CAPITOLO 2
IL SISTEMA DI TRASMISSIONE
BICM-OFDM
INTRODUZIONE
In questo capitolo viene descritta la tecnica di trasmissione nota come Bit Interleaved Coded Modulation ( BICM ) OFDM. Dopo aver presentato lo schema a blocchi del sistema e i principi di funzionamento, vengono evidenziate e motivate le differenze rispetto ad una architettura OFDM classica. La seconda parte del capitolo si occupa brevemente di illustrare le tecniche analitiche con cui stimare le prestazioni del sistema, facendo riferimento, in particolare, alla Packet Error Rate che, come vedremo nel capitolo 4, è un parametro strettamente legato al goodput.
2.1 IL MODELLO DEL SISTEMA
Il sistema di comunicazione cui si fa riferimento in questo lavoro di tesi è il Bit
Interleaved Coded Modulation ( BICM ) OFDM, con tecnica di modulazione adattativa [4]. Fig. 2.1 riporta lo schema del trasmettitore e del ricevitore.
Notiamo subito che, rispetto ad una classica architettura OFDM, sono presenti alcuni blocchi in più: un interleaver che separa le operazioni di codifica e modulazione (e rispettivo deinterleaver in ricezione ), una procedura di allocazione dinamica delle risorse ( modulazione adattativa ), un blocco che determina, in base ad una specifica strategia, le metriche da fornire al decoder di Viterbi per la decisione soft.
Un pacchetto di
N
b bit informativi è codificato utilizzando un codice convoluzionale, di rateR
e distanza liberad
H. Quindi il numero totale di simboli binari trasmessi relativamente ad un pacchetto diN
b bit informativi èN
cN
bR
=
.Tali bit entrano in un bit interleaver, che considereremo ideale. L’introduzione del processo di bit interleaving, che segna la nascita del sistema BICM, fu proposta per primo da Zehavi [5], che mostrò come l’inserimento di tale operazione fra i processi di codifica e modulazione, e un appropriato calcolo delle metriche di ramo per la decisione soft, fosse in grado di aumentare l’affidabilità della trasmissione su un canale affetto da fading di Rayleigh. Tali considerazioni furono sviluppate e generalizzate da Caire, Taricco, Biglieri [6], che fornirono una fondazione teorica per il BICM OFDM, mostrando, fra l’altro, che il guadagno di diversità diviene pari alla minima distanza di Hamming
d
H del codice binario. Aumenta, quindi, la diversità del codice, che diventa uguale al più piccolo numero di distinti bit , e non di distinti simboli di canale, appartenenti ad un evento errore. Quando la trasmissione avviene su canale affetto da fading, ciò provoca un miglioramento delle prestazioni rispetto alla tradizionale codifica a traliccio. Un’altra conseguenza dell’inserimento dell’operazione di bit interleaving è una maggiore trattabilità matematica del sistema, dato che il canale, visto dal ricevitore, si comporta ora come un Binary Input Output Symmetric ( BIOS ) Channel.I bit così “sparpagliati” verranno trasmessi lungo
L
n simboli OFDM, usando leN
S portanti disponibili.Il blocco
π
determina una corrispondenza fra il bit codificato, il simbolo OFDMl
, il sottocanalen
e la posizionei
del bit nel simbolo (l
=1,…,L
n;n
=1,…N
S;i
=1,…m
n ). Proprio grazie alla presenza dell’interleaver, questa terna di valori è equidistribuita e, in particolare, risulta(
, ,
)
1
Cp i n l
N
=
(2.1.1)Nello specifico,
i
en
non sarebbero uniformemente distribuiti, a causa della diversa allocazione di bit sulle varie portanti, ma la coppiai n
,
è equidistribuita.Il flusso di dati in uscita da
π
passa in un convertitore da serie a parallelo, che produce un insieme di sottoflussi a bassa velocità pari al numeroN
S di sottoportanti in cui è suddivisa la banda disponibile per la trasmissione. Su ognuno di essi avviene il mappaggio dei simboli in base alla tecnica di Gray. In particolare sull’ n-esimo sottocanale sono trasmessim
n bit, usando uno degli2
mnn
M
=
simbolix
n relativi alla corrispondente modulazione QAMχ
( )n . A ciascuno di questi simboli viene assegnata una potenzaP
AVGp
n, rispettando il vincolo1
1
1
s N n np
N
=≤
∑
(2.1.2) AVGP
è la potenza media per sottoportante, uguale su ogni canale. E’ un parametro globale legato al rapporto segnale rumore dalla relazione:2 2
2
n AVG n nSNR
P
p H
σ
=
L’assegnazione di bit e potenza avviene secondo una strategia volta a massimizzare le prestazioni secondo un qualche criterio: massimo bit rate, massimo margine di potenza, minima bit error rate ecc. Nei capitoli successivi considereremo la strategia di allocazione waterfilling con SNR gap e la valuteremo in termini di goodput.
