PARTE SECONDA

PARTE SECONDA

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ottici

CAPITOLO III

SORGENTI DI RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA

1) SORGENTI OTTICHE E COERENZA

!"

#

$!

$"

#

!"

#

SPAZIALE TEMPORALE COERENZA

e) sincrotron di

luce (globar, CONTINUE

Hg) (lampada RIGHE

INCOERENTI A (laser) COERENTI SORGENTI

A) COERENZA TEMPORALE

Presi A e B lungo la direzione di propagazione le onde in A e B hanno una relazione fissa di fase (si può osservare interferenza). La massima distanza tra A e B è la lunghezza di coerenza ℓ : è legata _C al tempo di coerenza τ (durata media in cui la sorgente emette prima di cambiare casualmente la _C fase) da:

C C =cτ ℓ ns

C ≈1

τ per Hg (migliore incoerenza); τ_C ≈1ms per laser (coerenza)

Dal principio di indeterminazione: τ_C Δν≈1 dove νΔ è la larghezza della riga di emissione.

B) COERENZA SPAZIALE

Presi due punti C e D sul fronte d’onda, c’è una relazione fissa di fase tra le onde misurate in C e D.

Si può verificare osservando l’interferenza tra due fori in C e D. La massima sezione del fronte d’onda in cui si osserva coerenza spaziale è l’area di coerenza. Piccole sorgenti (pinhole, stella) possono essere spazialmente coerenti. I laser lo sono su tutta la sezione del fascio.

lC

kr A

D C

B

2) GENERALITA’ SULLE SORGENTI OTTICHE COERENTI (LASER)

Sono “oscillatori ottici”

amplificazione della radiazione elettromagnetica in una cavità + feedback positivo.

Schematizziamo un atomo come un sistema a due livelli non degeneri 1 e 2, con

ν

=

−E h

E_{2 1}

e immergiamolo in un campo di radiazione elettromagnetica.

Sia

la densità della radiazione alla frequenza

:

( )

1 e

h c

T 8 _{h kT}

3

3 −

ν

= π ν ρ

≡

ρ_ν , _ν (formula di Planck) (III.1)

Sono possibili tre processi:

Fig. 1 Siano N

e N

le popolazioni di 1 e 2.

I processi A) per unità di tempo saranno, se

è la probabilità di transizione indotta dai fotoni,

(III.2)

I processi di emissione B) + C) saranno:

Z_E =Z_B+Z_C=N₂ W ρ_ν +N₂ W '

(III.3) dove W’ è la probabilità di decadimento spontaneo.

All’equilibrio alla temperatura T,

e

N₁ =e^{−(hν/kT )}

. Perciò

⇒

⇒

⇒

A) ASSORBIMENTO

B) EMISSIONE STIMOLATA

C) EMISSIONE SPONTANEA 1

2

Per la (III.4) la probabilità di emissione stimolata supera di molto quella spontanea solo per

kT

hν <<

. Per frequenze ottiche, si avrebbe quindi un effetto di amplificazione del numero di fotoni solo a

. L’inversione di popolazioni tra i livelli 1 e 2 si ottiene perciò con il pompaggio ottico:

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 2

Una lampada, un flash o un altro laser pompano il sistema a stati

. Da

si ha emissione spontanea rapida su

E2

, che è uno stato a vita media lunga.

L’emissione spontanea da

a

avvia il processo laser, che si mantiene finché

con emissione di fotoni

1

2 E

E

hν= −

. Il feedback positivo è inerente all’emissione stimolata: più fotoni nella cavità

più emissione stimolata

più fotoni

ecc.

Per mantenere elevata

,il sistema deve trovarsi in una cavità ottica risonante a ν , come l’etalon di un Fabry-Perot. Perciò la luce in uscita è coerente e monocromatica, a meno di armoniche.

