Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 1 - Ing. Meccanica M/Z - a.a. 2020/2021
SETTIMANA 1:
Numeri Reali: assiomi algebrici e d’ordine, assioma di completezza. Definizione di radice quadrata di 2. Numeri naturali, interi e razionali. L’insieme dei numeri razionali non verifica l’assioma di completezza (dim). Retta reale, funzione ascissa e valore assoluto. Intervalli. Maggiorante e minorante, insieme superiormente e inferiormente limitato, massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dim). Caratterizzazione di estremo superiore e inferiore.
SETTIMANA 2:
Proprietà Archimedea (dim). Estremo inferiore e superiore infiniti. Definizione di parte intera. Teorema di densita’ dei numeri razionali. Principio di induzione (dim), somma delle prime n-potenze (dim) e disuguaglianza di Bernoulli (dim).
Numeri Complessi: forma algebrica e forma polare. Somma e prodotto. Formula di De Moivre (dim) e radici n-esime di un numero complesso. Soluzioni di un’equazione algebrica di secondo grado complessa. Esponenziale complesso e forma esponenziale di un numero complesso, formule di Eulero.
SETTIMANA 3:
Successioni numeriche: limite di successione. Successioni convergenti. Teorema di unicità del limite (dim). Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti (dim). Prodotto di una successione limitata per una infinitesima (dim).
Successioni divergenti e regolari. Limiti di successioni potenza ed esponenziale.
Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno (dim) e conseguenze. Teorema del confronto tra limiti finiti (dim). Limiti notevoli di seno e coseno (dim).
SETTIMANA 4:
Successioni monotone. Teorema di regolarita’ delle successioni monotone (dim). Il numero di Nepero e disuguaglianza di Nepero. Limiti notevoli di esponenziale, logaritmo e potenze a esponente reale (dim). Relazione di asintotico e proprietà.
Esempi. Teorema del confronto tra limiti infiniti. Criterio del rapporto (dim) e gerarchia degli infiniti (dim). Ordine di infinito.
SETTIMANA 5:
Limite di funzioni reali. Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni (dim). Limiti notevoli. Funzioni limitate. Prodotto di una funzione limitata per una infinitesima. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Teorema sul limite delle funzioni composte. Funzioni asintotiche e proprietà elementari. Funzioni trascurabili (“o”
piccolo) e proprietà elementari.
SETTIMANA 6
Ordine di infinitesimo e di infinito. Teoremi della permanenza del segno (dim) e conseguenze. Teorema del confronto tra limiti finiti e infiniti. Funzioni monotone.
Estremo superiore e inferiore. Teorema sul limite di funzioni monotone (dim)
Funzioni continue, continuità delle funzioni elementari. Classificazione delle discontinuità, prolungamento per continuità.
Continuità di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue e della funzione composta. Continuità di funzioni definite a tratti. Teorema di esistenza degli zeri (dim) e metodo di bisezione. Approssimazione di radice di 2.
SETTIMANA 7
Primo Teorema dei valori intermedi (dim). Secondo Teorema dei valori intermedi (dim). Teorema di Weierstrass eTerzo Teorema dei valori intermedi. Teorema sulla continuità delle funzioni monotone (dim). Funzione inversa, funzioni iperboliche.
Teorema sulla monotonia delle funzioni iniettive continue e Teorema sulla continuità della funzione inversa (dim). Limiti notevoli di arcoseno e arcotangente. Funzioni inverse delle funzioni iperboliche.
Funzioni derivabili, interpretazione cinematica e geometrica: rette secanti e retta tangente. Formula degli incrementi finiti e funzioni differenziabili. Derivabilità delle funzioni elementari (dim). Derivata destra e sinistra. Continuità delle funzioni derivabili (dim). Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale.
SETTIMANA 8
Derivabilità di funzioni definite a tratti. Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni (dim. prodotto).
Regola di derivazione della funzione composta (dim). Derivata della funzione inversa (dim). Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat (dim), Teorema di Rolle (dim).
Teoremi di Lagrange (dim) . Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (dim). Criterio di monotonia (dim) e Criterio di monotonia stretta. Condizione sufficiente per l’esistenza di punti di massimo e di minimo relativo. Risoluzione di equazioni trascendenti e problemi di ottimizzazione. Funzioni convesse su un intervallo apert
