Introduzione agli Spazi Curvi

Introduzione agli Spazi Curvi

Indice

Indice... 2

Nota introduttiva ... 4

Prerequisiti ... 4

Spazi Euclidei ... 5

Misura di Distanze e Superfici in Spazi Euclidei con metriche piatte ... 5

Alcuni esempi in due dimensioni ... 6

Segmento su retta ... 6

Circonferenza ... 6

Area del quadrato ... 6

Area del cerchio ... 7

Alcuni esempi in tre dimensioni ... 7

Superficie della sfera ... 7

Sistemi Cartesiani e Coordinate curvilinee ... 7

Alcuni esempi di calcolo di metriche in coordinate curvilinee ... 8

Coordinate Cilindriche ... 8

Coordinate Sferiche... 8

Simboli di Christoffel ... 9

Alcuni esempi di calcolo di simboli di Christoffel ... 9

Calcolo dei simboli di Christoffel e del laplaciano per coordinate Cilindriche ... 9

Calcolo dei simboli di Christoffel e del laplaciano per coordinate Sferiche ...10

Trasporto parallelo ...11

Trasporto parallelo attorno a superficie infinitesima ...11

Tensore di curvatura e Scalare di Kretschmann ...12

Alcuni esempi di calcolo del tensore di curvatura ...13

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Cilindriche ...13

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Cilindriche restringendosi alla superficie del cilindro .13 Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Sferiche ...13

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Sferiche restringendosi alla superficie del cilindro ...13

Tensore di Ricci e Curvatura Scalare ...14

Alcuni esempi di calcolo del tensore di Ricci e della Curvatura scalare ...14

Calcolo del tensore di Ricci e della curvatura scalare sulla superficie della sfera ...14

Tensore di Einstein ...14

Alcuni esempi di calcolo del tensore di Einstein...15

Calcolo del tensore di Einstein sulla superficie della sfera ...15

Spazi di Minkowski...15

Metriche non definite positive ...15

Definizioni di indici Controvarianti e Covarianti ...15

Spazi Curvi ...16

Classificazione degli spazi ...16

Equazione di Einstein ...17

Alcuni esempi di classificazione degli spazi ...17

Coordinate Cilindriche ...17

Coordinate Sferiche...17

Sistema Ruotante ...17

Superficie del cilindro ...17

Superficie della Sfera...17

Spazio a due dimensioni a curvatura negativa costante ...17

Metrica di Schwarzschild ...18

Analisi delle singolarità della Metrica di Schwarzschild ...19

Metrica di Schwarzschild con costante cosmologica ...20

Metrica di Kerr ...21

Metrica di Reissner Nordstrom...22

Metrica di Kerr Newmann ...23

Cosmologia ...23

Principio Cosmologico ...23

Universi massimamente simmetrici...24

Necessità di introduzione della Costante Cosmologica ...24

Esperimenti di verifica della Teoria della Relatività Generale...25

Verifica del Principio di Equivalenza ...25

Redshift Gravitazionale ...25

Verifica dell’Equazione di Einstein ...25

Orbite Chiuse: precessione del Perielio ...25

Orbite Aperte: deflessione della luce ...28

Trasmissione: ritardo del segnale ...30

Verifica del Principio Cosmologico...31

Correzione al primo ordine dell’equazione di Poisson...32

Nota introduttiva

Queste dispense non sono un corso di geometria differenziale né di relatività generale, vogliono solo spiegare in modo semplice alcuni semplici concetti sugli spazi curvi, introdurre i tensori più importanti attraverso diversi esempi.

Prerequisiti

È consigliato avere le nozioni di spazio vettoriale, prodotto scalare, spazio metrico, metrica indotta da un prodotto scalare ed elementi di base di geometria differenziale, tuttavia non sono concetti essenziali.

È invece necessario conoscere il concetto di derivata parziale, vettore, sistema di riferimento cartesiano e non cartesiano, integrali, integrali multipli. È consigliabile anche avere un minimo di pratica col calcolo matriciale e con la convenzione di Einstein di somma sugli indici ripetuti.

Spazi Euclidei

Misura di Distanze e Superfici in Spazi Euclidei con metriche piatte

Uno Spazio Euclideo è uno spazio vettoriale arricchito di alcune nozioni come distanza e angolo, e con una metrica indotta da un prodotto scalare definito positivo.

In parole più povere: prendiamo uno spazio o un piano (gli unici “spazi” che possiamo immaginare).

