ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO

ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO Ripassiamo la definizione di logaritmo

Definizione di logaritmo di b in base a

Dati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a, detto base, è l’esponente x a cui si deve elevare a per avere b.

Si indica con x=log_ab ; x è il logaritmo di b rispetto ad a se ⇔a^x=b Esempi: ^log₃²⁷⁼³ perché 3³=27 log₅ 1

25=−2 perché 5^-2=1/25.

IMPORTANTE

Non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e b sono numeri positivi.

La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perché 1^x=b è un’equazione impossibile se b≠1 o indeterminata se b=1.

Ricordiamo che:

log_a1=0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a 1.

log_aa=1 perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso.

Vediamo ora degli esercizi sui logaritmi che si risolvono applicando la definizione di logaritmo.

Una prima tipologia di esercizi è la seguente: calcolare i seguenti logaritmi 1) ^log₂⁶⁴ 2) log₃1

9

√

3 3) ^log₄² 4) log3 4

16

9 5) log_√aa³ 6) log 100 Risolvere questi esercizi significa trovare l’esponente a cui dobbiamo elevare la base per avere l’argomento. Sostanzialmente si risolvono riscrivendo l’argomento come potenza della base del logaritmo.

1) log₂64 : calcolare questo logaritmo significa trovare l’esponente a cui elevare 2 per avere 64, quindi riscriviamo 64 come potenza di 2 si ha che 64=2⁶, quindi si ha che log₂64 = log₂2⁶ Ora è semplice rispondere alla domanda: a quale numero dobbiamo elevare 2 per avere 2⁶? La risposta è 6.

2) log₃1

9

√

3 : riscriviamo 1

9

√

3 come potenza di base 3: poiché 1

9=3⁻²

√

^3=31/2

applicando la proprietà delle potenze a^x∗a^y=a^{x + y} si ha che 1

9

√

_{3 = 3}⁻²⁺¹2

=3

−4+1 2 =3⁻

3

2 ; quindi log₃1

9

√

3 =-3/2.

3) log₄2 : notiamo che 2 è la radice quadrata di quattro cioè

√

4=2 quindi 2=4¹² ; perciò si ha

log₄2 =1/2.

4) log3 4

16

9 : notiamo che 16=4² e 9=3² quindi 16

9 =

(

³⁴

)

⁻² (ricordiamo che l’esponente negativo fa passare al proprio reciproco la base di una potenza); per cui log3

4

16

9 =-2.

5) log_√aa³ : riscriviamo la base

√

a come

√

_{a = a}¹² e ora rispondo alla domanda a quale numero devo elevare a¹² per avere a³ ? Rispondere a questa domanda significa trovare un numero che moltiplicato per 1/2 dia 3, matematizzando, significa risolvere l’equazione

1

2x =3 che porta alla soluzione x=6; quindi log_√aa³ = 6.

6) log 100 questo esercizio è estremamente semplice purché ci si ricordi che quando la base non è espressamente scritta come in log100 è sottintesa la base 10, mentre con ln si sottintende la base e;

quindi log 100 =log10²=2.

Una seconda tipologia di esercizi è la seguente: calcolare l’argomento b dei seguenti logaritmi.

1) log5b=3 2) log b=4 3) log₅b=−1

3 4) log₂₀b=−11 7

Poiché il logaritmo è in pratica un esponente a cui dobbiamo elevare la base per avere l’argomento, questi esercizi si risolvono elevando la base al risultato del logaritmo.

1) log₅b=3 in base alla definizione di logaritmo, 3 è il numero a cui devo elevare 5 per avere b quindi 5³=b cioè l’argomento è b=125.

2) log b=4 : la base, sottintesa, è 10 quindi b=10⁴=10000.

3) log₅b=−1

3 : b=5⁻¹³ da cui poiché il segno meno dell’esponente fa passare al reciproco della base della potenza e l’esponete frazionario indica una radice si ha che b=5⁻

1

3=³

√

¹⁵⁼

^√

^{315 .}

4) log₂₀b=−11

7 : b=(20)⁻¹¹⁷ da cui poiché il segno meno dell’esponente fa passare al reciproco della base della potenza e l’esponete frazionario indica una radice si ha che

b=(20 )⁻

11

7 =⁷

√ ⁽

²⁰¹

⁾

¹¹⁼

√

^{7(201 )11 .}

Una terza ed ultima tipologia di esercizi è la seguente: calcolare la base a dei seguenti logaritmi.

1) log_a125=3 2) log_a 1

81=4 3) ^log_a³⁼⁻¹¹ 4) log_a

√

²⁼²

Sfruttando la definizione di logaritmo e conoscendo l’argomento e l’esponente a cui elevare la base, questi esercizi si risolvono in sostanza con il calcolo di un radicale con radicando uguale all’argomento del logaritmo e con l’indice uguale al logaritmo.

1) log_a125=3 : poiché in base alla definizione di logaritmo a³=125 si ha che la base a sarà uguale

√

³125 , cioè a=5.

2) log_a 1

81=4 : poiché in base alla definizione di logaritmo a⁴=1/81 si ha che la base a sarà uguale ⁴

√

⁸¹¹ e poiché 81=3⁴ risulta a=1/3.

3) log_a3=−11 : poiché in base alla definizione di logaritmo a^-11=3 si ha che la base a=¹¹

√

¹³⁼¹¹

√

¹³⁼

1 3

1 11

.

