventuali punti di minimo e massimo relativo; c) gli eventuali punti di minimo e massimo assoluto; d) gli eventuali asintoti.

(15)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia A

(Dated: 18/12/2017)

Esercizio 1

a) determinare tutte le primitive della funzione f (x) = 1

1 + sin x + cos x

b) calcolare l’area del trapezoide della funzione f (x) = 1 − ln x

relativo all’intervallo [1; 2e]

c) calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle curve y = −x2_{+ 2x e y = −x}

Esercizio 2

Stabilire il carattere della seguente serie numerica

∞ X n=1 2n n − 1 n n2

(16)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia B

(Dated: 18/12/2017)

Esercizio 1

a) determinare tutte le primitive della funzione f (x) = 1

5 − 3 cos x

b) calcolare l’area del trapezoide della funzione f (x) = x ln x

relativo all’intervallo 1 e; e

c) calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle curve y = |x − 1| e y = x

2

Esercizio 2

∞ X n=1 1 2n n + 1 n n2

(17)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia C

(Dated: 18/12/2017)

Esercizio 1

a) determinare tutte le primitive della funzione f (x) = x − 2

x3_{+ x}2_{− 2x}

b) calcolare l’area del trapezoide della funzione f (x) = xex

relativo all’intervallo [−1; 1]

c) calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle curve y = |x| e y = x2

Esercizio 2

∞

X

n=1

n! 2n nn

(18)

Prova intercorso di Matematica I – Traccia D

(Dated: 18/12/2017)

Esercizio 1

a) determinare tutte le primitive della funzione f (x) = x

2_{− 3x + 3}

x3_{− 2x}2_{+ x}

b) calcolare l’area del trapezoide della funzione f (x) = cos x · esin x relativo all’intervallo π 6; 5π 6

c) calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle curve y = |x + 1| e y = 3

8x + 3 4

Esercizio 2

∞

X

n=1

nn2

(19)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 12/10/2018)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di laurea in Ingegneria Meccanica & Gestionale (Classe 1)

Esercizio 1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni: 1. f (x) =(18 arctan 2_{x − 9π arctan x + π}2₎−π₊√4 24 arctan2_{x − 10π arctan x + π}2 (x2_{+ 3x + 2)}π_{ln [1 + cosh (x}2_{− 5x + 6)]} + ln 2x+ 3 5x_{+ |sin x|} · tanh x3+ 1 2. f (x) = log_π 2 sin x − 1 2 sin x −√2 +√6 16πx − 16x2_{− 3π}2_{· sett cosh x}2 Esercizio 2

1. Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:

z = 4i (−1 − i)

3

i −√35

2. Determinare i numeri complessi z che soddisfano la seguente equazione:

(20)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 16/11/2018)

Esercizio 1

Calcolare (senza usare la regola di de l’Hˆopital) i seguenti limiti di funzioni: a) lim x→1 x 1 1−x b) lim x→0 tan4x ·√1 + x4 1 − 2 cos x + cos2_x c) lim x→0+ 1 − (1 − 7x)ln x (e2x_{− 1) ln x}3 Esercizio 2 Assegnata la funzione f (x) = arctan |x 2_{− 2x|} x − 1 classificare:

a) gli eventuali punti di discontinuit`a della funzione; b) gli eventuali punti di discontinuit`a della derivata prima;

(21)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 20/12/2018)

Esercizio 1

a) Determinare una primitiva della funzione f (x) = x

2

(1 + x2₎2

b) Determinare una primitiva della funzione f (x) =√3 + 2x − x2

c) Relativamente all’intervallo [0; π], calcolare l’area del trapezoide della funzione f (x) = sin 2x

1 + sin2x

Esercizio 2

∞

X

n=1

3 − sin n n (1 + e−n₎

(22)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 18/10/2019)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di Laurea in Ingegneria Gestionale & Meccanica (A–D)