Possiamo identificare i loro punti specificando un sistema di riferimento Cartesiano costituito dall’origine e da degli assi cartesiani, ed associando quindi ad ogni punto delle coordinate, che saranno le componenti di quelli che chiamiamo vettori. Tutte le caratteristiche geometriche del sistema saranno poi specificate da quello che si chiama tensore metrico. Esso è il tensore che specifica le lunghezze in ogni punto e direzione:

𝑑𝑙²= 𝑔_𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑖𝑑𝑥_𝑗

Con questa espressione indichiamo quanto è lungo (𝑑𝑙) un tratto di curva nella direzione indicata dal vettore infinitesimo formato dalla componenti 𝑑𝑥𝑖: ogni componente riceve un “peso” in lunghezza dato dal tensore metrico 𝑔𝑖𝑗. Per trovare la lunghezza di una curva basta prendere una parametrizzazione qualsiasi

𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖(𝑠), 𝑠 ∈ [𝑎, 𝑏]

Dove con 𝑥𝑖 indichiamo le singole componenti, ed integrare

𝑙 = � 𝑑𝑙 = � �𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑖𝑑𝑥_𝑗

𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = � �𝑔_𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑖

𝑑𝑠 𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑠 𝑑𝑠

𝑏 𝑎

Usando il tensore metrico è anche possibile calcolare superfici, e più avanti quelle che chiameremo iper superfici, ovvero oggetti in uno spazio di dimensione n che hanno meno di n dimensioni. Nel caso delle superfici per esempio avremo

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑠₁, 𝑠2), 𝑠₁ ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑠2∈ [𝑐, 𝑑]

E il tensore metrico che vale sulla superficie sarà

𝑔′𝑖𝑗= 𝑔𝑙𝑚𝑑𝑥_𝑙 𝑑𝑠_𝑖

𝑑𝑥_𝑚 𝑑𝑠_𝑗

𝑑𝐴 = �𝐷𝑒𝑡�𝑔_𝑖𝑗��𝑑𝑣⃗1𝑖× 𝑑𝑣⃗_2𝑗� = �𝐷𝑒𝑡�𝑔′𝑖𝑗�𝑑𝑠1𝑑𝑠₂= �𝐷𝑒𝑡 �𝑔_𝑙𝑚𝑑𝑥_𝑙 𝑑𝑠_𝑖

𝑑𝑥_𝑚

𝑑𝑠_𝑗� 𝑑𝑠1𝑑𝑠₂

= �𝐷𝑒𝑡[𝑔_𝑙𝑚]𝐷𝑒𝑡 �𝑑𝑥𝑙

𝑑𝑠_𝑖� 𝑑𝑠1𝑑𝑠₂

Dove l’ultimo passaggio vale solo se anche lo spazio di partenza è una superficie, e si ottiene (in questo caso)

𝐴 = � 𝑑𝑠₁� 𝑑𝑠2�𝐷𝑒𝑡�𝑔𝑖𝑗�𝐷𝑒𝑡 �𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑠_𝑗� 𝑑𝑠1𝑑𝑠₂

𝑑 𝑐 𝑏 𝑎

Alcuni esempi in due dimensioni

Lo spazio euclideo ha metrica cosiddetta “piatta”. La metrica in un piano è 𝑔_𝑖𝑗 = �1 00 1�

Segmento su retta

Per cui la lunghezza di un segmento su una retta di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 di sui una parametrizzazione è

� 𝑥 = 𝑠 𝑦 = 𝑚𝑠 + 𝑛 Da 𝑥 = 𝑎 a 𝑥 = 𝑏, estremi a cui corrisponde 𝑠 ∈ [𝑎, 𝑏]

è

𝑙 = � 𝑑𝑙 = � �𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗

𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = � �𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑖

𝑑𝑠 𝑑𝑥_𝑗

𝑑𝑠 𝑑𝑠

𝑏

𝑎 = � �(1 𝑚) �1 00 1� �1

𝑚� 𝑑𝑠

𝑏 𝑎

= �1 + 𝑚²� 𝑑𝑠^𝑏

𝑎 = �1 + 𝑚²(𝑏 − 𝑎) Possiamo fare il controllo calcolando semplicemente la distanza fra i due punti

𝐴 = (𝑎, 𝑚𝑎 + 𝑛)𝐵 = (𝑏, 𝑚𝑏 + 𝑛)

𝑙�(𝑏 − 𝑎)²+ (𝑚𝑏 + 𝑛 − 𝑚𝑎 − 𝑛)² = �1 + 𝑚²(𝑏 − 𝑎) Circonferenza

�𝑥 = 𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑦 = 𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃) 𝜃 ∈ [0,2𝜋]

𝑙 = � 𝑑𝑙 = � �𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗

𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = � �𝑔𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑖

𝑑𝑠 𝑑𝑥_𝑗

𝑑𝑠 𝑑𝑠

2𝜋 0

= � �(−𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃) 𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃)) �1 00 1� �−𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃) 𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃) � 𝑑𝑠