Nel laser He-Ne di Fig. 4 il gas emette in modo incoerente come un comune tubo a scarica (alone arancione), portando gli elettroni negli stati eccitati. Le riflessioni risonanti tra due piccoli specchi posti alle estremità (con quello di destra semitrasparente) causano l’effetto laser al centro del tubo. Il fascio uscente crea un puntino rosso sullo schermo bianco.

trasferimento pompaggio

scarico

emissione laser )

h ( ν

E 0

E

E

1 2 E

d=nλ

sistema a due

livelli luce in uscita

specchio Specchio

semitrasparente

viti micrometriche

2.1 P

R

:

• coerente (lunghezza di coerenza anche

)

• collimata (divergenza

)

• distribuzione spaziale gaussiana nella direzione radiale

• emissione per righe strette:

La condizione di interferenza è soddisfatta per

2 Lm

[L = lunghezza della cavità ottica, m = intero, n = indice di rifrazione, c = velocità della luce nel vuoto,

= lunghezza d’onda nel vuoto, n

= cammino ottico]

Inoltre

L 2

= c ν

Δ

misura le qualità selettive della cavità ottica, dove F =

“finesse” della cavità =

ν Δ

Non tutti i valori di m sono accettati:

a) per la funzione di trasferimento

( )

della cavità

b) perché l’intensità prodotta deve superare il livello delle perdite (dissipazione termica, riflettività delle finestre, ecc.).

Se

( )

è abbastanza larga, il laser è multimodo, altrimenti è a singolo modo.

Fig. 5

• polarizzata se si usano finestre ad angolo di Brewster

o prismi di Littrow, che riflettono luce polarizzata linearmente (Fig. 6).

La componente polarizzata nel piano di incidenza viene trasmessa e riflessa integralmente nella cavità, quella polarizzata ortogonalmente (¤) viene prevalentemente riflessa a 90° e si

E r

E r θ

N

Parete riflettente

Prisma di

Littrow

2.2 Impulsi laser ultra-corti

Con la tecnica del mode-locking e un laser a banda larga (tipicamente al titanio- zaffiro) si possono ottenere impulsi di luce della durata di pochi femtosecondi in molte regioni dello spettro.

Si parte da una cavità che permette al laser a banda larga di lavorare in multi- modo (Fig. 7)

Fig. 7

I diversi modi (frequenze armoniche) interferiscono tra loro (Fig. 8 in alto) e, propagandosi nella cavità, producono un massimo di interferenza molto corto che si propaga anch’esso (Fig. 8 in basso) e passa nel vuoto attraverso lo specchio semitrasparente.

Fig. 8

I laser al femtosecondo sono largamente usati nell’ottica non-lineare, nella studio della cinetica chimica (premio Nobel del 1999 a A. H. Zewail) , e negli esperimenti pump-probe in cui un primo impulso eccita il sistema e il secondo ne studia le proprietà spettrali fuori-equilibrio.

3) Le sorgenti di luce a stato solido

3.1) Cenni sui semiconduttori drogati

Si e Ge sono atomi tetravalenti. Nei loro reticoli si possono inserire per sostituzione atomi donori di valenza 5 (As, P) oppure atomi accettori (B, Al) di valenza 3. Si ottengono così semiconduttori drogati, che hanno rispettivamente elettroni e lacune (cariche positive, dette anche buche) in eccesso.

Infatti il cristallo deve rimanere neutro. Perciò, prendendo ad esempio, un donore As in Si, 4 dei suoi elettroni saturano i legami con

altrettanti atomi di Si (v. fig. 9) mentre il quinto rimane legato allo ione As⁺ su un’ampia orbita idrogenoide. La sua energia

di legame è debole, circa 20 meV, a causa dell’elevata costante dielettrica del Si (ε = 11) e di una forte rinormalizzazione della massa

dell’elettrone nel cristallo (massa efficace). Così a temperatura ambiente As èionizzato e il Si si arricchisce di elettroni liberi. Si dice

che è drogato n. Analogamente, il Si drogato con B o Al si arricchisce a T ambiente di lacune libere: è drogato p. Facendo crescere un cristallo Si-n su uno Si-p si ottiene una giunzione p-n.

Fig. 9

3.2) La giunzione p-n

La giunzione tra due semiconduttori con drogaggio opposto è alla base della maggior parte dei dispositivi elettronici a stato solido. Si può realizzare con diversi metodi di preparazione:

1. Crescita dal fuso. Il semiconduttore allo stato fuso nel crogiolo contiene Si e, ad es., 10¹⁴/cm³ donori di P. Il cristallo cresciuto intorno al seme, ed estratto dal crogiolo raffreddandolo gradualmente, cresce con tale concentrazione ed è drogato n. Poi la crescita viene arrestata e si aggiungono al fuso, ad es., 3x10¹⁴/cm³ accettori. Quindi si riprende la crescita e l’estrazione dal fuso. Perciò la metà inferiore del cristallo contiene 2x10¹⁴/cm³ accettori in eccesso, sufficienti a drogarla p.

