• Introduzione ai metodi di analisi e sintesi per il controllo attivo di un processo

1.Introduzione

Controlli Automatici A

Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni

a.a. 2001/2002

Docente: Prof. Aurelio Piazzi Email: [email protected]

http://www.ce.unipr.it/people/piazzi/

1.Introduzione

• Introduzione ai metodi di analisi e sintesi per il controllo attivo di un processo

• Processo = evoluzione nel tempo di ciò che caratterizza un sistema (fisico o non)

• Controllo attivo : strategia di controllo che

prevede un’azione di comando esercitata sul

processo (

esempio: sospensioni attive di una automobile)

1.Introduzione

•

Il controllo (attivo) risolve il problema di imporre una modalità di funzionamento desiderato ad un processo assegnato (il sistema controllato).

• Modalità di funzionamento desiderato = una

variabile (scalare o vettoriale) del processo coincida con una variabile (sca. o vett.) preassegnata (segnale di

riferimento o set-point):

Variabile controllata = Segnale di riferimento

• Segnale di riferimento costante => problema di

regolazione

1.Introduzione

1.1 Generalità sul concetto di sistema

• (Possibile) definizione di Sistema:

Un sistema è un complesso, normalmente costituito da più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere

grandezza soggette a variare nel tempo (le variabili).

1.Introduzione

•

def. di Segnale:

Le funzioni che rappresentano l’andamento delle variabili nel tempo si dicono segnali.

• Terminologia per le variabili:

-Variabili controllate (o regolate) - Variabile di riferimento

-Variabili manipolabili (o di controllo)

-Variabili non manipolabili (o disturbi)

-Variabili osservate (o misurate)

1.Introduzione

• La classificazione fondamentale delle variabili di un sistema le

distingue in variabili indipendenti (ingressi o cause) e in variabili dipendenti (uscite o effetti).

• Questa classificazione porta al concetto di sistema orientato:

Esempi: una resistenza elettrica, un motore in corrente continua,…

1.Introduzione

1.Introduzione

1.Introduzione

• def. di Modello Matematico:

Si dice m. m. la descrizione di un sistema, per esempio con

equazioni e parametri, che permette di determinare i segnali delle uscite noti i segnali degli ingressi e le (eventuali) condizioni iniziali.

Esempi: equazioni differenziali, modelli operazionali, modelli frequenziali, modelli di stato,…

• Sistemi multivariabili (MIMO) e scalari (SISO) (ci occuperemo quasi sempre di sistemi scalari…):

1.Introduzione

• def. Sistema (inizialmente) in quiete:

Un sistema è detto (inizialmente) in quiete quando le variabili d’uscita sono (inizialmente) nulle e rimarrebbero tali per ingressi identicamente nulli [sistema in equilibrio]

Nota: valida anche per variabili costanti…

• Considereremo sistemi a tempo continuo con variabili reali per gli ingressi ed uscite: tempo t in R, u(t) in R, y(t) in R.

Caso multivariabile:

t

, )

( , )

(t R^m y t R ^p

u ∈ ∈

















=

) (

) ( )

(

1

t u

t u t

u

m

!

!





















=

) (

) ( )

(

1

t y

t y t

y

p

!

!

1.Introduzione

• def. Sistema statico (o puramente algebrico)

L’uscita al tempo t, dipende esclusivamente dall’ingresso al medesimo tempo t.

Per questi sistemi esiste una funzione f: R^m ! R^p tale che

y(t) = f(u(t)) per ogni t in R, Semplicemente y = f(u)

• def. Sistema dinamico

L’uscita al tempo t dipende dalla funzione dell’ingresso su (-inf., t].

