LUISS
Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2006/2007
Corso di “Metodi Matematici per le Scienze Economiche e Finanziarie”
Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni, Dr.ssa Alessandra Cretarola Esame scritto del 16/05/2007
1. Data la matrice ˆA =
0 a2
1 0
determinare al variare di a (con a > 0) la matrice eA.
2. Siano X = R e T = R. Scrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale x000(t) + x00(t) − x0(t) − x(t) = (t + 1)e−t.
3. Data l’equazione differenziale x0(t) = x3(t) − 2x2(t) + 1, determinare quanti sono i punti di equilibrio e discutere la loro stabilita’.
4. Dato il sistema di equazioni alle differenze lineare e omogeneo in IR2: xn+1= ˆAxn, con ˆA =
1 2
1 2 1 2
1 2
!
determinarne:
i) la soluzione generale,
ii) i punti di equilibro e la loro stabilit`a,
iii) la soluzione particolare passante al tempo n = 1 per x0=1 1
.
5. Si consideri il sistema lineare Ax = b per x ≥ 0, dove A e’ la matrice
3 1 −1
−1 4 3
e b e’ un vettore di R2.
(a) Disegnare il cono finito C = {Ax : x ≥ 0}.
(b) Trovare almeno un vettore b tale che il sistema ammetta soluzione x ≥ 0.
(c) Sia b = (−1, 0)T. Stabilire se il sistema Ax = b ammette soluzione per x ≥ 0. In caso negativo, trovare almeno un vettore y tale che yTA ≥ 0, yTb < 0.