2. Crescita epitassiale. Dalla fase liquida o di vapore si depositano su un substrato di Si prima Si+P, poi Si+Al. Poiché le costanti reticolari dei tre sistemi sono circa uguali, si forma un unico cristallo che contiene la giunzione p-n.

3. Diffusione. Un substrato di Si drogato n viene scaldato a 1000 °C in un forno contenente vapori di B. Il B penetra nella superficie esposta compensando i donori e creando un eccesso di accettori, per una profondità d che cresce nel tempo. A distanza d dalla superficie si crea la giunzione.

4. Impiantazione ionica. Un substrato di Si drogato p (o n) viene esposto a un flusso di ioni di drogante opposto, accelerati a una energia E che varia fra il keV e il MeV. La loro profondità di penetrazione, e quindi quella a cui si forma la giunzione, è regolata da E e dalla massa degli ioni.

3.3) La giunzione p-n all’equilibrio

Per capire come funziona una giunzione, supponiamo di avere due semiconduttori drogati p e n, inizialmente separati, e di unirli idealmente in un secondo momento.

La zona occupata dalla barriera, cioè dalle impurezze nude, si chiama zona di svuotamento perché all’equilibrio è priva di portatori. Le sue larghezze, dalla parte p e dalla parte n, sono inversamente proporzionali alle intensità dei rispettivi drogaggi.

3.4) La giunzione polarizzata

Va notato che la zona di svuotamento, essendo priva di cariche libere, è una regione di resistenza elettrica molto maggiore del resto del semiconduttore, da entrambe le parti. Quindi la caduta di potenziale

€

V_c è quasi interamente al suo interno: la barriera è “ripida”. Ora, essa può venire abbassata applicandole (fig. 11) una d. d. p. V con il polo positivo sulla zona p (polarizzazione diretta della giunzione) o alzata applicandole una d. d. p.

con il polo positivo sulla zona n (polarizzazione inversa).

Il sistema non è più in equilibrio e

€

µ non è più lo stesso dalle due parti.

All’equilibrio (V=0), la corrente che attraversa la giunzione è

€

I≅0 perché solo i portatori di minoranza dalle due parti

possono superare la barriera (che li accelera come Fig. 11 su un piano inclinato).

In polarizzazione diretta la probabilità di superare la barriera, e quindi la corrente, è data da una legge alla Boltzmann:

€

I ∝ exp[−e(V_c− V ) /kBT] ∝ exp(eV /k_BT) dove il secondo passaggio vale non appena V supera un paio di volt.

In polarizzazione inversa, analogamente,

€

I∝exp(eV /k_BT)

dove però V<0 e quindi I è molto piccola. Queste tre situazioni si possono riassumere nella legge di Shockley (uno degli inventori del transistor), che vale per qualunque valore di V:

zona di svuotamento

PRIMA DOPO

Lo schizzo in fig. 10 mostra come, mettendo a contatto i due semiconduttori, i portatori di maggioranza di una zona (ad es. le lacune del semic. p) migrino nell’altro, dove diventano portatori di minoranza. Qui in parte si ricombinano con i portatori di segno opposto, lasciando donori nudi nella zona n e accettori nudi nella zona p.

Questo doppio strato crea alla giunzione una barriera di potenziale che cresce finché non è abbastanza alta da impedire la migrazione di altri portatori in entrambi i sensi. All’equilibrio, la sua altezza in energia è

€

eV_c, dove

€

V_c si chiama potenziale di contatto.

Fig. 10

€

I=I₀[exp(eV /k_BT) −1]

dove

€

I₀ è la piccola corrente dei portatori di minoranza in polarizzazione inversa. La legge è graficata nella fig. 12.

I

€

I₀ V

Fig. 12

3.5) Il LED (Light Emitting Diode) Quando

• il semiconduttore drogato non è il Si (dove la ricombinazione non è effciente), ma un composto III-V (GaAs, InAs, ecc.)

• la giunzione è polarizzata direttamente e

• lo spessore della zona di svuotamento è maggiore della lunghezza di diffusione dei portatori

si ha una forte ricombinazione radiativa elettrone-lacuna con emissione di radiazione e. m. di frequenza

€

ω =ε_g/!

