I problemi classici della

I problemi classici della geometria greca

Prof. Daniele Ippolito

Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia

Le costruzioni con riga e compasso

Per i greci, le costruzioni geometriche dovevano avvenire esclusivamente con l'uso di una riga e di un compasso non graduati, ossia senza la possibilità di misurare segmenti o di tracciare circonferenze con la stessa apertura di altre.

Le operazioni di base effettuabili con riga e compasso sono descritte nei primi tre postulati di Euclide:

1) Per ogni coppia di punti distinti è possibile tracciare la retta che li congiunge.

2) Ogni retta si può estendere infinitamente.

Primi due postulati di Euclide

3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

Terzo postulato di Euclide

Le prime proposizioni degli “Elementi” di Euclide sono costruzioni con riga e compasso di figure geometriche:

P1) È possibile costruire un triangolo equilatero di lato fissato.

P3) È possibile “trasportare” un segmento su una retta.

Trasporto di un segmento su una retta

I tre problemi classici irrisolti

I matematici greci si pongono l'obiettivo di costruire con riga e compasso il maggior numero possibile di figure geometriche.

Tra i tanti problemi irrisolti, tre assumono una certa rilevanza:

1) La rettificazione della circonferenza:

Data una circonferenza, costruire un segmento di lunghezza pari a quella della circonferenza.

Il problema equivale a costruire geometricamente

il numero 2π. 2 r

Problema equivalente alla rettificazione della circonferenza è quello della quadratura del cerchio:

Data un cerchio, costruire un quadrato di area pari a quella del cerchio.

Il problema equivale a costruire

geometricamente il numero √π.

2) La duplicazione del cubo:

Dato un cubo, costruire un altro cubo avente volume doppio.

Il problema equivale a costruire geometricamente il numero

radice cubica di 2.

3) La trisezione dell'angolo:

Dato un angolo qualsiasi, costruire un angolo di ampiezza pari ad un terzo del primo.

Il problema equivale a costruire geometricamente la soluzione dell'equazione di terzo grado: 4x

– 3x – k = 0 (k dipende dall'angolo considerato).

Per alcuni angoli notevoli, il problema è risolubile. Ci si

chiede se sia risolvibile per un angolo qualsiasi.

L'insolubilità dei tre problemi

La dimostrazione dell'impossibilità di risolvere i tre problemi classici della geometria greca ha impegnato generazioni di matematici.

Con l'introduzione della geometria analitica con Cartesio, i tre problemi sono stati tradotti nella costruzione di numeri reali.

È noto che è possibile, con l'uso della sola riga, costruire geometricamente qualunque numero razionale: a/b.

Con l'aggiunta del compasso, è possibile costruire

geometricamente la radice quadrata di qualunque numero

razionale.

Nel 1837, Pierre Wantzel dimostra due criteri di insolubilità delle costruzioni con riga e compasso:

1) Non sono costruibili i segmenti le cui misure sono espresse da numeri trascendenti.

2) Non sono costruibili i segmenti le cui misure sono soluzioni di equazioni di terzo grado a coefficienti razionali, prive di soluzioni razionali.

In base al secondo criterio, non è possibile la duplicazione del cubo, perché la radice cubica di 2 non è un numero razionale.

Per lo stesso criterio, non è possibile la trisezione di un angolo

qualsiasi perché l'equazione: 4x

– 3x – k = 0 non ha

soluzioni razionali per ogni valore di k.

Nel 1882, Carl Lindemann dimostra che è un numero irrazionale.

In base al primo criterio di Wantzel, non sono possibili la

rettificazione della circonferenza né la quadratura del cerchio.