4) log_a

√

2=2 : poiché in base alla definizione di logaritmo a²=

√

2 si ha che la base a sarà uguale

√ ^√

^{2 cioè a = 4}

^√

^{2 .}

ESERCIZI SULLE PROPRIETA’ DEI LOGARITMI - Ripassiamo la definizione di logaritmo

Definizione di logaritmo di b in base a

Dati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a, detto base, è l’esponente x a cui si deve elevare a per avere b.

Si indica con x= log_ab ; x è il logaritmo di b rispetto ad a se ⇔a^x=b Esempi: log₃27=3 perché 3³=27 ^log5₂₅^{1 = −2} perché 5^-2=1/25.

IMPORTANTE

Non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e b sono numeri positivi.

La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perché 1^x=b è un’equazione impossibile se b≠1 o indeterminata se b=1.

Ricordiamo che:

log_a1=0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a 1.

log_aa=1 perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso.

- Ripassiamo ora le proprietà dei logaritmi Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre:

I) ^log_a^b⋅c=log_a^{b+ log}_a^c : il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

Questa formula viene applicata anche al “contrario” ossia log_ab+ log_ac=log_ab⋅c . II) log_ab

c=log_ab−log_ac : il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.

Questa formula è letta anche al “contrario” ossia log_ab−log_ac= log_ab c .

III) log_abⁿ=n log_ab : il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo della base.

Questa formula può essere applicata anche al “contrario” ossia n log_ab= log_abⁿ . Queste formule, applicate da sinistra verso destra, si usano per risolvere i seguenti esercizi:

- Applicando le proprietà dei logaritmi sviluppare le espressioni di seguito indicate:

1) log 3

5a 2) log₂

(

²

√ ^√

³2²

)

^{3) loga3(a}b²²⁺¹⁾ 4) ^log1 2

1 4⋅a²

√

^5b

b

√

^4c

1) log 3

5a : per sviluppare tale espressione si applica la formula del logaritmo di un quoziente log b=log b−log c in cui si sostituiscono b=3 e c=5a si ha dunque log 3

=log3−log5 .

2) log₂

(

²

√ ^√

³2²

)

: per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un quoziente e si ha log₂

(

²

√ ^√

³²²

)

^{= log22}

^√

^32−log2

^√

^2. In seguito al termine log₂2

√

³2 si applica la formula del prodotto ^log_a^b⋅c=log_a^{b+ log}_a^c dove b=2 e c= ³² e si ha log₂2

√

³²

= log₂2+log₂

√

³2 , poi al termine log₂

√

³2 applichiamo la formula del logaritmo di una potenza log_abⁿ=n log_ab con b=2 e n= 1/3 e si ha log₂

√

³² = 1

3log₂2 . Analogamente il secondo termine

- log₂

√

2 diventa - 1

2log₂2 . Unendo il tutto si ha log₂

(

²

√ ^√

³²²

)

⁼

log₂2+1

3log₂2−1

2log₂2 . Per finire, poiché ^log22=1 si ha che ^log2_^23₂²_^ =

6. 5 6

3 2 6 2 1 3

1+ 1− = + − =

3) 2

2

3( 1)

log b

a

a + : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un quoziente e si ha 2

2

3( 1)

log b

a

a + = log a³(a²+1 )−log b². In seguito al termine log a³(a²+1 ) si applica la formula del prodotto ^logab⋅c=log_ab+ log_ac dove b=a³ e c= (a²+1) si ha log a³(a²+1 ) = log a³+log(a²+1) poi al termine log a³

applichiamo la formula del logaritmo di una potenza log_abⁿ=n log_ab con b=a e n=3 e si ha log a³ = 3log a . Analogamente il secondo termine - log b² diventa -

2log b . Unendo il tutto si ha loga³(a²+1)

b² = 3log a+log( a²+1 )−2logb .

(si noti che il termine log(a²+1) rimane invariato perchè non c’è una formula che coinvolge la somma degli addendi nell’argomento del logaritmo!)

4) log1 2

1 4⋅a²

√

^5b

b

√

^4c : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un prodotto si ha ^log1

2

1 4⋅a²

√

⁵b

b

√

⁴c = ^log1 2

1 4+log₁

2

a²

√

⁵b

b

√

⁴c . In seguito al termine ^log1 2

a²

√

⁵b b

√

⁴c si

applica la formula del quoziente e si ha log₁

2

a²

√

⁵b

b

√

^4c ₌ ^log12

a²

√

⁵b−log₁

2

b

√

⁴c

; in seguito con

le formule del prodotto e del logaritmo di una potenza si continua a sviluppare gli addendi log₁

2

a²

√

⁵_{b e −log1}

2

b

√

⁴_{c e si ha:}

log₁

2

a²

√

⁵_{b = log1}

2

a²+log₁

2

√

5_{b = 2log1} 2

a+1 5log₁

2

b

−log₁

2

b

√

⁴_{c = −}

(

^{log12b+ log12}

^√

^4c

)

^{= −}

(

^log12

b+1 4log₁

2

c

)

^.

Unendo tutti i pezzi si ha ^log1 2

1 4⋅a²

√

⁵b

b

√

^{4c = log1}2

1

4+ 2log₁

2

a+1 5log₁

2

b

−

(

^log12

b+1 4log₁

2

c

)

^{, ma}

log₁

2

1

4=2 si ha log1 2

1 4⋅a²

√

^5b

b

√

^{4c =2+ 2log1}2

a+1 5log₁

2

b b c

2 1 2

1 log

4 log + 1

− =2+

b a

2 1 2

1 log

5 log 4

2 − c

2

log1

4

− 1 .