. Questo dispositivo è un LED: gli intervalli spettrali tipici di emissione sono l'infrarosso vicino e il visibile.

La sua performance è misurata dalla efficienza quantica

€

η= numero di fotoni emessi numero di coppie che si ricombinate

che è molto vicina a 1. Tuttavia, l’efficienza reale si riduce a pochi percento, perché la grande differenza di indice di rifrazione tra il semiconduttore e l'aria provoca un'alta riflettività dell'interfaccia verso l'interno e quindi la maggioranza dei fotoni emessi rientra nel LED.

Se il diodo, anziché essere alimentato in cc, viene sottoposto a sequenze di

impulsi e accoppiato a una fibra ottica (che tipicamente è trasparente nel

vicino IR e nel visibile), diventa un generatore di segnali ottici per le

telecomunicazioni.

3.6) Il LASER a stato solido Se:

• le estremità del semiconduttore vengono lavorate otticamente (cioè rese lisce e parallele fra loro entro un errore più piccolo di

€

λ /4

, dove

€

λ

è la lunghezza d'onda della radiazione emessa,

• la lunghezza del LED è, entro

€

λ/4

,

€

L =nλ

dove n è un numero intero

• le perdite radiative sono abbastanza basse da mantenere attiva l'emissione stimolata

lo spazio occupato dal LED si trasforma in una cavità ottica, sede di onde stazionarie, la radiazione emessa dal LED viene riflessa dalle pareti rinforzandosi a ogni passaggio e il LED diventa un LASER.

I laser di nuova generazione utilizzano, al posto di semiconduttori tradizionali omogenei, eterostrutture, cioè microstrati sovrapposti e alternati di semiconduttori con gap diversa: ad es. GaAs/AlGa

As

.

In questo modo si può variare a piacimento - entro certi limiti - il valore della gap e quindi la frequenza della luce emessa. Altri vantaggi si ottengono, in termini di densità degli stati elettronici e di mobilità dei portatori, per il fatto che questi scorrono all'interno dei microstrati, i quali formano guide quasi bidimensionali chiamate pozzi quantici o quantum

3.7) Il Laser a cascata quantica (Quantum Cascade Laser, QCL)

Il QCL è stato ideato e realizzato nei Bell Labs di Murray Hill, nel 1994, da Federico Capasso e collaboratori. E’ basato sul principio dei pozzi quantici (quantum wells):

materiali ottenuti depositando alternativamente uno sull’altro due semiconduttori

diversi (ad es., GaAs e InAs). Così, gli elettroni che si muovono nella banda di

conduzione del semiconduttore a gap più piccola (E’) non possono saltare in quello

accanto perché i primi stati disponibili sono a energia troppo alta E”. Devono quindi

muoversi in un sottilissimo strato di spessore L, nel piano xy (Fig. 13), confinato da

barriere di potenziale nella direzione z (Fig. 14) E”-E’.

Fig. 13

E’

Fig. 14 Fig. 15

Il confinamento in 2 dimensioni trasforma, per un noto effetto quantistico, il continuo degli stati elettronici in livelli discreti: così si creano in ogni QW stati fondamentali E

e eccitati E

(Fig. 15). Infine, applicando un campo elettrico lungo z, regolato per ottenere l’andamento del potenziale in Fig. 16, gli elettroni attraversano le barriere per effetto tunnel, e ogni volta emettono un fotone identico a quello emesso nella buca precedente. Si ottiene così radiazione coerente, intensa e pulsata a piacimento (basta spengere e accendere il campo elettrico per arrestare l’emissione, anche alla frequenza di parecchi MHz. Inoltre la frequenza di emissione, tipicamente nel medio IR, è tunabile modificando la cavità in cui è inserito il QCL.

Direzione di crescita z

E

”

E

E

4) SORGENTI INCOERENTI A RIGHE

Sfruttano la diseccitazione radiativa di atomi che si eccitano per collisioni a temperature elevate. Sono utilizzate come standard di frequenza (doppietto del sodio, spettro dei vapori del Hg). Possono aversi diverse forme di riga (Fig. 17)

Fig. 17 Forme di riga (con ∫

(

)

+∞

∞

−

,

) lorentziane

( )

0 0

1 1 g 2

!"

