Interpolazione polinomiale e cubatura algebrica su sottoregioni della sfera

Interpolazione polinomiale e cubatura algebrica

su sottoregioni della sfera

Candidato: Mariano Gentile

Relatore: Dott. Alvise Sommariva Correlatore: Prof. Marco Vianello

A.A. 2012/2013

Indice

Cubatura algebrica

Cubatura algebrica su Sd

Cubatura algebrica su S

Sd:= {x ∈ Rd +1: kxk = 1}

coordinate ipersferiche con φ ∈ [0, 2π], θi ∈ [0, π]

                  

x1 = cos(φ) sin(θd −2) . . . sin(θ1)

x2 = sin(φ) sin(θd −2) . . . sin(θ1)

x3 = cos(θd −2) sin(θd −3) . . . sin(θ1)

x4 = cos(θd −3) sin(θ3) . . . sin(θ1)

. . .

xd −1 = cos(θ2) sin(θ1)

xd = cos(θ1)

elemento di volume sind −2(θ1) sind −3(θ2) . . . sin(θd −2)

Cubatura algebrica su S

Cubatura algebrica su S

Cubatura algebrica su S

Proposizione

(ξj, λj)_{1≤j ≤n+1} nodi e pesi (positivi) della formula di quadratura algebrica

Gaussiana relativa alla funzione peso:

W(x) = _q 2 sin(ω/2) 1 − sin2(ω/2)x2 , x ∈ (−1, 1) Allora Z ω −ω f (θ)d θ = n+1 X j =1 λjf (φj), f ∈ Tn([−ω, ω]), 0 ≤ ω ≤ π (1) dove φj = 2 arcsin(sin(ω/2)ξj) ∈ (−ω, ω), j = 1, 2, . . . , n + 1

spazio dei polinomi trigonometrici

Cubatura algebrica su S

Teorema

I _{p ∈ P}n(R), R ⊂ Sd

I λji e θi ,ji, φjd: pesi e nodi come in (1)

I intervalli: [τi ,s, τi ,f] e [γs, γf] definiti in R

I gradi: n + (d − 1), n + (d − 2),..., n

I siano: ξj1,...,jd = ξ(θ1,j1, θ2,j2, . . . , θd −1,jd −1, φjd)

Allora la formula di cubatura:

QR,n(p) = n+d X j1=1 n+d −1 X j2=1 · · · n+2 X jd −1=1 n+1 X jd=1 λj1...jdp(ξj1,...,jd) (2)

avente (n + d ) . . . (n + 1) =(n+d )!_n! nodi, e pesi λj1...jd = λj1. . . λjdsin

d −1

(θ1,j1) sin d −2

(θ2,j2) . . . sin(θd −1,jd −1)

Regolarit`

_{a dei pesi di una formula di cubatura su S}

Teorema

per ogni y ∈ Sd_{, con C(y, µ/πn) cupola di centro y e raggio µ/πn, e la}

Cubatura algebrica su cupole di S

Teorema

(ξj, λj)_{1≤j ≤n+1} nodi e pesi (positivi) della formula di quadratura algebrica

Gaussiana relativa ad una funzione peso simmetrica tale che:

f

W(x) = g (θ(x))W(x) = g (θ(x))_q 2 sin(ω/2) 1 − sin2(ω/2)x2

, x ∈ (−1, 1)

con θ(x ) = 2 arcsin(sin(ω/2)x ). Allora

Cubatura algebrica su cupole di S

Corollario

(ξj, λj)_{1≤j ≤n+1} nodi e pesi (positivi) della formula di quadratura algebrica

Gaussiana relativa alla funzione peso (simmetrica):

Cubatura algebrica su cupole di S

Teorema

I C_{= C(z, γ) ⊂ S}2

e p ∈ Pn(C)

I (λj1, θj1), e (eλj2, φj2) pesi e nodi come in (4) e in (1)

I intervalli: [−γ, γ] e [0, 2π] I grado    θ φ n n n dispari n n + 1 n pari I siano ξj1,j2:= ξ(θj1, φj2)

Allora la seguente formula di cubatura `e esatta:

e QC,n(p) := ( _Pn+1 j1=1 P(n+1)/2 j2=1 λj1eλj2p(ξj1,j2) se n dispari Pn+1 j1=1 P(n+2)/2 j2=1 λj1eλj2p(ξj1,j2) se n pari (6)