Sono i sistemi con memoria: esiste un funzionale F(.) : U ! Y per il quale

y(t) = F( u(.)|^{(-inf., t]} )

1.Introduzione

Esempio del comportamento di un sistema dinamico:

Esempio di modello statico SISO: motore in corrente continua in condizioni stazionarie, w = f(v_a) è la caratteristica statica ingresso uscita (non lineare):

1.Introduzione

Modello linearizzato in un intorno dell’origine: w = k v^a , k:= f ⁽¹⁾(v^a)|^va=0

1.Introduzione Modello linearizzato nell’intorno di (v^a1, w¹):

K¹:= f⁽¹⁾(v^a )|v^a = v^a1 ; w’ := w – w¹ v’^a := v^a – v^a1 w’ = K¹ v’^a

• def. Insieme dei “behaviours”

B B B B

L’insieme

B B B B

è l’insieme di tutte le possibili coppie causa-effetto associate al sistema dinamico Σ:

B B B

B

^:=

{

( u(t), y(t) ) : y(t) è l’uscita di Σ corrispondente all’ingresso u(t) a partire da una condizione di quiete, u(t) ⁱⁿ U U U U

}

U U U

U :=

{

insieme delle funzioni continue a tratti definite su (-inf , +inf)

}

1.Introduzione

• def. Linearità

Un sistema si dice lineare quando soddisfa la proprietà di sovrapposizione degli effetti:

per ogni ( u’(t), y’(t) ), ( u’’(t), y’’(t) ) ∈

B B B B

e per ogni a¹, a² ∈ R

== >

(

^{a1 u’(t) + a2 u’’(t) , a1 y’(t) + a2 y’’(t)}

)

∈

B B B B . . . .

def. Stazionarietà

Un sistema Σ è stazionario (invariante nel tempo) se per ogni T ⁱⁿ R:

( u(t), y(t) ) ∈

B == > B == > B == > B == >

( u(t-T), y(t-T) ) ∈

B B B B

1.Introduzione Esempio:

• Ambito di studio: sistemi dinamici lineari, stazionari e a tempo continuo.

1.Introduzione

1.2 Controllo ad azione diretta e in retroazione

• Il controllo (attivo) è distinguibile in

- controllo ad azione diretta (feedforward) o ad anello aperto o in catena aperta;

- controllo in retroazione (feedback) o ad anello chiuso o in catena chiusa.

• Azione diretta : quando l’azione di comando dipende da 1. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento)

2. informazioni sul modello del sistema controllato

3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi)

1.Introduzione

• Retroazione : quando l’azione di comando dipende da 1. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento) 2. informazioni sul modello del sistema controllato

3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi) 4. variabile controllata

Esempi: ….

• Schema a blocchi di un sistema di controllo ad azione diretta:

1.Introduzione

• Schema a blocchi di sistema di controllo in retroazione:

1.Introduzione

• Architettura usuale: Sistema di controllo in retroazione sull’errore di inseguimento:

1.Introduzione

• Confronto fra il controllo ad azione diretta e in retroazione:

Problema: Regolazione di un processo statico di guadagno P; y = uscita del processo (v. controllata); u = ingresso del processo (v. di controllo); r = segnale di riferimento.

• Sistema di controllo ad anello aperto:

y = P u = P ( C^d) = P C^d r

Dall’obiettivo r = y " C^d := 1/P

Il controllore è sintetizzato come sistema inverso del processo

1.Introduzione

• Sistema di controllo ad anello chiuso:

{ e = r – y , y = P C^_r e } " y = P C^_r (r – y) y = (P C^_r/ (1 + P C^_r) ) r

L’obiettivo y = r è idealmente irraggiungibile ma si può ottenere y ~= r progettando C^_r tale che P C^_r >> 1 :

C^_r >> 1/P

1.Introduzione

• Disamina delle strategie di controllo in condizioni perturbate:

P --> P^∼∼∼∼ = P + ∆P , p.e. ∆P = (1/5) P

• nel controllo ad azione diretta:

±

r r

P r P

P r

C P

y

_d

5 1 ) 1

~

= ( + ∆ = ±

=

errore in % ± 20

• nel controllo in retroazione:

si ipotizza che PC_r = 200,⇒ C_r = 200/ P ^{⇒ :=} ₁₊ ^{≅ 0,995}

r r

yr PC

T PC

(errore di inseguimento in cond. nom. circa uguale a 0,5%)

∆ = + +

∆

= +

= +

r r

r r

r r

yr PC PC

PC PC

C P

C T P

1

1 ^~

~ ~

0,9959 e 0,9938

errore = + 0,415% o +0,621%

1.Introduzione

• Conclusione 1: Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di perturbazioni sul processo.

