Scheda - La Parabola
La rappresentazione di una parabola sul piano cartesiano
L'equazione canonica della parabola (o quantomeno di tutte quelle che noi studieremo) è la seguente:
y = ax2+ bx + c
Ciò signica che tutte le parabole che siamo chiamati a disegnare, si potranno scrivere nella suddetta forma.
Per capire meglio cos'è una parabola, possiamo osservare le seguenti imma- gini che mostrano le due famiglie di parabole che incontreremo nel nostro percorso di studio: quelle che rivolgono la concavità verso l'alto (detta anche concavità a calice) e quelle che rivolgono la concavità verso il basso (detta anche concavità a campana).
Figure 1: Una parabola avente la concavità a calice
Figure 2: Una parabola avente la concavità a campana Alcune tra le principali caratteristiche della parabola sono:
1. la concavità
2. l'asse di simmetria 3. il vertice
Esaminiamole, ad una ad una.
Concavità
Come si fa a capire se la parabola che stiamo studiando ha la concavità a calice oppure a campana? Ci aiuta il seguente specchietto:
se a > 0 allora la parabola ha la concavità a calice se a < 0 allora la parabola ha la concavità a campana Asse di simmetria
L'asse di simmetria è quella retta verticale che divide la parabola in due parti speculari, una rispetto all'altra. L'equazione di questa retta è la seguente
x = − b 2a Vertice
Il vertice è quel punto speciale della parabola il cui simmetrico coincide con
sé stesso. Un'altra caratterizzazione è la seguente: il vertice è il punto che ha ordinata maggiore rispetto agli altri punti di una parabola che rivolge la concavità verso il basso oppure è il punto che ha ordinata minore rispetto agli altri punti di una parabola che rivolge la concavità verso l'alto. La formula che permette di calcolare le coordinate del vertice di una parabola è la seguente:
V
− b 2a, −∆
4a
Un esempio di rappresentazione di una parabola
Proviamo insieme a rappresentare sul piano cartesiano la parabola che ha la seguente equazione:
y = x2− 4x + 3
per riuscire nell'intento, seguiamo il seguente schema 1. Concavità
2. Vertice
3. Asse di simmetria
4. Calcolo di punti convenienti
Iniziamo calcolando i coecienti a, b, c che caratterizzano la nostra parabola, facendo riferimento alla forma canonica. Con una semplice occhiata riu- sciamo a capire che
a = 1; b = −4, c = 3
Ora siamo pronti per eettuare il primo punto, ovvero lo studio della con- cavità.
Visto che
a = 1 > 0 =⇒ la concavità è a calice
Utilizzando la formula vista prima, siamo pronti per calcolare le coordinate del vertice della parabola, ovvero
∆ = b2− 4ac = (−4)2− 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4 di conseguenza,
V
− b 2a, −∆
4a
=
− −4 2 · 1, − 4
4 · 1
=4 2,−4
4
= (2, −1) Ora possiamo calcolare l'equazione dell'asse di simmetria, ovvero
x = − b
2a =⇒ x = −−4
2 =⇒ x = 2
Inne, è utile, in analogia a quanto fatto per rappresentare una retta, stilare una tabella e calcolare alcuni punti (conviene calcolare quelli vicini al vertice) che consentono di tracciare in modo più preciso la parabola. Ecco la tabella:
x y1 0 -1 80 3
Una volta riportati sul piano cartesiano il vertice, l'asse di simmetria ed i punti che abbiamo calcolato, ovvero A(1, 0), B(0, 3), C(−1, 8) è facile indi- viduare i rispettivi simmetrici rispetto all'asse di simmetria, ovvero A0(3, 0), B0(4, 3), C0(5, 8). Inne, unendo tali punti, possiamo tracciare la parabola, come mostra la gura seguente.
Figure 3: La rappresentazione della parabola sul piano cartesiano
Studio delle intersezioni tra una retta ed una parabola
Immaginiamo di voler studiare le intersezioni tra la retta che ha equazione y = x − 1 e la parabola y = x2 − 4x + 3. Visto che studiare le intersezioni tra curve equivale a risolvere il sistema ad esse associato, ci dedichiamo a
risolvere il seguente sistema:
y = x2− 4x + 3 y = x − 1
Sostituiamo il valore della y che compare nella seconda equazione nell'equazione della parabola, ottenendo
x − 1 = x2 − 4x + 3
∗ =⇒ x2 − 5x + 4 = 0
∗
L'equazione di secondo grado che abbiamo ottenuto portando avanti il metodo di sostituzione si chiama equazione risolvente ed ha un'importanza fondamen- tale nella risoluzione del sistema.
Portandola avanti, dopo i calcoli otteniamo x1 = 1; x2 = 4 Quindi i punti di intersezione saranno due
A(1, ?) B(4, ?)
Per trovare le rispettive ordinate, basta sostituire il valore dell'ascissa che ab- biamo trovato nella formula della retta (possiamo sostituirlo anche nell'equazione della parabola che, però, è leggermente più complessa). Così troviamo
A(1, 0) B(4, 3) Tale situazione è mostrata nella seguente gura
Figure 4: Studio graco delle intersezioni tra retta e parabola
Più in generale, le posizioni che una retta può assumere rispetto ad una parabola che giace sul suo stesso piano sono 3 e dipendono dal discriminante (o Delta) della risolvente, come mostra la seguente gura.
Figure 5: Posizioni reciproche tra retta e parabola
Esercizi
Esercizio 1
(Rappresentazione di una parabola)Rappresenta le seguenti parabole sul piano cartesiano seguendo il procedi- mento in 4 passi visto a lezione.
a) y = x2− 4x + 2 b) y = x2− 3 c) y = x2+ 2x d) y = −x2− 4x + 5 e) y = −x2+ 2x + 1 f) y = −x2+ 4 g) y = x2− 6x h) y = x2+ 2x + 2 i) y = x2+ 6x + 9
Esercizio 2
(Signicato dei coecienti di una parabola)Esercizio 3
(Dal graco all'equazione di una parabola)Esercizio 4
(intersezioni retta-parabola)Determina, con il metodo algebrico e con il metodo graco le (eventuali) intersezioni tra le seguenti coppie retta-parabola:
a) y = x2 y = x + 2 b) y = x2− 2x + 2
y = 2x − 2 c) y = x2− 4x + 5
y = 2x − 5