Esempi su S

R1:= {x ∈ S2: φ ∈ [0.2, 1.2], θ ∈ [0.5, 1.2]}

R2:= {x ∈ S2: φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0.8, 1.4]}

f = 1/x2

3 cubatura con grado 15 con 272 nodi

Regione Integrale numerico Errore assoluto Errore relativo R1 1.62020967400786 5.40 E − 09 3.33 E − 09

Esempi su cupole di S

R_{:= {x ∈ S}2: φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0, π/4]} p(x1, x2, x3) = x16x26x32di grado 14 pari, 113 nodi

Regione Integrale numerico Errore assoluto Errore relativo R 1.282566477477773 E − 05 8.80 E − 20 6.86 E − 15

p(x1, x2, x3) = x16x26x33di grado 15 dispari, 128 nodi

Interpolazione su S

I _{f : Ω ⊂ S}2_{→ R continua}

I cerchiamo un polinomio interpolante su un set di punti unisolventi x1, . . . , xM∈ Ω ove M = dim(Pn(S2))

I φ1, . . . , φM base ordinata di Pn(S2), affinch`e il problema sia ben

posto, bisogna che

Interpolazione su S

I costante di Lebesgue Λ(X) := maxx ∈ΩP M

i =1|Li(x )|

X insieme dei punti di interpolazione

f continua su Ω allora vale:

Interpolazione su S

I costante di Lebesgue Λ(X) := maxx ∈ΩP M

i =1|Li(x )|

X insieme dei punti di interpolazione

f continua su Ω allora vale:

Interpolazione su S

I PROBLEMA: minimizzare la costante di Lebesgue

I punti di Fekete: massimizzano det(Vn(x1, . . . , xM))

stima della costante di Lebesgue Λ(X) ≤ M

Interpolazione su S

I PROBLEMA: minimizzare la costante di Lebesgue

I punti di Fekete: massimizzano det(Vn(x1, . . . , xM))

stima della costante di Lebesgue Λ(X) ≤ M

NOTI ANALITICAMENTE IN POCHI E SEMPLICI CASI

Interpolazione su S

DEFINIZIONE

Dato Ω ⊂ Rd _{compatto e determinante per i polinomi, una Weakly}

Admissible Mesh `e una sequenza di sottoinsiemi discreti An⊂ Ω tali che

per ogni numero naturale n

kpkΩ6 C (An)kpkAn, ∀p ∈ Pn

ove sia la cardinalit`a di An sia la costante C (An) (indipendente da p)

crescono al pi`u polinomialmente con n.

Interpolazione su S

DEFINIZIONE

Dato Ω ⊂ Rd _{compatto e determinante per i polinomi, una Weakly}

Admissible Mesh `e una sequenza di sottoinsiemi discreti An⊂ Ω tali che

per ogni numero naturale n

kpkΩ6 C (An)kpkAn, ∀p ∈ Pn

ove sia la cardinalit`a di An sia la costante C (An) (indipendente da p)

crescono al pi`u polinomialmente con n.

Interpolazione su S

Propriet`a delle WAMs:

I sequenze di insiemi discreti unisolventi per l’interpolazione la cui costante di Lebesgue cresce al pi`u polinomialmente con n `e una WAM;

I un prodotto cartesiano finito di WAM `e una WAM per il corrispondente prodotto dei compatti;

Interpolazione su S

Siano ξj zeri di T2n+1(·) = cos(n arccos(·))

ξj := ξj(n) = cos

 (2j − 1)π 2(2n + 1)



∈ (−1, 1), j = 1, 2, . . . , 2n + 1

allora i punti angolari, zeri di T2n+1(sin(θ/2)/α)

Interpolazione su S

Teorema

R= Rγi,γf,τi,τf = {x(φ, θ) ∈ S 2

: γi ≤ φ ≤ γf, τi≤ θ ≤ τf} ⊂ S2

Allora la griglia di punti

Interpolazione su cupole S

Teorema

C_{(z, γ) ⊂ S}2 Allora la seguente griglia di punti

Esempi di interpolazione

R1:= {x ∈ S2: φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0.8, 1.4]}

R2:= {x ∈ S2: φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0, π/3]}

p(x1, x2, x3) = x13x23x34, WAM di grado 7

Regione punti WAM-Fekete Errore max (deg 7) Errore max (deg 10) R1 225 − 64 5.06 E − 07 8.23 E − 18

Sviluppi futuri

I Costruire funzioni peso simmetriche come in (3) adatte a ridurre i nodi di cubatura su anelli, slice e altre regioni in S2

I Generalizzare tali costruzioni per ridurre i nodi di cubatura anche su regioni della sfera Sd