• Conclusione 2: Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di disturbi agenti sulla variabile controllata.

[per il momento giustificazione euristica…]

• Per alcuni problemi di regolazione il controllo in retroazione è l’unico possibile … es.: regolazione di livello in un serbatoio …^.

1.Introduzione

Equazione del “processo” o “impianto”: 1 ( )

2

1 q

A q

z" = −

1 ≡ q

2 ≡ q

portata d’acqua in ingresso (v. di controllo) portata d’acqua in uscita (v. di disturbo)

• Il controllo ad azione diretta sicuramente fallirebbe (fenomeno di deriva)

• Il controllo in retroazione può risolvere il problema … p.e.

10

1

C ( r z ) q

q =

_r

− +

ridefinendo la variabile di controllo, la legge di retroazione proposta corrisponde allo schema:

10

: q1 q u = −

1.Introduzione

• I problemi del controllo in retroazione:

1. è una soluzione tecnica più complessa

2. è una soluzione che può presentare fenomeni di instabilità

Esempio: in un sistema retroazionato all’aumentare del guadagno di anello tipicamente si innesca una instabilità (p.e. auto-oscillazioni divergenti) :

1.Introduzione

3 2

1 r r

r

C C

C < <

• I possibili problemi di instabilità sono particolarmente gravi nel controllo in retroazione dei sistemi con ritardi finiti … esempio:

regolazione di temperatura in un miscelatore di acqua fredda e calda

…

1.Introduzione

1.3 Gli Schemi a Blocchi

• I sistemi complessi possono essere rappresentati con schemi a blocchi i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso ed una sola uscita:

y = K u , K ≡ guadagno dell’elemento o blocco elementare K ∈ R o K ∈ {insieme delle funzioni razionali} o …

• I blocchi sono collegati fra loro mediante i punti di diramazione e le giunzioni sommanti:

z = u, y = u z = x + y

1.Introduzione

• Regole di riduzione

1. Riduzione di blocchi in cascata

2. Riduzione di blocchi in parallelo

1.Introduzione 3. Scambio di giunzioni sommanti

4. Spostamento di prelievo di segnale a monte di un blocco

1.Introduzione

5. Spostamento di prelievo di segnale a valle di un blocco

6. Spostamento di giunzione sommante a monte di un blocco

1.Introduzione

7. Spostamento di giunzione sommante a valle di un blocco

8. Eliminazione di un anello





+

=

=

y K r e

e K y

2 1

K r K y K

2 1 1

1−

=

1.Introduzione

• Esempio di riduzione alla forma minima Schema a blocchi iniziale

1.Introduzione Applicando le regole n° 6, 3, 8 si ottiene

1 3 2

3 4 2

: 1

H G G

G G G

= +

1.Introduzione

Applicando ancora le regole n° 6, 3, 8 :

2 4 1

4 5 1

: 1

H G G

G G G

= +

Applicando infine la regola n° 7:

2 1 1 : 5

G G B = BG

d B r

G

c =

₅

+

₁

[ ] _



 



= 

d B r

G

c

_{5 1}

1.Introduzione

1.4 Cenni di Modellistica

• Modellistica = costruzione dei modelli matematici dei sistemi Modellistica:

1. a partire da leggi fondamentali

2. a partire da dati sperimentali (identificazione)

Scegliendo il primo approccio riportiamo qualche cenno su circuiti elettrici, sistemi meccanici e sistemi termici.