$ #

%

&

ν Δ

ν

− + ν ν Δ

=π ν

ν,

(T. di F. di processi che decadono esponenzialmente nel tempo) o gaussiane

Fig. 16

( )

!

!

"

#

$

$

%

&

'(

* ) + ,

ν Δ

ν

−

− ν π ν

=Δ ν

ν 2 2 2 2

g

2 0

0 ln exp ln

,

(da distribuzione statistica di velocità (liquidi o gas) o di strutture locali (solidi)).

1.3) SORGENTI INCOERENTI CONTINUE

La migliore sorgente continua è un corpo nero in equilibrio a temperatura T (emissività

), che segue la legge dell’emissione di Planck

I(ν)=2hν³ c²

1

exp(hν/ k_BT )−1

Da essa deriva che l’intensità totale del corpo nero è

(legge di Stefan- Boltzmann) con

e che il picco di emissione si sposta con T secondo la legge di Wien (Fig. 18)

λ_mT=cost=2898 µm ⋅ K

.

Le sorgenti reali, che emettono seguendo approssimativamente la legge del corpo nero ma con

, sono chiamate corpi grigi.

Il globar (o glow-bar) è una sbarretta di carburo di silicio riscaldata da una corrente a T

. Ha un’emissione di corpo nero centrata a

o

(medio IR).

Fig. 18 Intensità emessa del corpo nero

a varie T per unità di lunghezza d’onda

La lampada a filamento di tungsteno è un corpo grigio con

e picco di emissione sul visibile. Il tipo alogeno lavora a

, scaldando iodato di tungsteno tra le pareti e il filamento.

Lampade ad arco. Funzionano con scariche in un gas: es. Hg nel visibile e D

nell’UV. Presentano spettri di corpo nero con sovrapposte righe strette (Fig. 11).

Fig. 19

5) LA RADIAZIONE DI SINCROTRONE

E’ emessa per perdita di energia radiativa dagli elettroni che circolano a velocità prossime a quella della luce negli ANELLI DI ACCUMULAZIONE (pin precedenza nominati “sincrotroni”).

Fig. 20

L'anello può far girare al suo interno elettroni o positroni e contiene (Fig. 21):

• Il sistema di iniezione (Linac + Booster) Il Linac è l’acceleratore lineare che accelera gli elettroni, estratti da un metallo per effetto termoionico o fotoelettrico, fino all’energia desiderata. Questi vengono iniettati nel booster, un “anellino” che solitamente si trova al centro dell’anello , dove gli elettroni girano in attesa di essere iniettati, a intervalli di pochi minuti, nell’anello principale. Le energie degli elettroni variano fra 2 e 8 GeV.

• La camera da vuoto in cui girano gli elettroni ( p≈10⁻¹⁰mbar)

• La cavità a radiofrequenza che a ogni giro rifornisce gli elettroni dell’energia perduta per le perdite radiative (di qui il nome “sincrotrone”). E’ la parte più delicata e complessa della macchina.

• I magneti curvanti (dipoli)

• Quadrupoli ed Esapoli per la focalizzazione continua del fascio.

• Ondulatori e Wigglers (Insertion Devices, v. oltre)

• Sistemi di controllo

• Schermi di radiazione e monitoraggio

• Centrale di alimentazione (molti MW).

Fig. 21

Magneti dipolari → curvano il fascio

quadrupolari, ecc. →focalizzano il fascio

Cavità r.f. cede energia ai pacchetti in sincronismo col moto orbitale;

compensa le perdite per irraggiamento.

Vuoto ultra-alto (≈10⁻¹⁰ torr⇒1urto/1000km)

Ondulatori e fanno fare “serpentine” agli elettroni per far loro emettere radiazione Wigglers dalle sezioni diritte (to wiggle: “dimenarsi”

PARAMETRI DELL’ANELLO

• La corrente I (decadrebbe esponenzialmente nel tempo se non venisse ripristinata dal booster). Valori di picco: 200 - 1500 mA

• L’energia E (2 – 8 GeV). Per gli elettroni γ =E^/m0c² =

[

]

• Il numero di pacchetti (bunches) Nb=1 – 120, di lunghezza σ_L =τσ_τ ≈10cm

• Le dimensioni del fascio σ_x e σ_z (10⁻² ÷1mm) (x coordinate radiale; z coordinata ortogonale al piano dell’orbita; s coordinata curvilinea)

• Il raggio di curvatura ρ=cE /B; ρ≈metri<< raggio medio dell’anello

• Le emittanze εx e ε_z, misurano una “deviazione” del fascio dall’orbita ideale sia come posizione trasversale e verticale, rispettivamente, che come direzione della velocità degli elettroni.

