Capitolo 3 Risultati delle simulazioni: metodo Covariance Fitting

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Risultati delle simulazioni: metodo

Covariance Fitting

Introduzione

Questo capitolo è dedicato alla presentazione dei risultati delle simulazioni ottenuti con il metodo covariance fitting. I dati sono generati attraverso 5000 prove Monte Carlo in accordo al modello statistico descritto nel capitolo 2. Le prestazioni dei sistemi proposti sono state valutate in termini di errore quadratico medio (RMSE, Root Mean Square Error) degli algoritmi e sono state confrontate con le prestazioni ottenute con il metodo MUSIC e con i limiti di Cramer-Rao (CRLB, Cramèr-Rao Lower Bound).

3.1 Sistemi ATI-SAR multicanale analizzati

Si ricorda brevemente il significato dei parametri che definiscono i casi simulati:

• K = numero di sensori di un sistema ATI-SAR,

• N = numero di look indipendenti di uno stesso pixel,

• τ = ritardo complessivo d’acquisizione delle immagini SAR,

• τc = tempo di coerenza della superficie marina, • τ∗

= ritardo complessivo d’aquisizione del sistema convenzionale,

• φB = valore assoluto della fase Doppler delle sorgenti di Bragg, • t = tempo di coerenza normalizzato al ritardo d’acquisizione

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• SNR = rapporto segnale-rumore complessivo, • ∆SNR= 1 2 SNR SNR

= rapporto tra la potenza media dell’onda che si avvicina e quella che si allontana

I casi base a cui volevamo applicare i diversi metodi di stima spettrale sono raccolti nella tabella 3.1. INDICE CASO PARAMETRI SISTEMA ATI-SAR INDICE CASO PARAMETRI SISTEMA ATI-SAR BU, K=3

1

K = 3, B φ = 3π / 8, t = 4 τ τ₌ ∗

5

K = 3, B φ = 3π / 8, t = 2 τ τ₌ ∗ BU, K=5

₂

K = 5, B φ = 3π / 8, t = 4 τ τ₌ ∗

6

K = 5, B φ = 3π / 8, t = 2 τ τ₌ ∗ BL, K=3

₃

K = 3, B φ = 3π / 4, t = 2 2 τ ₌ τ∗

7

K = 3, B φ = 3π / 4, t = 1 2 τ ₌ τ∗ BL, K=5

₄

K = 5, B φ = 3π / 2,

8

K = 5, B φ = 3π / 2,

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- sul valore dell’intervallo di fase non ambiguo 2π(K−1),

- sul limite di Rayleigh (LR), frazione K-esima dell’intervallo di fase non ambiguo 2 ( 1) /

R K K

φ π

∆ = − ,

- sulla separazione 2φ_B tra le fasi interferometriche dei centroidi delle due sorgenti di Bragg,

- sulla correlazione tra i dati letti,

-sul valore minimo della velocità osservata oltre il quale diviene necessaria un’operazione di srotolamento della fase.

Come è già stato detto nel capitolo precedente, il metodo Covariance Fitting soffre di problemi di malcondizionamento legati all’esiguo numero di sensori collocati nell’array. Questo ci ha consentito di studiare un numero di casi inferiore a quanto previsto dato che, per 3 antenne, i risultati simulati risultano essere illeggibili nonostante i vari metodi di stabilizzazione applicati. In considerazione di ciò i sistemi ATI analizzati sono 3:

un sistema a base uguale con 5 sensori (casi 2 e 6); un sistema a base lunga con 5 sensori (casi 4 e 8);

un sistema non incluso in tabella con 11 sensori, t=16 e φB=22π/23 (caso non-ATI).

3.2 Casistica delle simulazioni

Le simulazioni relative all’algoritmo di stima sono state effettuare al fine di ricavare gli andamenti dell’errore quadratico medio (RMSE) al variare dei seguenti parametri:

a) ∆SNR, cioè il rapporto tra la potenza media dell’onda che si avvicina e quella che si allontana,

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b) SNR, ovvero il rapporto segnale-rumore complessivo, c) N, numero di look.

Le simulazioni relative ai sistemi indicati ai casi b) e c) forniscono l’andamento delle prestazioni al variare del rapporto segnale rumore totale SNR e del numero di

look N, nel caso particolare di sorgenti di Bragg equipotenti. Le simulazioni relative al caso a) e c) sono effettuate con un rapporto segnale-rumore pari a 24 dB, mentre i casi a) e b) con un numero di look uguale a 32.