1.Introduzione

• Circuiti elettrici

Resistenza:

Induttanza:

D ≡ operatore derivata

Capacità:

Ri v

_R

=

dt LDi L di

v_L = =

∫

∞

−

=

= ^t

C i d

C C

v Q 1 (τ ) τ

C Dv_C = i

⇒

1.Introduzione

• Esempio: circuito RLC

∫

∞

−

+ +

=

+ +

=

t i

C R

L i

d C i

t Ri t

LDi t

v

v v

v v

τ τ⁾ 1 (

) ( )

( )

(

Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da v_i (ingresso) ad i (uscita):

1.Introduzione

Eq. differenziale lineare a coefficienti costanti:

Dvi

C i RDi

i

LD₂ + + 1 = Rappresentabile anche come:

Dvi

C i RD

LD  =



 



 ₂ + + 1

Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da v_i (ingresso) ad v_u (uscita):

u u

u i

u u

v CDv

R CDv

LD v

CDv C i

Dv i

+ +

=

=

⇒

=

) (

) (

i u

u

u

RCDv v v

v

LCD

²

+ + =

( ^LCD

²

^{+ RCD + 1} ) ^v

^u

^{= v}

ⁱ

1.Introduzione

• Sistemi meccanici

leggi del moto unidimensionale per “componenti” meccanici

Massa: MD²x(t) = f₁(t) − f₂(t)

Molla: f ⁽t⁾ = K

(

x1⁽t⁾− x2⁽t⁾

)

Relazione valida nell’ipotesi che la distanza fra le origini degli assi x₁ e x₂ sia pari alla lunghezza della molla non caricata.

1.Introduzione

Ammortizzatore:

( )

(

^{( ) ( )}

)

) (

) ( )

( )

(

2 1

2 1

t x t

x BD t

f

t v t

v B t

f

−

=

−

=

Legge che descrive un fenomeno di

attrito viscoso: forza proporzionale alla velocità relativa …

1.Introduzione

• Esempio: sistema meccanico vibrante

(quando il sistema è a riposo abbiamo x₁ = 0 e x₂ = 0 )





−

−

−

=

−

−

−

=

2 2

2 2 2

1 1

2 2 2

2 1

1 1

1 1

2 1

) (

) (

Dx B

x K x

x D B x

D M

x x

D B x

K f

x D M

sistema di eq. differenziali del secondo ordine

1.Introduzione

Problema: costruzione del m.m del sistema vibrante orientato da f (ingresso) a x₂ (uscita) [oppure, a x₁]:

Come eliminare la variabile x₁?





+ +

+

=

+

= +

+

2 2

2 2 2

1 2

2 2 1

1

2 1

1 1 1

1 1

2 1

Dx B

x K Dx

B x

D M Dx

B

Dx B f

x K Dx

B x

D M

( )



( )



+ +

+

=

+

= +

+

2 2 2

2 1

2 2 2 1

1

2 1

1 1 1

2 1

)

(B B Dx K x

x D M x

D B

Dx B

f x

K D

B D

M

1.Introduzione

( ) ( ) ^{( )}

( ) ^{( )} ( )





+ +

+ +

+

= +

+

+

= +

+

] )

( [

] [

2 2 2

2 1

2 2 2 1

1 2

1 1

1 1 1

2 1

2 1 1

1 1 1

2 1 1

x K Dx

B B

x D M K

D B D

M x

D B K

D B D

M

Dx B f

D B x

K D

B D

M D B

Gli operatori differenziali commutano, quindi si deduce:

( ) ( )

(

^{MB 1DD2f BB1DDxK1}

)

^{MM2DD2x2 B BD1 KB2 DxM 2D Kx22x2 B1 B12BD22Dxx2 2 B1KDf2x2}

2 2 1

1 2

1 2

1 1

] )

( [

] )

( [

] [

=

− +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

= +

. . . .