Esercizio 1

a) f (x) = q |ln x| − ln2_x √ x − x · (|x| − 2) arctan x + 1 − 2 sin2xsettcoshx

b) f (x) = log_π 2 cosh x2− 1 ·√1 − sinh x + settcosh e

x_{+ 1}

2ex_{− 1}

· settanh 1 −√x

Esercizio 2

a) Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:

z = (1 − i)

3

−√3 − i2 −i5

b) Determinare i numeri complessi z che soddisfano la seguente equazione:

(z · i)3 =

1 + √i 3

(23)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 22/11/2019)

Esercizio 1

Calcolare (senza usare la regola di de l’Hˆopital) i seguenti limiti di funzioni: a) lim x→0− x (5x_{− 1)} arccos4_{(x + 1)} b) lim x→+∞ ln (32x_{+ 1) +}_{pln (e}x_{+ 2)} 3x + 1 +√x tanh x c) lim x→0+ ln sin x − ln x x −√x arctan√x Esercizio 2

Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi e assoluti della funzione

f (x) =x2− 1+ 2 |cos x| nell’intervallo h−π 2; π 2 i

(24)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 20/12/2019)

Esercizio 1

a) Determinare una primitiva della funzione

f (x) = 1

x (3 + x2₎√_{1 − x}2

b) Determinare una primitiva della funzione

f (x) = √ x − 1 2 + x − x2

c) Calcolare l’area della seguente regione di piano:

T =−1 ≤ x ≤ 1; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4; y ≥ 0

Esercizio 2

∞ X n=1 n √ n 2 5 n

(25)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 10/11/2020)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di Laurea in Ingegneria Gestionale & Meccanica (A–D)

Esercizio 1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni: a) f (x) = arcsin32x− 3x_{+ 1} + |x| x + log1 7 (6 |arcsin x| − π) · 6 r 1 2 − cosh x + e sin x b) f (x) = ln sin x − √ 3 2 ! · log1 2 √

cos x + xe·ptanh2x − 3 tanh x + 2

Esercizio 2

a) Scrivere in forma cartesiana il seguente numero complesso:

z = i − 1 3 i · √ 3 2 + i 2 !6

b) Determinare i numeri complessi z che soddisfano la seguente equazione:

z4− i 1 + i √ 3 z = 0

(26)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 21/12/2020)

Esercizio 1

Calcolare (senza usare la regola di de l’Hˆopital) i seguenti limiti di funzioni: a) lim x→0+ 1 sin x− 1 x b) lim x→0 3 √ 2 − cos x − 1 ln √5 x2_{+ 1} c) lim x→+∞ x2_{+ 3x + 5} x2_{− 3x + 3} √ x Esercizio 2

Determinare per quali x ∈ R la seguente funzione `e continua e derivabile, classificando eventuali punti di discontinuit`a. Scrivere la derivata di f e determinare anche gli eventuali punti di massimo e minimo relativi e assoluti nell’intervallo [2, 4].

f (x) =                          ln(1 − x) + 1 x ≤ 0 sin(x) x 0 < x ≤ π 2 2x2− πx + 12 x x > π 2

(27)

Prova intercorso di Matematica I

(Dated: 01/02/2019)

Dipartimento di Ingegneria Industriale – Universit`a degli Studi di Salerno – Corsi di laurea in Ingegneria Gestionale & Meccanica (Classe 1)

Esercizio 1 a) Calcolare Z π/3 −π/3 sin x (1 −√cos x) (1 + cos x)√cos x b) Determinare una primitiva della funzione

f (x) =r x + 1 1 − x

c) Relativamente all’intervallo [0; π], calcolare l’area del trapezoide della seguente fun-zione:

f (x) = cos x 1 + sin x

Esercizio 2

Al variare di α > 0, stabilire il carattere della seguente serie numerica:

∞ X n=1 lnα 1 + sin2 1 n 1 − cos1 n