Nella tabella 3.2 viene indicato, per ogni combinazione di caso e parametro

variabile, il numero della figura corrispondente raffigurata nel

paragrafo.successivo. PARAMETRI VARIABILI CASO SIMULATO SNR2/SNR1 (dB) SNR (dB) N

Caso 2 Figura 3.1 Figura 3.6 Figura 3.10

Caso non-ATI Figura 3.5

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3.3 Diagrammi delle prestazioni

In questa sezione vengono raccolti i diagrammi delle prestazioni dei sistemi simulati. Le prestazioni degli stimatori, come già preannunciato, sono confrontate sia con le curve di prestazioni di MUSIC, sia con i limiti di Cramer-Rao.

Di seguito si fornisce una breve descrizione dei diagrammi presentati.

La prma sequenza di figure 3.1-3.5 rappresenta l’andamento dell’errore quadratico medio (RMSE) al variare del rapporto della potenza media tra la sorgente che si avvicina e quella che si allontana (SNR2/SNR1). Gli andamenti di tali curve

vengono confrontati sia con le curve dell’RMSE calcolato con il metodo MUSIC, sia con i CRLB relativi alle due fasi di Bragg stimate. Si noti che l’unico caso in cui il metodo covariance fitting ha prestazioni migliori di MUSIC è il caso non-ATI

(figura 3.5), che è proprio quello per cui questo metodo era stato concepito, anche se, a fronte di una forte polarizzazione della stima, le curve descritte scendono sotto i bound. Nella stessa figura è stato necessario effettuare un cambio di colori per quanto riguarda le curve relative al metodo covariance fitting per ottenere una maggiore leggibilità dei grafici.

La seconda sequenza di figure 3.6-3.9 si riferisce agli stessi casi, ma gli RMSE stavolta sono stati calcolati al variare del rapporto segnale–rumore complessivo. La terza ed ultima sequenza (figure 3.10-3.13) mostra gli andamenti dell’RMSE nei casi 2, 4, 6 ed 8 al variare del numero di look.

Si noti che, nella legenda di ogni figura, le curve ottenute con l’algoritmo covariance fitting sono indicate con Cov Fitting, quelle ricavate con MUSIC semplicemente con MUSIC ed i limiti di Cramer-Rao con CRLB.

Una stima di fase è da ritenersi buona quando l’errore quadratico medio (RMSE) è inferiore ai 10_{. In base a questa affermazione commenteremo i risultati ottenuti.}

In figura 3.1 osserviamo che gli errori relativi alle stime delle fasi di Bragg sono leggermente inferiori ai 100_{, di conseguenza le stime di fase non possono}

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rappresentato in figura 3.2 dove l’RMSE supera i 100_{. Il caso analizzato in}_figura

3.3 risulta essere analogo a quello visto in figura 3.1, ovvero l’errore quadratico medio delle stime risulta essere di poco minore dei 100 gradi. In figura 3.4 la situazione è ulteriormente peggiorata: l’errore sulle stime, infatti, supera i 100 gradi. L’unico caso in cui lo stimatore Covariance Fitting fornisce delle buone stime di fase (RMSE piccolo, in questo caso inferiore agli 0.1 gradi) è indicato in

figura 3.6. Il caso qui rappresentato, infatti, è proprio lo scenario “non ATI ”, ovvero quello per il quale questo metodo era stato originariamnete concepito.

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Figura 3.1 andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del rapporto tra la potenza

media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=4, φ_B =3 / 8π , N=32 e SNR=24 dB

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Figura 3.2: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del rapporto tra la potenza

media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=1, φ_B =3 / 2π , N=32 e SNR=24 dB

media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono K=5, t=2, φ_B =3 / 8π , N=32, SNR=24 dB

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=0.5, φ_B =3 / 2π , N=32, SNR=24 dB

Proponiamo qui di seguito la stessa figura 3.4 in cui però il valore SNR2/SNR1 varia in un range maggiore (da -10 a 10 dB).

media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=0.5, φ_B =3 / 2π , N=32, SNR=24 dB

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana I parametri della simulazione sono: K=11, t=16, φ_B =22 / 23π , N=32, SNR=24 dB. Nota: per migliorare la leggibilità della figura è stato necessario cambiare i colori delle curve relative allo stimatori Covariance Fitting.

Nei grafici a seguire, in cui il parametro che varia è il rapporto segnale-rumore totale (figure 3.6-3.9) e il numero di look (figure 3.10-3.13), le due curve relative ad ogni stimatore ed ai limiti di Cramer-Rao risultano essere sovrapposte in quanto si presuppone,come precedentemente detto, che le sorgenti sono equipotenti (SNR1=SNR2).

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Figura 3.7: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del rapporto segnale rumore

complessivo. I parametri della simulazione sono: K=5, t=4, φ_B =3 / 8π , N=32

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Figura 3.11: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del numero di looks. I

parametri della simulazione sono: K=5, t=4, φ_B =3 / 8π , SNR=24 dB.

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