P 21/3/2006 C P

C

P

P

21/3/2006

Esercizio 1

Un pendolare si reca sul posto di lavoro utilizzando un mezzo pubblico nel 65% dei giorni lavorativi e la propria auto in tutti gli altri giorni lavorativi.

Il pendolare arriva in orario al lavoro con probabilità 0.55 quando si serve del mezzo pubblico e con probabilità 0.85 quando usa l’auto.

(1.1) Si determini la probabilità che il pendolare arrivi in orario al lavoro.

(1.2) Si calcoli la probabilità che il pendolare abbia utilizzato l’auto dato che è giunto in orario sul posto di lavoro.

(1.3) Si calcoli la probabilità che il pendolare abbia utilizzato il mezzo pubblico dato che non è arrivato in orario al lavoro.

Definiti gli eventi A = il pendolare usa l’auto,

M = il pendolare usa il mezzo pubblico, L = il pendolare arriva in orario al lavoro, (1.4) si stabilisca se A e L sono indipendenti, motivando la risposta;

(1.5) si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta.

Quesito

Si dimostri che se A, B e C sono tre eventi indipendenti, allora P(ABC) = 1 – [1 – P(A)] [1 – P(B)] [1 – P(C)].

Esercizio 2

(2.1) Si trovi il valore del parametro  per cui la tabella seguente definisce la funzione di probabilità di una v.c. unidimensionale X.

x 0 1 2

p(x) 1/2  2

(2.2) Si calcolino P(0.5<X<2.5) e P(X>2).

(2.3) Si calcolino il valore atteso e la varianza della v.c. X (2.4) Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X.

(2.5) Data una generica funzione di ripartizione F, esiste sempre almeno un valore della variabile x per cui F(x) = ½? Si motivi la risposta.

Soluzioni Esercizio 1

Sono date P( A ) = 0.35, P( M ) = 0.65, P( L | A ) = 0.85 e P( L | M ) = 0.55.

(1.1) P( L ) = P( L | A ) P( A ) + P( L | M ) P( M ) = 0.2975 + 0.3575 = 0.655.

(1.2) P( A | L ) = P( L | A ) P( A ) / P( L ) = 0.2975 / 0.655 = 0.4542.

(1.3) P( M |L ) = [1 - P( L | M )] P( M ) / [1 - P( L )] = 0.2925 / 0.345 = 0.8478.

(1.4) P( A | L ) > P( A )  A e L non sono indipendenti.

(1.5) A e M sono incompatibili  A e M non sono indipendenti.

Esercizio 2

(2.6) La funzione p(x) rappresenta la f.p. di una v.c. X per  = 1/6:

x 0 1 2

p(x) 1/2 1/6 1/3 (2.7) P(0.5<X<2.5) = P(X=1) + P(X=2) = ½ e P(X>2) = 0.

(2.8) E(X) = 0 + 1/6 + 4/6 = 5/6 e Var(X) = E(X²) – E(X)² = 3/2 – (5/6)² = 29/36 = 0.81, essendo E(X²) = 0 + 1/6 + 8/6 = 3/2.

(2.9) La funzione di ripartizione della v.c. X è data da:

F(x) = 0 per x<0, F(x) = ½ per 0x<1, F(x) = 2/3 per 1x<2 e F(x) = 1 per x2.

(2.10) No, perché ….