Una volta avvenuta l’allocazione delle risorse, seguono le operazioni tipiche di una trasmissione OFDM, con modulazione efficiente IFFT e inserzione di prefisso ciclico. I dati vengono quindi trasmessi attraverso il canale, che noi considereremo affetto da fading di Rayleigh. Ipotizzeremo che il canale non cambi apprezzabilmente durante la trasmissione di un pacchetto (fading lento), mentre pacchetti diversi sperimenteranno diverse condizioni di propagazione. Si suppone, inoltre, che il canale sia completamente noto al ricevitore attraverso i guadagni complessi su ogni portante 1
,
2,...,
S
N
H H
H
.In ricezione avviene la demodulazione OFDM con FFT e rimozione del prefisso ciclico. A questo punto possiamo considerare l’uscita del canale n-esimo
( )
( )
( )
n AVG n n n n
z l
=
P
p H x l
+
w l
(2.1.3)
dove
w l
n( )
è una variabile aleatoria complessa gaussiana con valor medio nullo e varianzaσ
n2,l=
2
N
0. E’ quindi necessario calcolare in modo opportuno una metrica soft bit per bit, da passare al decoder di Viterbi che effettuerà poi una stima a massima verosimiglianza. Si dimostra che il modo migliore di procedere nella pratica è il seguente:• Noto il set di simboli M-QAM
x
n∈
χ
( )n utilizzato per la modulazione sulla portante n-esima, per ogni posizionei
del bit all’interno dell’etichetta che identifica ogni simbolo, si individua il subsetχ
b( )i n, , definito come l’insieme dei punti della costellazione tali che il bit in posizione i-esima assume il valoreb
, conb
∈
{ }
0,1
.• In linea teorica la metrica ottima risulta
( )
( )
(
)
(
( )
)
(, ) ,,
log
|
,
i n n b i n n n n xz l b
p z l
x H
χλ
− ∈
=
∑
(2.1.4)dove
p
( )
.
è la funzione densità di probabilità eH
− è il vettore dei coefficienti
complessi che caratterizzano il canale, considerati noti.
Comunque, per rapporti segnale rumore abbastanza elevati, è possibile considerare una metrica semplificata
( )
( )
(
)
(, )(
(
( )
)
)
,,
max log
| ,
i n b i n n n xz l b
p z l
x H
χλ
− ∈=
(2.1.5)Ciò si traduce, nella pratica, in una semplice procedura.
• Per entrambi i valori di
b
si calcola la minima distanza euclidead
E( )i n, fra il simbolo complesso ricevutoz l
n( )
e il corrispondente subsetχ
b( )i n, . La corrispondente metrica risulta( )
( )
(
)
( ) , ,,
i n i n n Ez l b
d
λ
= −
(2.1.6)In Fig 2.3 è riportato come esempio il subset
χ
0(6,n)per una costellazione 64 QAM.A questo punto il deinterleaver applica la corrispondenza uno a uno fra i bit codificati
k
b
e gli indici(
i n l
, ,
)
agendo sulle metriche soft calcolate. Tali metriche vengono quindi inviate ad un decoder di Viterbi che effettuerà una decisione a massima verosimiglianza: ( )( )
(
)
, 1arg max
,
C L i n n k b C kb
λ
z l b
− − ∈ ==
∑
(2.1.7)2.2 CENNI SULLA VALUTAZIONE DELLA PACKET ERROR
RATE
2.2.1 CALCOLO DELLA PAIR-WISE ERROR PROBABILITY
Come già più volte accennato, nei seguenti capitoli si valuteranno alcune strategie di allocazione risorse, valutandole in termini di goodput. Poiché, come vedremo, tale grandezza dipende dalla Packet Error Rate (PER), è opportuno fare alcuni cenni su come tale probabilità può essere calcolata, facendo in particolare riferimento a sistemi BICM-OFDM.
