Sull’elettrodinamicaSull’elettrodinamica delle pulsardelle pulsar

Sull’elettrodinamica Sull’elettrodinamica

delle pulsar delle pulsar

Candidato: Damiano Caprioli

Relatore: Prof. Mario Vietri

Il Il double pulsar double pulsar PSR J0737-3039 PSR J0737-3039

Scoperto nel 2004 col 20 cm

Parkes Telescope (Burgay, Lyne, McLaughlin, Kramer, Joshi et al.) Geometria edge-on

Eclissi di A dovute alla magnetosfera di B

(Lyne et al. 2004)

(Kramer 2004)

Un laboratorio di Fisica Gravitazionale Un laboratorio di Fisica Gravitazionale



Misura di entrambe le funzioni di massa



Rapporto delle masse (R)



Misura di parametri post-kepleriani:



Precessione del periastro



Red-shift gravitazionale



Shapiro delay (r ed s)

calcolati secondo la Relatività Generale in funzione di e, x, P, lasciando come parametri liberi le due masse m

ed m

.

( ) w&

( ) g ( ^sin )

2

x x

x

Tot

m i Pv

f º M = p G

Il Il merger rate merger rate dei sistemi DNS dei sistemi DNS

Sono noti solo 6 sistemi (+2 ?) Double Neutron Star

Importanza per la rivelazione di GW (Virgo, Ligo, Geo)

Aumento del merger rate galattico da 83 a 13 Myr

(Burgay et al. 2003)

Le eclissi di A Le eclissi di A

Indipendenza dalla frequenza

Durata 27 s  estensione 18500 km Modulazione col periodo di B

(Mc Laughlin et al. 2004)

A B

Periodo (ms)

22.7 2773

Bsuperficie (G)

6.3x10

1.6x10

dE/dt (erg/s)

5.8x10

1.6x10

Formazione di magnetosheat, magnetopausa e bow-shock per effetto del vento di A

(Mc Laughlin et al. 2004)

Il modello classico della pulsar Il modello classico della pulsar

Stella di neutroni magnetizzata ruotante (Gold e Pacini 1968)

Assunzione di campo force-free

Presenza di plasma attorno alla pulsar (Goldreich e Julian 1969)

Cilindro di luce, magnetosfera aperta e magnetosfera coruotante

r p p

Ñ × W×

= =-

- W

r r

r r

2

1

4 2 1 ( / )

cor

E B

c r c

v 0

E B

+ ´ c =

r r r

(Michel 1973)

La natura del plasma La natura del plasma

Regime MHD ideale (conducibilità infinita)

Plasma di elettroni e positroni ottenuti per pair-production da raggi gamma prodotti per radiazione di curvatura se

Plasma neutro o separazione di carica?

 sembra più plausibile un regime di separazione di carica per le pulsar e di plasma quasi neutro per BH e AGN.

15 4 / 7 9 / 7

2.5 10

P < P

= ´

B R

L’elettrodinamica

L’elettrodinamica force-free force-free

Trattazione manifestamente covariante attraverso due campi scalari classici (potenziali di Eulero)

E’ conservata l’invarianza di gauge

1 2 2 1

F

= ¶

j ¶

j - ¶

j ¶

j

1 2

1 2

1 2

( , ) 1 ( , )

( , )

A

A

f

l f f

® +¶ Û ¶ =

¶

 

0 4

0

F F F

F J

F J

l mn m nl n l m

mn m

n n mn

p

ì Ñ +Ñ +Ñ =

ïï ïï Ñ =

íï ïï =

ïî

Le Le master equations master equations

Si derivano da un principio variazionale considerando l’azione

Le equazioni di Eulero-Lagrange che si ottengono considerando i potenziali di Eulero come variabili dinamiche sono

 Equazione di Grad-Shafranov generalizzata, utile in teoria dei plasmi e in astrofisica (BH, pulsar, AGN, Soft  -ray Repeater)

1

16 d ,

S F F

g x

=- p ò -

( )

( )

1 1 2 2 1

2 1 2 2 1

0 0

, . g

g

m n m n m n

m n m n m n

f f f

f f f

é ù

¶ ê ë - ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ú û =

é ù

¶ ê ë - ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ú û =

Le simmetrie del campo degenere Le simmetrie del campo degenere

Una simmetria è definita da un vettore di Killing 

rispetto a cui F

ha derivata di Lie nulla.

Si dimostra, sfruttando l’invarianza di gauge, che

In presenza di due vettori di Killing (Uchida 1997)

con h funzione arbitraria.

