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limlimlim Infinitesimi

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

e’ detto “infinitesimo” una qualsiasi quantita’ tendente a zero

dati due infinitesimi α e β

• α e β non sono paragonabili tra loro se il non esiste

• α e β sono infinitesimi dello stesso ordine se il esiste, e’ finito e ha

• β e’ infinitesimo di ordine superiore rispetto ad α se il esiste ed ha quando una

lim β α lim β

α

lim β α

Infinitesimi

tende ad assumere un determinato valore

un valore

non

nullo

valore

nullo

opportuna variabile

(2)

una funzione reale di una variabile reale e’ una corrispondenza tra un insieme di numeri reali ,

rappresentato dalla variabile dipendente y

e un insieme di numeri reali, rappresentato dalla variabile indipendente x

( ) y = f x

Funzione reale di una variabile

' 0 0

0

( ) ( )

lim x

f x x f x

f ∆ → x

+ ∆ −

= ∆

e’ detta derivata f

data una funzione reale f(x) di una variabile x Derivata di funzione di una variabile

il limite per ∆ x

0 del rapporto incrementale

della funzione nel punto x

0

(3)

Dipendenza lineare

' 0 0

0

( ) ( )

lim

x

f x x f x

f

∆ →

x

+ ∆ −

= ∆

f’

e’ il valore del coefficiente angolare

( )

yf x = + a bx

f’ = tg α

della retta tangente alla funzione nel punto

x

0

data una funzione

f

continua e derivabile di una variabile

x

e’ detto differenziale

dx

della variabile indipendente

x

,

si chiama differenziale

df

della funzione

'( )

df = f x dx

per il differenziale della variabile indipendente

x

il prodotto della derivata

f’(x)

infinitesimo ma non nullo della variabile

x

un incremento arbitrario

(4)

il differenziale df

f df ε

∆ = +

0

0

lim

x

x ε

∆ →

=

ma si puo’ anche dimostrare che

ossia che

ε

e’ un infinitesimo di ordine superiore rispetto a

dx

in effetti si dimostra che :

alla variazione ∆f

non e’ uguale

 in generale

della funzione, dove ∆f = f(x+dx)f(x)

(5)

uno sviluppo di Taylor in cui x0

è l'approssimazione di ordine n

( )

0

( )

( ) ( )

!

n 0 n

0 n

f x

f x x x

n

=

= ∑ −

rappresentazione di una funzione

Sviluppo in serie di Taylor di una funzione

f(x)

tramite un polinomio

( )

f x

0

( )

( )

( )

n n

0 n

x x

d f x

f x

dx =

=

con 0! = 1

dove

sia uguale a 0 è detto sviluppo di Maclaurin il polinomio che si ottiene

(0)

f

+

f

'(0)

x

1

2

''(0) 2!

f x

+ 1

3

'''(0)

3!

f x

+

( )

(0)

... ( )

!

n

f n

n x

+ + +

R xn

( )

di f (x) intorno a x0 = 0

nell’intorno di un generico punto x0

2 4 6

1 ...

4 24 720

x x x

+ +

3 5 7

...

6 120 5040

x x x

x + +

senx cos x

Sviluppo in serie di Maclaurin di alcune funzioni

−∞ < < +∞x −∞ < < +∞x

2 3 4

1 ...

2! 3! 4!

x x x x

e + +x + + + −∞ < < +∞x

1 2 3 4

(1+x) 1− +x x x +x ... − < < +1 x 1

1

2 3

2 1 1 1 3

(1 ) 1 ...

2 2 4 2 4 6

x x x x

+ + + +

⋅ ⋅

− < ≤ +1 x 1

1

2 3

2 1 1 3 1 3 5

(1 ) 1 ...

2 2 4 2 4 6

x x x ⋅ ⋅ x

+ + +

⋅ ⋅

− < ≤ +1 x 1

3 5 7

1 2 17

...

3 15 315

x+ x + x + x +

tgx x < π2

(6)

Funzione di due variabili

derivate parziali prime

'

0

( , ) ( , )

x

lim

x

F F x x y F x y

F x

∆ →

x

∂ + ∆ −

= =

∂ ∆

'

0

( , ) ( , )

y

lim

y

F F x y y F x y

F y

∆ →

y

∂ + ∆ −

= =

∂ ∆

( , ) z = F x y

una funzione reale di due variabili reali un insieme di coppie di numeri (x,y)

rappresentato dalla variabile dipendente

z

e un insieme di numeri reali

e’ una corrispondenza tra

( F ) x y

∂ ∂

∂ ∂ ( F ) x x

∂ ∂

∂ ∂

2 ''