2𝜋

0 = � �𝑅^{2𝜋 2}𝐶𝑜𝑠²(𝜃) + 𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)𝑑𝑠

0

= 𝑅 � 𝑑𝑠^2𝜋

0 = 2𝜋𝑅

Area del quadrato

�𝑥 = 𝑠₁

𝑦 = 𝑠₂ 𝑠₁∈ [0, 𝑙]; 𝑠₂∈ [0, 𝑙]

𝐴 = � 𝑑𝐴 = � 𝑑𝑠₁� 𝑑𝑠2𝐷𝑒𝑡�𝑔_𝑖𝑗�𝐷𝑒𝑡 �𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑠_𝑗�

𝑙 0 𝑙

0 = � 𝑑𝑠₁� 𝑑𝑠2𝐷𝑒𝑡 �1 00 1� 𝐷𝑒𝑡 �1 0

0 1�

𝑙 0 𝑙 0

= � 𝑑𝑠₁� 𝑑𝑠2 𝑙 0 𝑙

0 = 𝑙²

Area del cerchio

�𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑦 = 𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃) 𝑟 ∈ [0, 𝑅], 𝜃 ∈ [0,2𝜋]

𝐴 = � 𝑑𝑟 � 𝑑𝜃𝐷𝑒𝑡�𝑔_𝑖𝑗�𝐷𝑒𝑡 �𝑑𝑥_𝑖 𝑑𝑟_𝑗�

2𝜋 0 𝑅

0 = � 𝑑𝑟 � 𝑑𝜃𝐷𝑒𝑡 �1 00 1� 𝐷𝑒𝑡 � 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑆𝑖𝑛(𝜃)

−𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃) 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)�

2𝜋 0 𝑅 0

Dove con _𝑑𝑟^𝑑𝑥𝑖

𝑗 intendiamo le derivate rispetto alle due nuove coordinate

= � 𝑑𝑟 � 𝑑𝜃𝑟^2𝜋

0 𝑅

0 = 𝜋𝑟²

Alcuni esempi in tre dimensioni

La metrica è

𝑔_𝑖𝑗= �1 0 0 0 1 0 0 0 1� Superficie della sfera

�𝑥 = 𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 𝑦 = 𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑)

𝑧 = 𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝜃 ∈ [0, 𝜋], 𝜑 ∈ [0,2𝜋]

𝐴 = � 𝑑𝜃 � 𝑑𝜑�𝐷𝑒𝑡 �𝑔_𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑖 𝑑𝑥_𝑙

𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑥_𝑚�

2𝜋 0 𝜋 0

= � 𝑑𝜃 � 𝑑𝜑�𝐷𝑒𝑡 ��𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) −𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) −𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)

𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 0 � �𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 𝑅𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑)

−𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑)

−𝑅𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0 ��

2𝜋 0 𝜋 0

= � 𝑑𝜃 � 𝑑𝜑�𝐷𝑒𝑡 �𝑅² 0

0 𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)�

2𝜋 0 𝜋

0 = 2𝜋𝑅²� 𝑑𝜃𝑆𝑖𝑛(𝜃)^𝜋

0 = 4𝜋𝑅²

Sistemi Cartesiani e Coordinate curvilinee

I cambiamenti di coordinate in questi due sistemi hanno delle importanti differenze:

1) Partendo da un sistema cartesiano in cui la metrica è piatta ovunque, passare a un altro sistema cartesiano comporta di usare delle trasformazioni lineari nelle coordinate, per cui si ottiene che la metrica è nuovamente ovunque piatta perché le matrici contenenti le derivate delle nuove coordinate rispetto alle vecchie sono indipendenti da 𝑥 in quanto le trasformazioni sono appunto lineari:

𝑔′𝑖𝑗 = 𝑔𝑙𝑚𝑑𝑥′_𝑙 𝑑𝑥_𝑖

𝑑𝑥′_𝑚 𝑑𝑥_𝑗

2) Mentre nei sistemi cartesiano gli assi sono fissi e non dipendono dal punto, nei sistemi curvilinei passando da un punto a un altro cambia anche l’orientamento degli assi, per cui per esempio per fare una derivata, dove è necessario fare la differenza fra due vettori in due diversi punti 𝑥 e 𝑥 + 𝑑𝑥 è prima necessario riscrivere il vettore in 𝑥 + 𝑑𝑥 in base agli assi usati in x, quindi fare la differenza e il limite ottenendo la derivata.