LL

1 2

0 0 1

z mn

F = Û

f = ;

=

L L L

1 2

1 2

1 1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1

0 0

1 h

m m

z m z m

m m

z m z m

f z f z f

f z f z f

= ¶ = = ¶ =

= ¶ = = ¶ =

, ,

, ( ) ,

L L

L L

F

Il rotatore allineato stazionario Il rotatore allineato stazionario

Integrando le equazioni che esprimono le simmetrie si ha:

Introducendo si elimina 

e quindi f

Si ottiene, in coordinate cilindriche :

Da cui, se ( f

)cost  ^ ,

1

f R

( , ) ,

( ) f

f R

( , ).

f = J f = - W j + J

(

)

2 2

1 1

1 1 d I f dI f 0

r f f f f

r df r df

é ù W

ê ú

Ñ × - W Ñ +W Ñ ×Ñ + =

ê ú

ë û

( ) ( )

 ( )   

( ^{1 - r}

^W

) ^{( f}

^{+ f}

^{) - 1 + W r} _r

^f

^{+ I f I f ( ) '( ) = 0}

2

( )

sin

I f º R J F

( ^{r , , j z} )

Le grandezze del problema Le grandezze del problema

f (r,z) ) proporzionale al potenziale elettrostatico

) flusso del campo magnetico attraverso r,z) I (f ) = rB

 corrente attraverso r,z)

Campi elettrico e magnetico

Densità di carica e di corrente

0 1

f f f f

E B I f

c r z r z r

æ ö æ ö

W ¶ ç ¶ ÷ ç ¶ ¶ ÷

=- ç ç è ¶ , , ¶ ø ÷ ÷ = ç ç è - ¶ , ( ), ¶ ÷ ÷ ø

 

2

2

4 1 4

B

I f I f c

j r I f B

c r c

r r j

p p

W -

=- = W +

- W

( )' ( )

, ˆ '( ) .

( / )

 

( ^{r , , j z} )

Le condizioni al bordo Le condizioni al bordo

Superficie della stella:

Asse di rotazione: f = 0 Piano equatoriale:

Cilindro di luce:

Andamento radiale all’infinito

0 per 1 per 1

y

cr

f x

f f x

ì = <

ïï íï = ³

ïî

( ) '( ) ( ) (1, )

2 2

x

I f I f W f

f y = º

2

cot ( ) 0 ( ) sin

sin

f

J f

W f I f J f

+ -  J = Þ =-

   

2

2 2 3/ 2

( )

( )

d

f R R f x

x y

=

=

+

/ /

/

c

c

d c

x r r y z r

f m r ì º ïï

ïï º íï

ï º

ïïî

( ^R

^{= 10 r}

)

Il caso W=0 (Michel 1973) Il caso W=0 (Michel 1973)

Curve di livello Superficie 3D

Il caso W=0 per il

Il caso W=0 per il double pulsar double pulsar

Dipoli paralleli Dipoli opposti

Una soluzione analitica?

Una soluzione analitica?

Per il caso di Split Monopole si ha

Con la stessa corrente si ottiene (Michel 1991):

2 2

( ) 1 2 ( , ) 1

m m cr

c cr

f y

I f f f x y f

r f x y

æ ö

æ ö÷ ç ÷

ç ç ÷

=- ççè - ÷÷÷øÞ = çççè- + ÷÷÷ø

Corrente da Split Monopole

L’algoritmo CKF L’algoritmo CKF

Si sceglie una W( f )= I( f ) I’( f ) iniziale, con W( f > f

)= 0 Si integra l’eq. nella magnetosfera vicina e nella zona di vento, ottenendo due funzioni f

ed f

Si corregge I( f ) in modo da ridurre l’errore nel matching

Si introduce in W( f ) una delta di Dirac per avere I( f

)= 0 Si itera il procedimento.

( )

1

( )

( )

NEW

2

f f

W æ ç ç çè

+

ö ÷ ÷ ÷ ø = m W f

+ m W f

+ m f

- f

La soluzione numerica La soluzione numerica

Superficie 3D

W( f )

Le proprietà della soluzione Le proprietà della soluzione

Continuità al cilindro di luce Corretto andamento all’infinito Potenza emessa

Andamento al punto angoloso (cusp)



Angolo separatrice



Andamento W

2 4 2 2

3 3 2

0.995 2

Pacini

3

E E d

c c dt

m W m

= =- 

  

0

77.3 73.2 5.8

a =

Û a =

±

( ) (

) W f µ f - f

0

0.58 0.58 0.05

b = Û b = ±

Il plasma della magnetosfera Il plasma della magnetosfera

Formazione di cupole polari e cintura equatoriale (Michel et al. 2002) Accelerazione di particelle: la velocità di deriva E B   ´

Densità di carica Proiezioni della velocità 3D

Il campo elettromagnetico Il campo elettromagnetico

3

3

, 0,

1 ( ) 1 , ,

c

c

f f

E r dx dy

f I f f

B r x dy x x dx m

m

æ ¶ ¶ ÷ ö

= ç ç çè ÷ ÷ ÷ ø

æ ¶ ¶ ÷ ö

= ç ç çè - ø ÷ ÷ ÷





• Grafici in unità di r

Il Il double pulsar double pulsar

Superficie 3D

W( f )

Cilindro di luce

Sviluppi e prospettive Sviluppi e prospettive

Introduzione di vacuum gap (problema della separatrice) Meccanismi di produzione di coppie

Studio delle particelle nella zona di vento (+ effetti inerziali) Sistemi binari di pulsar:



Stelle non identiche (periodo e campo magnetico)



Moto di rivoluzione



Caratteristiche delle eclissi e formazione di magnetosheat,

magnetopausa e bow-shock

Sull’elettrodinamica Sull’elettrodinamica

delle pulsar delle pulsar

Candidato: Damiano Caprioli

Relatore: Prof. Mario Vietri