( )

2 y

F F

F y y y

∂ ∂ ∂

= =

∂ ∂ ∂

2

''

( )

yx

F F

F y x y x

∂ ∂ ∂

= =

∂ ∂ ∂ ∂

derivate parziali seconde

sono continue l’ordine di derivazione e’ ininfluente

derivate parziali seconde miste ''

F

x

=

2

F

2

x

= ∂

''

F

xy

=

2

F

x y

= ∂

∂ ∂

''

F

xy

e F

yx''

se F

xy'' =

F

yx'' ossia

(7)

F ∆ =

l’ ∆Fincremento

della funzione

e’

nel passare dal punto di coordinate (

x

0

,y

0)

al punto di coordinate (

x

0 +

dx

,

y

0

+ dy

)

( F x

0

+ dx y ,

0

+ dy ) − F x y ( ,

0 0

)

F F

dF dx dy

x y

∂ ∂

= +

∂ ∂

il della funzione e’ differenziale totale

0 0 0 0

( ∆ = F F x + dx y , + dy ) − F x y ( , )

F F

dF dx dy

x y

∂ ∂

= +

∂ ∂

il

differenziale totale della funzione sarebbe

z = ax by d + +

se il luogo dei valori della F(

x,y

) fosse il piano

mentre

inquesto particolare caso

∆F

coincide con

dF

ma in generale

∆ ≠ F dF

quindi

1 2

F F

F dx dy dx dy

x y ε ε

∂ ∂

∆ = + + +

∂ ∂ ≠ dF

risulta in effetti in generale

ma si ha che ε1 ed ε2 sono infinitesimi dello stesso ordine di dx e di dy

(8)

( , , ) w = f x y z

2 2 2

2 2 2

w x y z

f f f

x y z

ε =   ∂   ε +   ∂   ε +    ε

se

ε

x e’ l’errore sulla misura della grandezza

x

se

ε

y e’ l’errore sulla misura della grandezza

y

se

ε

z e’ l’errore sulla misura della grandezza

z

se

l’errore sulla grandezza

w

sara’

Legge di propagazione degli errori

....

w = + + x y

se

2 2

2 2

w x y

....

f f

x y

ε =   ∂   ε +  ∂   ε +

2 2

x y

....

ε ε

= + +

....

w = ⋅ ⋅ x y

se

2 2

2 2

w

....

x y

f f

w x y

ε =   ∂   ε +  ∂   ε +

2 2

2 y2

....

x

x y

ε ε

= + +

dove

f x

indica la derivata parziale della funzione

f

rispetto alla variabile

x

(9)

e l’errore ε

A

sull’area

i cui cateti hanno lunghezza a

= (

0.084 ± 0.002) m b

= (

0.57 ± 0.03) m

a

b

2 A = ab

( , ) w = f x y

in generale se

2 2

2 2

w x y

f f

x y

ε =   ∂   ε +    ∂  ε

2

A b

a

 ∂  =

 ∂ 

 

in questo caso wA

e

a

e

b

corrispondono

2

A a

b

 ∂  =

 ∂ 

 

2 2

2 2

2 2

A a b

b a

ε =     ε +     ε

   

e

2 2 2 2

1

2 b ε

a

a ε

b

= +

22 22

2

a b

ab

a b

ε ε

= +

dalla geometria piana

2 2

2 2

a b

A

A

a b

ε ε

ε = +

( ) A = f a,b

per cui

ad

x

e

y

e

determinare l’area A

di un triangolo rettangolo

sappiamo che l’area del triangolo e’

dato che

A = ( 4.79 ± 0.28 ) 10

2

m

2

b

= ( 5.7 ± 0.3) 10-1 m

a

= ( 8.4 ± 0.2 ) 10-2 m

e poiche’

A = ab

e

ε

A = 0.0028

A =

0.0479 e in conclusione:

ossia al 68% C.L.

(10)

2 2

2 2

a b

a b ε ε

= +

A

A ε

il quadrato dell’errore relativo di quella grandezza

2 2

2 2

a b

A

A

a b

ε ε

ε = +

Nota bene:

da

se una grandezza

A

e’ ricavabile come prodotto di

n

grandezze

a

i

1 n

i

A a

i

=

= ∏

2 2

1

i

n a

A

i i

A a

ε ε

=

 

  =  

    ∑  

indipendenti tra loro se

dei quadrati degli errori relativi delle

n

grandezze

e’ uguale alla somma

2 A

A

 ε 

 

 

2 2

a b

a b

ε ε

   

=   +  

   

in linguaggio matematico

in lingua italiana:

con le

a

i indipendenti tra loro

(11)

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