Alcuni esempi di calcolo di metriche in coordinate curvilinee

Coordinate Cilindriche Le nuove coordinate sono

�

𝜌 = �𝑥²+ 𝑦² 𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 �𝑦 𝑥� 𝑧 = 𝑧 La matrice di trasformazione è

𝑑𝑥′_𝑙 𝑑𝑥_𝑖 =

⎝

⎜⎛ 𝑥

�𝑥²+ 𝑦²

𝑦

�𝑥²+ 𝑦² 0

− 𝑦

𝑥²+ 𝑦²

𝑥

𝑥²+ 𝑦² 0

0 0 1⎠

⎟⎞

= �

𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0

−1

𝜌 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 1

𝜌 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 0

0 0 1

�

La nuova metrica risulta essere:

𝑔′_𝑖𝑗 = 𝑔_𝑙𝑚𝑑𝑥′𝑙

𝑑𝑥_𝑖 𝑑𝑥′𝑚

𝑑𝑥_𝑗 =

⎝

⎜⎛𝐶𝑜𝑠(𝜃) −1

𝜌 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 1

𝜌 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 0

0 0 1⎠

⎟⎞

�1 0 0 0 1 0 0 0 1� �

𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0

−1

𝜌 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 1

𝜌 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 0

0 0 1

�

= �1 0 0

0 𝜌² 0 0 0 1� Coordinate Sferiche

Le nuove coordinate sono

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝜌 = �𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²

𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 � 𝑧

�𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²� 𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 �𝑦

𝑥� La matrice di trasformazione è

𝑑𝑥′_𝑙 𝑑𝑥_𝑖 =

⎝

⎜⎜

⎜⎛

𝑥

�𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²

𝑦

�𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²

𝑧

�𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² 𝑥𝑧

(𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²)�𝑥²+ 𝑦²

𝑦𝑧

(𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²)�𝑥²+ 𝑦² − 𝑥²+ 𝑦²

(𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²)�𝑥²+ 𝑦²

− 𝑦

�𝑥²+ 𝑦²

𝑥

�𝑥²+ 𝑦² 0

⎠

⎟⎟

⎟⎞

=

⎝

⎜⎛

𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 1

𝑟 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 1

𝑟 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) −1 𝑟 𝑆𝑖𝑛(𝜃)

− 𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃)

𝐶𝑜𝑠(𝜑)

𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0 ⎠

⎟⎞

𝑔′_𝑖𝑗 = 𝑔_𝑙𝑚𝑑𝑥′𝑙

𝑑𝑥_𝑖 𝑑𝑥′𝑚

𝑑𝑥_𝑗

=

⎝

⎜⎜

⎜⎛𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 1

𝑟 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) − 𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃) 𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) 1

𝑟 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝐶𝑜𝑠(𝜑) 𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃)

𝐶𝑜𝑠(𝜃) −1

𝑟 𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0 ⎠

⎟⎟

⎟⎞

�1 0 0 0 1 0 0 0 1�

⎝

⎜⎛

𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 𝑆𝑖𝑛(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 1

𝑟 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝐶𝑜𝑠(𝜑) 1

𝑟 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜑) −1 𝑟 𝑆𝑖𝑛(𝜃)

− 𝑆𝑖𝑛(𝜑) 𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃)

𝐶𝑜𝑠(𝜑)

𝑟𝑆𝑖𝑛(𝜃) 0 ⎠

⎟⎞

= �1 0 0

0 𝑟² 0

0 0 𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)�

Simboli di Christoffel

Per trasportare i vettori parallelamente e fare le derivate si usano degli oggetti detti “connessioni” o

“Simboli di Christoffel”, così definiti:

Γ_{𝑎;𝑏𝑐} =1

2 𝑔^𝑎𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥𝑏𝑔_𝑑𝑐+ 𝜕

𝜕𝑥𝑐𝑔_𝑑𝑏− 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔_𝑏𝑐�

Come si può vedere le connessioni dipendono dalle derivate della metrica, sono quindi identicamente nulle in tutti i sistemi cartesiani.

Utilizzando le connessioni possiamo definire una derivata covariante per un vettore 𝐷_𝑎𝑓_𝑏 = � 𝜕

𝜕𝑥_𝑎𝛿_𝑏𝑐− Γ_{𝑐;𝑎𝑏}� 𝑓𝑐

I simboli di Christoffel possono essere usati per calcolare il laplaciano in coordinate curvilinee:

∇²= 𝑔_𝑎𝑏⁻¹𝐷_𝑎 𝜕

𝜕𝑥_𝑏 = 𝑔_𝑎𝑏⁻¹ 𝜕²

𝜕𝑥^𝑎𝜕𝑥^𝑏− 𝑔_𝑎𝑏⁻¹Γ_{𝑐;𝑎𝑏} 𝜕

𝜕𝑥_𝑐

Alcuni esempi di calcolo di simboli di Christoffel

Calcolo dei simboli di Christoffel e del laplaciano per coordinate Cilindriche

La metrica dipende solo da una coordinata, ed è diagonale, quindi possono essere non nulli solo connessioni con un indice uguale a 2:

Γ_1;22=1

2 𝑔^1𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔_𝑑2+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔_𝑑2− 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔₂₂� =1

2 𝑔¹¹⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₁₂+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₁₂− 𝜕

𝜕𝑥1𝑔₂₂�

=1 2�− 𝜕

𝜕𝜌(𝜌²)� = −𝜌

Γ2;12= Γ2;21=1

2 𝑔^2𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥1𝑔𝑑2+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔𝑑1 − 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔12� =1

2 𝑔²²⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥1𝑔22+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔21− 𝜕

𝜕𝑥2𝑔12�

=1 2 �

1 𝜌²� �𝜕

𝜕𝜌 (𝜌²)� =1 𝜌 Tutti gli altri simboli sono nulli.

∇²= 𝑔_𝑎𝑏⁻¹𝐷𝑎 𝜕

𝜕𝑥𝑏 = 𝑔_𝑎𝑏⁻¹ 𝜕²

𝜕𝑥^𝑎𝜕𝑥^𝑏− 𝑔_𝑎𝑏⁻¹Γ𝑐;𝑎𝑏 𝜕

𝜕𝑥𝑐= 𝜕²

𝜕𝜌²+ 1 𝜌²

𝜕²

𝜕𝜃²+ 𝜕²

𝜕𝑧²− 1

𝜌²(−𝜌) 𝜕

𝜕𝜌

= 𝜕²

𝜕𝜌²+ 1 𝜌²

𝜕²

𝜕𝜃²+ 𝜕²

𝜕𝑧²+1 𝜌

𝜕

𝜕𝜌

Calcolo dei simboli di Christoffel e del laplaciano per coordinate Sferiche Γ_1;22=1

2 𝑔^1𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔_𝑑2+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔_𝑑2− 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔₂₂� =1

2 𝑔¹¹⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₁₂+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₁₂− 𝜕

𝜕𝑥1𝑔₂₂�

=1 2�− 𝜕

𝜕𝑟(𝑟²)� = −𝑟

Γ1;33=1

2 𝑔^1𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥3𝑔𝑑3+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔𝑑3− 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔33� =1

2 𝑔¹¹⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥3𝑔13+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔13− 𝜕

𝜕𝑥1𝑔33�

=1 2�− 𝜕

𝜕𝑟(𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃))� = −𝑟𝑆𝑖𝑛²(𝜃)

Γ_2;33=1

2 𝑔^2𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥3𝑔_𝑑3+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔_𝑑3 − 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔₃₃� =1

2 𝑔²²⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₂₃+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₂₃− 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₃₃�

= 1

2𝑟²�− 𝜕

𝜕𝜃(𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃))� = −𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜃)

Γ2;12= Γ2;21=1

2 𝑔^2𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥1𝑔𝑑2+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔𝑑1 − 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔12� =1

2 𝑔²²⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥1𝑔22+ 𝜕

𝜕𝑥2𝑔21− 𝜕

𝜕𝑥2𝑔12�

=1 2 �

1 𝑟²� �𝜕

𝜕𝑟 (𝑟²)� =1 𝑟 Γ_3;13= Γ_3;31=1

2 𝑔^3𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥1𝑔_𝑑3+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔_𝑑1 − 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔₁₃� =1

2 𝑔³³⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥1𝑔₃₃+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₃₁− 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₁₃�

=1 2 �

1 𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)� �

𝜕

𝜕𝑟 (𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃))� =1 𝑟

Γ_3;23= Γ_3;32 =1

2 𝑔^3𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔_𝑑3+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔_𝑑2− 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔₂₃� =1

2 𝑔³³⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₃₃+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₃₂− 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₂₃�

=1 2 �

1 𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)� �

𝜕

𝜕𝜃 (𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃))� = 1 𝑇𝑎𝑛(𝜃) Tutti gli altri simboli sono nulli

∇²= 𝑔_𝑎𝑏⁻¹𝐷𝑎 𝜕

𝜕𝑥_𝑏 = 𝑔_𝑎𝑏⁻¹ 𝜕²

𝜕𝑥^𝑎𝜕𝑥^𝑏− 𝑔_𝑎𝑏⁻¹Γ𝑐;𝑎𝑏 𝜕

𝜕𝑥_𝑐

= 𝜕²

𝜕𝑟²+ 1 𝑟²

𝜕²

𝜕𝜃²+ 1 𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)

𝜕²

𝜕𝜑²− 1

𝑟²(−𝑟) 𝜕

𝜕𝑟 − 1

𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃) (−𝑟𝑆𝑖𝑛²(𝜃)) 𝜕

𝜕𝑟

− 1

𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃) �−𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜃)� 𝜕