Valori tipici: 10⁻⁷ ÷10⁻¹⁰rad⋅m. Emittanze più basse ⇒fascio migliore.

• La vita media del fascio τ_b ≈ore. E’ il tempo in cui I si riduce a 1/e del suo valore iniziale.

Fig. 22. Le linee di luce di sincrotrone (beamlines) sull’anello ELETTRA di Trieste

• IL MONOCROMATORE (L’INTERFEROMETRO)

• IL SISTEMA DI CONTROLLO

• LA CAMERA SPERIMENTALE

• I RIVELATORI GEIGER (BOLOMETRI E FOTORESISTENZE)

• IL SISTEMA DA VUOTO

5.1 Emissione di radiazione da elettroni relativistici accelerati.

Una carica -e se è accelerata emette radiazione elettromagnetica di potenza (in unità CGS):

W =2 3

e² c³

d²! r dt²

2

Una carica elettrica –e può essere mantenuta su un’orbita circolare, con un campo magnetico B ortogonale al piano dell’orbita, grazie alla forza di Lorentz (centripeta):

F! =−e ! v × !

B ⇒ F=e v B Dal secondo principio della dinamica:

F! =F= m_e!

a_C =m_ev²

ρ ⇒ ρ = m_ev² F = m_ev

e B

(raggio dell’orbita) Fig. 23

Se β=v/c, la radiazione elettromagnetica di potenza W emessa per l’accelerazione centripeta è isotropa nel caso A, fortemente direzionale in B.

A) Caso classico: β<<1 (figura 24 in alto) B) Caso relativistico: β≅1 (figura 24 in basso)

Infatti la trasformazione relativistica tra il tempo t' dell'elettrone e il tempo t del laboratorio, come è dimostrato sotto, riduce di ordini di grandezza dt/dt' a bassi angoli, e quindi vi esalta l'accelerazione a ∝ dt^-2 e la potenza nel sistema del laboratorio W∝ a². Sia n il versore del vettore posizione R. Allora (Fig. 25):

Fig. 24

Fig. 25

Br

Fr ρ

vr -e

€

R (t')! = ! x −!

r (t') t =t'+

R (t')⋅! ! n (t') c dt =dt'+1

cd! R (t')⋅ !

n (t')+1 c

R (t')⋅! d!

n (t')=dt'−1 cd!

r (t')⋅ ! n (t') dt

dt' =1−1 c

d! r (t')

dt' ⋅n (t')! =1−!

β (t')⋅ n (t')! =1−βcosθ Per angoli piccoli intorno alla tangente :

cosθ = 1−θ² ≈1−θ²

2 Inoltre : E

mc² =γ = 1

1−β^{2 →}β² =1− 1

γ^{2 →1−}β=1− 1−γ² ≈ 1

2γ^{2 <<1 (}γ =1957E(GeV )≈10³ ÷10⁴) 1−βcosθ ≈1−(1− 1

2γ²⁾⁽¹⁻ θ²

2 )≈ 1 2γ^{2 +}

θ² 2 ⇒ dt

dt'≈1 2( 1

γ^{2 +}θ²) Per θ < 1

γ ^⇒ dt dt'≈ 1

γ^{2 ≈10}

−6 ÷10⁻⁷

dove nella terza linea si è considerato che n è costante in modulo e dn

R. Così lo

“strizzamento” (squeezing”) del tempo del laboratorio concentra tutta la potenza in un piccolo angolo di emissione

1/

mrad, aumentando enormemente la brillanza (intensità per unità di angolo solido) nella direzione tangente alla traiettoria (Fig. 26).

Fig. 26

Tutto questo vale per piccole lunghezze d’onda della radiazione. La divergenza non

è

ma diventa

per

(ad es. nell’infrarosso lontano).