La prima grandezza da valutare è la Pair-Wise Error Probability (PEP), definita come la
probabilità che il decodificatore di Viterbi decida per una sequenza
^
b
a distanza di Hammingd
dalla sequenzab
realmente trasmessa.In primo luogo è necessario calcolare una metrica logaritmica di verosimiglianza che, nel caso di canale perfettamente noto, relativamente al k-esimo simbolo binario all’ingresso del decoder, può essere espressa come [7]:
(
)
(
)
''|
,
log
|
,
k k k k x I k k k x Ip z
x A
p z
x A
∈ ∈
Λ =
∑
∑
(2.2.1)dove l’insieme
I
coincide con il subset (^ ),
k k
i n b
χ
relativo al bit stimato, mentreI
''
coincide con l’insiemeχ
b(i nk, k)relativo al bit realmente trasmesso. InoltreA
− è una
matrice complessa diagonale, definita nel seguente modo
{
AVG 1 1,
AVG 2 2,...,
AVG NS NS}
A
diag
P
p H
P
p H
P
p
H
−
=
(2.2.2)
Sotto l’ipotesi di interleaving ideale, le varie sottoportanti si comportano come se fossero un Binary Input Output Symmetric ( BIOS ) channel [6], e la PEP può essere valutata come coda di probabilità
^ 1
Pr
|
Pr
0
d k kPEP
b
b A
− =
=
→
=
Λ ≥
∑
(2.2.3)Per poter realizzare il calcolo è però necessario passare attraverso la determinazione della funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria
Λ
, definita come( )
exp
{ }
M
Λs
=
E
Λ
s
Λ
(2.2.4)
Utilizzando
M
Λè possibile determinare alcune tecniche per stimare la PEP. Le due più usate sono:• Bhattacharyya Bound : questa tecnica individua un limite superiore per la PEP, in base alla seguente espressione
^ ^
Pr
|
db
b A
M
Λs
− −
→
≤
(2.2.5) dove ^s
è detto saddlepoint. Per canali BIOS^
1
2
s
=
e il Bhattacharyya bound coincide con il Chernoff Bound [8]. E’ possibile dimostrare che, per il sistema BICM OFDM che stiamo trattando,( )
( )
{
2 2(
2)
}
min, 1Pr
exp
S N n nM
Λs
n
A d
s
s
==
∑
−
−
(2.2.6)essendo
d
min,n2 la minima distanza fra i punti della costellazione usata sulla n-esima sottoportante e( )
Pr
n Tm
n
M
=
(2.2.7)la probabilità che il bit sia spedito sulla n-esima portante. Ovviamente nella 2.2.7
m
n è il numero di bit allocati sul canale n-esimo eM
T è il numero totale di bit appartenenti al simbolo OFDM.Il Bhattacharyya Bound è una buona approssimazione per rapporti segnale rumore abbastanza elevati.
• Saddlepoint Approximation : questo metodo ( [8],[9] ) è ancora più accurato del precedente. La PEP viene approssimata in questo modo:
^ ^ ^ ^ ''
Pr
|
2
dM
s
b
b A
dk
s s
π
Λ − − Λ
→
=
(2.2.8)Dove anche qui
^
1
2
s
=
ek
Λ''( )
s
è definito come( )
(
( )
)
''log
k
Λs
=
M
Λs
(2.2.9)Per il sistema in esame si ottiene che
{
}
{
}
1 2 ^ 1 11
exp
Pr
|
1
8
exp
S S d N n n n T N n n n n Tm
C
M
b
b A
d
m C
C
M
π
+ = − − =
−
→
=
−
∑
∑
(2.2.10) dove 2 2 min,4
AVG n n n nP
p H
d
C
=
(2.2.11)2.2.2 CALCOLO DELLA PER
La probabilità d’errore sul pacchetto può essere valutata a partire dalla PEP. Innanzitutto è necessario valutare la bit error rate tramite l’Union Bound, ottenendo il limite superiore (2.2.12)
( )
( ) (
Pr
|
)
C free N d dBER A
w d
d A
=≤
∑
(2.2.12)dove abbiamo indicato con
Pr
(
d A
|
)
proprio la PEP, mettendo in evidenza il fatto che questa dipende solamente dalla distanza di Hammingd
frab
e^
b
, e non dalle particolari sequenze scelte. I parametrid
free ew d
( )
dipendono dal codice convoluzionale utilizzato e rappresentano rispettivamente la distanza libera del codice ed il numero di possibili eventi errore a distanza di Hammingd
dalla sequenza corretta. La sommatoria nella 2.2.12 sarebbe, in teoria, infinita, ma può sempre essere troncata in corrispondenza di un valoreN
C oltre il quale la PEP assume valori infinitesimi. A titolo di esempio riportiamo in Tab.2.1 i parametri relativi al codice convoluzionale con generatori (133,171) [10], che è un codice molto usato ed è quello implementato nel programma di simulazione che descriveremo nel Capitolo 4.A questo punto, per valutare la PER tenendo anche in considerazione il fatto che gli errori in uscita dal decoder di Viterbi non sono indipendenti, ma si propongono raggruppati in burst, è necessario procedere come come descritto in [11], [12], ottenendo:
( )
(
)
81
1
LPER
≤ −
−
BER A
(2.2.13)
in cui
L
è la lunghezza del pacchetto eBER A
( )
è la bit error rate così come era stata calcolata nella 2.2.12d dfree=10 11 12 13 14 15 16 17 18
( )
w d 11 0 38 0 193 0 1331 0 7275 d 19 20 21 22 23 24 25 N c=26( )
w d 0 40406 0 234969 0 1337714 0 7594819Tab. 2.1 Coefficienti per il calcolo della PER relativi al codice