𝜕𝜃

= 𝜕²

𝜕𝑟²+ 1 𝑟²

𝜕²

𝜕𝜃²+ 1

𝑟²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)

𝜕²

𝜕𝜑²+2 𝑟

𝜕

𝜕𝑟 + 1 𝑟²𝑇𝑎𝑛(𝜃)

𝜕

𝜕𝜃

Trasporto parallelo

Come abbiamo detto, per fare una derivata dovremmo fare la differenza di due vettori in due punti dello spazio infinitamente vicini, tuttavia poiché cambiano gli assi da un punto all’altro, fare la differenza delle componenti è sbagliato. Ci serve uno strumento che riscriva le componenti del vettore nel punto B in funzione delle componenti nel punto A, e solo una volta fatto ciò fare la differenza con il vettore del punto A. Ci serve cioè uno strumento che trasporti parallelamente il vettore del punto B nel punto A.

Le connessioni sono appunto quello che ci serve:

Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴(𝑥)_𝑏𝑑𝑥_𝑐= 𝐴_𝑎(𝑥) − 𝐴_𝑎^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴(𝑥)_𝑎𝑑𝑥_𝑏 = 𝐴_𝑐^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) − 𝐴_𝑐(𝑥)

Dove 𝐴^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) indica il vettore del punto 𝑥 trasportato parallelamente in 𝑥 + 𝑑𝑥.

In questo modo la derivata covariante risulta definita come volevamo:

𝐷_𝑎𝐴_𝑏𝑑𝑥_𝑎 = � 𝜕

𝜕𝑥_𝑎𝛿_𝑏𝑐− Γ_{𝑐;𝑎𝑏}� 𝐴𝑐𝑑𝑥_𝑎 = �𝐴_𝑏(𝑥 + 𝑑𝑥) − 𝐴_𝑏(𝑥)� − �𝐴_𝑏^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) − 𝐴_𝑏(𝑥)�

= 𝐴𝑏(𝑥 + 𝑑𝑥) − 𝐴_𝑏^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) Trasporto parallelo attorno a superficie infinitesima

I simboli di Christoffel servono a “compensare” il cambiamento che subiscono gli assi passando da un punto all’altro dello spazio, tuttavia la presenza di simboli non nulli non significa che siamo in uno spazio curvo, infatti tutti gli spazi considerati finora sono Euclidei e piatti, abbiamo solo effettuato un cambio di coordinate ma questo non varia certo la natura dello spazio.

Consideriamo ora una superficie infinitesima a forma di parallelogramma, di lati 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦. Facciamo un trasporto parallelo attorno alla curva chiusa che delimita il bordo di tale superficie, e calcoliamo la

variazione che subisce un vettore qualsiasi durante questo processo. Se tale variazione non è nulla diremo che lo spazio in questione è curvo. Il percorso sarà 𝑥−> 𝑥 + 𝑑𝑥−> 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦−> 𝑥 + 𝑑𝑦−> 𝑥.

𝛿𝐴_𝑎 = 𝛿_{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}𝐴_𝑎+ 𝛿𝑥+𝑑𝑥→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦𝐴_𝑎+ 𝛿𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦→𝑥+𝑑𝑦𝐴_𝑎+ 𝛿_{𝑥+𝑑𝑦→𝑥}𝐴_𝑎

= 𝛿_{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}𝐴_𝑎+ 𝛿𝑥+𝑑𝑥→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦𝐴_𝑎− 𝛿𝑥+𝑑𝑦→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦𝐴_𝑎− 𝛿_{𝑥→𝑥+𝑑𝑦}𝐴_𝑎 𝛿_{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}𝐴_𝑎 = 𝐴_𝑎^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) − 𝐴_𝑎(𝑥) = −Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴(𝑥)_𝑏𝑑𝑥_𝑐 𝛿_{𝑥→𝑥+𝑑𝑦}𝐴_𝑎 = 𝐴_𝑎^{𝑥→𝑥+𝑑𝑦}(𝑥) − 𝐴_𝑎(𝑥) = −Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴(𝑥)_𝑏𝑑𝑦_𝑐

𝛿𝑥+𝑑𝑥→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦𝐴_𝑎= 𝐴_𝑎[𝑥→𝑥+𝑑𝑥]→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦(𝑥) − 𝐴_𝑎^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}(𝑥) = −Γ(x + dx)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏^{𝑥→𝑥+𝑑𝑥}𝑑𝑦_𝑐

= − �Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}+ 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝑑𝑥_𝑑� �𝐴_𝑏(𝑥) − Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑥_𝑓�𝑑𝑦𝑐