5.2) SPETTRO DELLA RADIAZIONE DI SINCROTRONE Lo spettro da magnete curvante è essenzialmente “bianco”, ma limitato a una frequenza superiore ω_max perché l’osservatore A riceve un breve impulso di radiazione di durata τ. Infatti (v.

sopra) la divergenza naturale orizzontale è ≈1 γ . Perciò A comincia a vedere radiazione quando e è in P e smette quando è in P’ (Fig. 27). Perciò POP'^∧ =1

γ . Se x=P'A, la luce impiega un tempo ^PA

c =PP '+x

c da P ad A, e c

x da P’ ad A. Perciò se

βc ργ

=

τ 1 1

0 è il tempo di transito di e lungo l’arco PP’, ed essendo

γ

≅ρ ρ γ

= 2

2 1

PP' sin si ha (Fig. 28): Fig. 27

!!"

#

$$%

&

β− γ

= ρ + +

− τ

=

τ PP x x 1 1

0 c c c

'

Fig. 28

Per ₂

1 2 1

2 1 1 1 1

1

v ## ≅ + γ

$

%

&

&

' (

− γ

= β

⇒

>>

γ

⇒

≅

−

c − ; allora l’osservatore vede luce per un tempo

3c 2γ

≅ ρ τ

Quindi il campo medio visto da A è, se G(t) è la funzione a gradino (=1 fra 0 e τ e nulla altrove),

E =1

τ E₀e^−iωtdt =1

τ E₀G(t)e^−iωtdt

0

∞

∫

0

τ

∫

tempo

τ τ

c x

PP ' + x c

e in P luce da P in A

e in P’ luce da

P’ in A

I

Si avrà luce fino al primo nodo della funzione sinc² (Fig. 29) cioè fino a

ρ

≈ γ

≈ τ

ω c

max

3

1 2

.

Impulso unitario di durata τ (nel grafico τ =2) T.F. di un impulso unitario di durata τ (τ =2)

Fig. 29 Si definisce frequenza critica ω_c quella per cui si ha:

( ) ∫ ( )

∫

+∞

ω ω

ω ω Φ

= ω ω Φ

c c

d d

0

.

Il flusso Φ

( )

3 1 4 c 2

3 c

c ≈

γ ρ

= π ω

= π

λ Å_⇒ raggi X.

Lo spettro si riporta di solito in scala log-log:

Fig. 30 Riassumendo:

La radiazione emessa da elettroni relativistici su una traiettoria curva è:

• polarizzata con il campo elettrico nel piano dell’orbita

• pulsata (le cariche ruotano in pacchetti, la cui frequenza di ripetizione può essere variata) Fig. 13

• priva di rumore termico

• quasi collimata verticalmente (e anche orizzontalmente selezionando l’emissione da un piccolo arco di orbita); per piccole lunghezze d’onda, la divergenza naturale è circa 1/γ.

5.3) ONDULATORI E WIGGLER

L’ ondulatore è una fila di magneti dipolari a poli alternati inserita nei tratti diritti del sincrotrone (Fig. 31). I sincrotroni di terza generazione estraggono la radiazione X prevalentemente da ondulatori e wiggler (ondulatori ad alto campo magnetico).

Fig. 31

• Campo magnetico nell’ondulatore:

B_x=B₀sin2 π z λ₀

• Parametro che misura la forza di ondulatore:

K= eλ₀B₀ 2π m_ec

• Condizione di coerenza per la radiazione dovuta all’ondulatore:

(tempo di transito dell’elettrone/positrone)=(tempo di transito del fotone)+(periodo del fotone)

La condizione di interferenza costruttiva fra l’emissione di un dipolo e quella del dipolo successivo determina la lunghezza d’onda λ della radiazione di sincrotrone:

c c c

' λ

λ + β=

λ_{0 0}

per K ≈1 (regime di ondulatore).

dove λ₀ c è il ritardo del fotone, λ c è il periodo della radiazione, β λ₀ c

' è il ritardo dell’elettrone.

Inoltre λ'₀ è la distanza effettiva coperta dall’elettrone sulla traiettoria curvilinea tra due poli omologhi dell’ondulatore sotto il campo B . Si ottiene ₀

!!"

#

$$%

&

+ γ λ

=

λ ₂

2 0

0 4

1 K

' ¹.

Allora si ha emissione coerente per:

!!"

#

$$%

&

γ +

= λ

λ 2

1 K 2

2 2

0

La Fig. 32 mostra il suo spettro di emissione (potenza per unità di lunghezza d’onda).

Fig. 32

Per K>>1 l’ondulatore viene chiamato wiggler (Spettro di Fig. 33).

Fig. 33