Si ottiene una eq. differenziale lineare del 4° ordine

1.Introduzione

• Esempio di un sistema elettromeccanico: motore in c.c. controllato in armatura.

i_a= corrente di armatura; v_a = tensione di armatura (ingresso); Φ = flusso magnetico; e_c= forza controelettromotrice (tensione); J_m= inerzia del motore; J_c= inerzia del carico; C_m= coppia motrice.

1.Introduzione

La coppia motrice è proporzionale al flusso e alla corrente di armatura:

C_m = K Φ i_a, con flusso costante C_m = K_m i_a

In assenza di perdite energetiche, il bilancio di potenza all’albero motore è:

{potenza elettrica} = { potenza meccanica}

e_ci_a= C_mω da cui e_ci_a= K_m i_a ω

m

ω

c

K

e =

⇒

Eq. elettromeccanica senza carico:

 



+

=

+ +

=

ω ω

ω D J

B i

K

K Ri

LDi v

m m

a m

m a

a a

1.Introduzione

Eliminando la variabile i_asi otiene il m.m del motore orientato da v_a ad ω (senza carico):

(

m m

) (

m m

)

m a

m

D LB RJ D RB K K v

LJ

²

ω + + ω + + ω =

• Eq. Elettromeccaniche con carico

 



+ +

=

+ +

=

C D

J B

i K

K Ri

LDi v

m m

a m

m a

a a

ω ω

ω

C = coppia resistente dovuta al carico; ω_c = velocità angolare a valle del riduttore;

C_c= coppia resistente del carico a valle del riduttore Ipotizzando che il riduttore non dissipi potenza:

{ potenza meccanica a monte del rid. } = { potenza meccanica a valle del rid. }

c

Cc

Cω = ω

1.Introduzione

r r c

c C K C

C = =

⇒ ω

ω _K

r= rapporto di riduzione 



 

 = ω ω_c :

• eq. meccanica del carico a valle del riduttore:

(

c c

)

c r

c c

c c r

D J B

K C

D J B

C

ω ω

ω

+

=

⇒

+

=

(

^{B J D}

)

^ω

K

C = _r² _c + _c

Implicazioni: il coefficiente di attrito ed il momento d’inerzia del carico possono essere riferiti all’albero motore moltiplicandoli per K_r². I valori così ottenuti si sommano a quelli relativi al motore …

1.Introduzione

( ) ( )

c r m

mc

c r m

mc

c r m

c r m

a m

c r c

r m

m a

m

J K J

J

B K B

B

D J

K J

B K B

i K

D J K B

K D

J B

i K

2 2

2 2

2 2

: :

+

=

+

=

+ +

+

=

+ +

+

=

ω ω

ω ω

ω ω

• m.m del motore orientato da v_a a ω_c (con carico):

(

mc mc

) (

mc m

)

m a

mc

D LB RJ D RB K K v

LJ

²

ω + + ω + + ω =

1.Introduzione

• Esempio di sistema termico: Boiler

Semplificazione: miscelazione istantanea e perfetta.

M = massa d’acqua [kg]

c = calore specifico dell’acqua [Cal/(Kg °C)]

θ = temperatura dell’acqua nel boiler [°C]

Θ_i = temperatura dell’acqua all’ingresso Θ_a = temperatura dell’ambiente

q = flusso di calore dal riscaldatore [Cal/s]

K = coefficiente di resistenza termica globale delle pareti [Cal/(s °C)]

g = portata entrante o uscente [kg/s]

1.Introduzione

• eq. di bilancio termico: McDθ(t) = qt)− K

(

θ(t)−θa

)

− g(t)c

(

θ(t)−θi

)

• Orientamento del sistema: q -> variabile manipolabile;

θ -> variabile controllata; g -> variabile di disturbo.

m.m. del sistema orientato da q a θ:

( ^{( )} ) ^{( ) ( ) ( )}

)

( t K cg t t q t K c g t

McD θ + + θ = + θ

_a

+ θ

_i

Interpretazione: eq. diff. lineare con coefficienti varianti (quindi, sistema lineare non stazionario)