≅ −Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑦_𝑐− 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑥_𝑑𝑑𝑦_𝑐+ Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑥_𝑓𝑑𝑦_𝑐 𝛿𝑥+𝑑𝑦→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦𝐴_𝑎 = 𝐴_𝑎[𝑥→𝑥+𝑑𝑦]→𝑥+𝑑𝑥+𝑑𝑦(𝑥) − 𝐴_𝑎^{𝑥→𝑥+𝑑𝑦}(𝑥) = −Γ(x + dy)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏^{𝑥→𝑥+𝑑𝑦}𝑑𝑥_𝑐

= − �Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}+ 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝑑𝑦_𝑑� �𝐴_𝑏(𝑥) − Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑦_𝑓�𝑑𝑥𝑐

≅ −Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑥_𝑐− 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑦_𝑑𝑑𝑥_𝑐+ Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑦_𝑓𝑑𝑥_𝑐 𝛿𝐴_𝑎 = �−Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴(𝑥)_𝑏𝑑𝑥_𝑐�

+ �−Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑦_𝑐− 𝜕

𝜕𝑥𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑥_𝑑𝑑𝑦_𝑐+ Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑥_𝑓𝑑𝑦_𝑐�

− �−Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑥_𝑐− 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑦_𝑑𝑑𝑥_𝑐+ Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑦_𝑓𝑑𝑥_𝑐�

− �−Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴(𝑥)_𝑏𝑑𝑦_𝑐�

= 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑦_𝑑𝑑𝑥_𝑐− 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑥_𝑑𝑑𝑦_𝑐+ Γ(x)_{𝑎;𝑏𝑐}Γ(x)_{𝑏;𝑒𝑓}𝐴(𝑥)_𝑒𝑑𝑥_𝑓𝑑𝑦_𝑐

− Γ(x)𝑎;𝑏𝑐Γ(x)𝑏;𝑒𝑓𝐴(𝑥)𝑒𝑑𝑦𝑓𝑑𝑥𝑐

= � 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ(x)𝑎;𝑏𝑐− 𝜕

𝜕𝑥_𝑐Γ(x)𝑎;𝑏𝑐+ Γ(x)𝑎;𝑒𝑑Γ(x)𝑒;𝑏𝑐− Γ(x)𝑎;𝑒𝑐Γ(x)𝑒;𝑏𝑑� 𝐴𝑏(𝑥)𝑑𝑥𝑐𝑑𝑦𝑑

= 𝑅_{𝑎;𝑏𝑐𝑑}𝐴_𝑏(𝑥)𝑑𝑥_𝑐𝑑𝑦_𝑑

Tensore di curvatura e Scalare di Kretschmann

Il tensore che ci dice se uno spazio è curvo o no è il tensore di curvatura di Riemann così definito:

𝑅_{𝑎;𝑏𝑐𝑑} = 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ_{𝑎;𝑏𝑐}− 𝜕

𝜕𝑥_𝑐Γ_{𝑎;𝑏𝑑}+ Γ_{𝑎;𝑑𝑒}Γ_{𝑒;𝑏𝑐}− Γ_{𝑎;𝑐𝑒}Γ_{𝑒;𝑏𝑑}

La presenza di elementi non nulli in questo tensore è indice che lo spazio è veramente curvo e non piatto.

Possiamo definire una versione più simmetrica di questo tensore come 𝑅𝑎𝑏𝑐𝑑 = 𝑔_𝑎𝑘⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥_𝑑Γ𝑘;𝑏𝑐− 𝜕

𝜕𝑥_𝑐Γ𝑘;𝑏𝑑+ Γ𝑘;𝑑𝑒Γ𝑒;𝑏𝑐− Γ𝑘;𝑐𝑒Γ𝑒;𝑏𝑑�

Tale tensore è antisimmetrico sui primi due indici e sugli ultimi due indici, è simmetrico per scambio dei primi due indici con i secondi due indici e rispetta l’Identità di Bianchi su una qualsiasi delle due coppie di indici.

Lo scalare di Kretschmann è definito come

𝐾 = 𝑅𝑎;𝑏𝑐𝑑𝑅𝑎;𝑏𝑐𝑑

Alcuni esempi di calcolo del tensore di curvatura

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Cilindriche 𝑅_1;212 = 𝜕

𝜕𝑥2Γ_1;21− 𝜕

𝜕𝑥1Γ_1;22+ Γ_1;2𝑒Γ_𝑒;21− Γ_1;1𝑒Γ_𝑒;22 = − 𝜕

𝜕𝜌 Γ^1;22+ Γ_1;22Γ_2;21= 1 − 1 = 0 Per le proprietà di simmetria del tensore di R. e per il fatto che tutte le terze componenti delle connessioni sono nulle questi erano gli ultimi elementi da controllare. Lo spazio piatto dopo aver cambiato coordinate è ancora piatto!

