STIMA DELLA VARIANZA DELLE MISURE DI DISUGUAGLIANZA

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APPENDICE B

STIMA DELLA VARIANZA DELLE MISURE DI DISUGUAGLIANZA

Caratteristica peculiare delle misure di disuguaglianza è la loro complessità. Vengono considerate funzioni non lineari, alcune di esse dipendono dalla quantità o dalla qualità delle osservazioni, ed i dati sul reddito, generalmente, derivano da indagini molto articolate. Conseguentemente la varianza di tali misure non può essere espressa mediante semplici formule (Binder e Kovacevic, 1997).

Un metodo usato per fornire una stima approssimata degli standard error si basa sulla teoria sviluppata da Binder (1991) e da Binder e Patak (1994) conosciuta come “Theory of Estimating Equations” (EE)

⁶⁴

.

Un metodo alternativo è stato invece suggerito da Woodruff (1971)

⁶⁵

. Tale approccio permette di effettuare i calcoli senza particolari difficoltà.

Supponiamo di avere un popolazione finita e che il campionamento sia a più stadi. Nel caso degli indici di Entropia Generalizzata e dell’indice di Atkinson, GE(a) e I

A

(e), essi possono essere scritti come funzioni ^I = ^f ( ) ^T di popolazioni T = ( T

₁

,..., T

K

) .

La popolazione T

k

, k = 1,…, K, è data dalla somma di variabili t

_hijk

osservabili nei differenti stadi del progetto di campionamento, ad esempio T

_k

= ∑∑∑

= = = L

n N

i M

j hijk

H i

t

1 1

dove L indica il numero di strati, N

h

il numero di gruppi in ciascun strato h ed M

i

il numero di individui presente nel gruppo i.

Se il disegno campionario coinvolge più di uno stadio di raggruppamento è sufficiente considerare solamente il primo (vedi Cochran, 1977).

Sostituendo T in T, si avrà

^Λ

_



 



= 

^Λ

Λ

T f

I con

_hijk

L

n n

i m

j

K

w

hijk

t

T

h i

∑∑∑

= = =

Λ

=

1 1 1

dove n

h

è il numero dei gruppi presenti nel campione al primo stadio e m

i

il numero degli individui del gruppo i al momento del campionamento. Il peso campionario, attribuito a ciascun individuo hij, è dato da w

hij

.

64 Vedi “Variance Estimation for Measures of Income Inequality and Polarization – The Estimating Equations Approach” di M. S. Kovacevic e D. A. Binder (1997), Journal of Official Statistics, pp 41-58.

65 Vedi “A Simple Method for Approximating the Variance of a Complicated Estimate” di Ralph S.

Woodruff (1971), Journal of the American Statistical Association 66, pp 411-414.

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100 Assumendo che la dimensione del campione sia tale da poter ammettere una approssimazione di Taylor di ^f ( ) ^o , la varianza dell’indice

^Λ

I può essere approssimata alla varianza del residuo di primo ordine

^K

( ( ) )

^K

k

K

T

T T f

Λ

∑

=

^{∂ ∂}

1

.

Woodruff (1971) osservò che tale varianza poteva essere facilmente determinata invertendo l’ordine della sommatoria nei residui, ovvero:

( )

( )

 

 

 

  ∂ ∂

 ≈



 



 ∑∑∑ ∑

= = = =

Λ L

n n

i m

j

K

k

hijk k hij

h i

t T T f w

I

1 1 1 1

var

var _



 



= var  S

^Λ

(1)

Si noti che S

^Λ

ha la stessa forma di T

^ΛK

cosicché il problema si riduce a stimare la varianza campionaria di uno stimatore del quale si conoscono le formule (vedi Cochran, 1977 o Deeton, 1997). Usando tali formule e sostituendo T nella derivata, la stima della

^Λ

varianza sarà:

∑ ∑ ∑∑

∑

= =

= =

= Λ Λ

 

 

 





 

 

 





− −

 =



 





^{h i}

h i

n

i m

j h

n

i m

j

hij hij hij

hij L

n h

h

n s w s

n w I n

1

2

1

1 1

1

~

~

var 1 (2)

con ~ s

_hij

=

_hijk

K

k

K

t T T

∑ f

=

Λ

Λ





 



  ∂



 



∂ 

1

.

Calcolando ~ s

_hij

per gli indici di disuguaglianza e sostituendolo nella (2) si ottiene la

stima della varianza di tali misure, da essa potranno poi essere ricavati gli standard

error. Nel caso dell’indice di Gini, invece, la procedura, che di solito viene usata per

determinare la stima della varianza, si basa sul metodo di Kovacevic e Binder (1997).