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Cilindriche restringendosi alla superficie del cilindro

𝑔_𝑖𝑗 = �𝜌² 0 0 1�

Non cambia nulla rispetto al calcolo precedente, in quanto ora il tensore di R. contiene solo le componenti 2 e 3 e quindi l’unica componente indipendente 𝑅2;323 rimane nulla in quanto non dipende dalle derivate rispetto a 𝜌. Andando a calcolare le connessioni, anche queste sono tutte nulle. La superficie laterale di un cilindro non è uno spazio curvo! Infatti se la “tagliamo” possiamo “srotolare” il tale superficie e stenderla su un piano.

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Sferiche

Il calcolo in questo caso è molto lungo e non lo riporto per brevità, dato che il risultato è che anche in questo caso che il tensore è identicamente nullo. Ancora una volta è logico che sia così dato che siamo partiti da uno spazio piatto.

Calcolo del tensore di curvatura per coordinate Sferiche restringendosi alla superficie del cilindro

La metrica è

𝑔_𝑖𝑗 = �𝑅² 0 0 𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)�

Gli unici simboli di Christoffel non nulli sono quelli che dipendevano dalla derivate della coordinata radiale, che ora è fissa:

Γ_2;33=1

2 𝑔^2𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥₃𝑔_𝑑3+ 𝜕

𝜕𝑥₃𝑔_𝑑3 − 𝜕

𝜕𝑥_𝑑𝑔₃₃� =1

2 𝑔²²⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥₃𝑔₂₃+ 𝜕

𝜕𝑥₃𝑔₂₃− 𝜕

𝜕𝑥₂𝑔₃₃�

= 1

2𝑅²�− 𝜕

𝜕𝜃(𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃))� = −𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑆𝑖𝑛(𝜃)

Γ_3;23= Γ_3;32 =1

2 𝑔^3𝑑−1� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔_𝑑3+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔_𝑑2− 𝜕

𝜕𝑥𝑑𝑔₂₃� =1

2 𝑔³³⁻¹� 𝜕

𝜕𝑥2𝑔₃₃+ 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₃₂− 𝜕

𝜕𝑥3𝑔₂₃�

=1 2 �

1

𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃)� �

𝜕

𝜕𝜃 (𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃))� = 1 𝑇𝑎𝑛(𝜃) 𝑅_2;323= 𝜕

𝜕𝑥3Γ_2;32− 𝜕

𝜕𝑥2Γ_2;33+ Γ_2;3𝑒Γ_𝑒;32− Γ_2;2𝑒Γ_𝑒;33= − 𝜕

𝜕𝜃 Γ^2;33+ Γ_2;33Γ_3;32= 𝑆𝑖𝑛²(𝜃) Essendo questo elemento non nullo andiamo a calcolare anche l’altro elemento non nullo a lui proporzionale:

𝑅3;223= 𝜕

𝜕𝑥₃Γ3;22− 𝜕

𝜕𝑥₂Γ3;23+ Γ3;3𝑒Γ𝑒;22− Γ3;2𝑒Γ𝑒;23= − 𝜕

𝜕𝜃 Γ^3;23− Γ3;23Γ3;23= −1 Abbiamo trovato il nostro primo spazio curvo, la superficie di una sfera!

Lo scalare di Kretschmann in questo caso vale

𝐾 = 4 𝑅²

Tensore di Ricci e Curvatura Scalare

Il tensore di Ricci è una contrazione del tensore di curvatura:

𝑅𝑖𝑗 = 𝑅𝑎;𝑖𝑎𝑗

La curvatura scalare è la sua traccia

𝑆 = 𝑔_𝑖𝑗⁻¹𝑅_𝑖𝑗 Ed è pari al doppio della curvatura gaussiana

Alcuni esempi di calcolo del tensore di Ricci e della Curvatura scalare

Calcolo del tensore di Ricci e della curvatura scalare sulla superficie della sfera 𝑅22= 𝑅𝑎;2𝑎2 = 𝑅3;232= −𝑅3;223= 1

𝑅33= 𝑅𝑎;3𝑎3 = 𝑅2;323= 𝑆𝑖𝑛²(𝜃) 𝑅_𝑖𝑗= �1 0

0 𝑆𝑖𝑛²(𝜃)�

𝑆 = 𝑔₂₂⁻¹𝑅22 = +𝑔₃₃⁻¹𝑅33= 1

𝑅²+ 𝑆𝑖𝑛²(𝜃) 𝑅²𝑆𝑖𝑛²(𝜃) =

2 𝑅² Infatti la curvatura gaussiana di una sfera è proprio _𝑅¹₂

Tensore di Einstein

È definito come

𝐺𝑖𝑗= 𝑅𝑖𝑗−𝑆 2 𝑔^𝑖𝑗