Modelli articolari
Euler angles are evil. (Steve Baker)
3.1 Introduzione
In campi come la robotica. la biomeccanica e in computer gra ca, vengono usate delle strutture gerarchiche per modellare corpi articolati come robots, esseri umani o altre creature. Un corpo articolato puo essere pensato come composto da una serie di segmenti rigidi connessi da giunti. La peculiarita di un giunto e quella di permettere un moto relativo tra i due segmenti che esso connette e in questo lavoro si e fatto uso di giunti cinematici cosiddetti ideali, per permettere la formalizzazione in agevoli termini matematici di questo moto relativo.
Il piu semplice modello di giunto, tra quelli che sono contemplati in questo ambito, e il cosiddetto giunto rotoidale. che permette una rotazione attorno ad un asse sso in entrambi i segmenti, normalmente in un range delimitato. Si dice che questo tipo di giunto ha un grado di liberta ed e di gran lunga il piu usato in robotica a causa della sua semplicita, sia descrittiva che costrut-tiva. Nel corpo umano esso puo schematizzare ad esempio le articolazioni interfalangee della mano e del piede. Sfortunatamente, per articolazioni piu
3.2 Il giunto sferico complesse, come ad esempio l'anca e la spalla, sono richiesti giunti con piu gradi di liberta, con assi spesso mobili e concorrenza di moti complessi da studiare; un accurato modello di questi e un compito ben dicile: deve essere data una chiara descrizione matematica del moto permesso tra i due giunti attraverso un'appropriata parametrizzazione.
In gura 3.1 si riporta l'unione di tutti i modelli che saranno descrit-ti in questo capitolo, a formare una creatura dalle sembianze umane { un cosiddetto Avatar { mossa dai tessuti sensorizzati; questi sono:
il collo;
l'arto superiore; il tronco;
l'arto inferiore.
e i giunti utilizzati sono i seguenti:
giunto rotoidale ad un grado di liberta; giunto rotoidale a due gradi di liberta; giunto sferico a tre gradi di liberta.
Nella prossima sezione viene a rontato il problema della parametrizzazio-ne del giunto sferico. A causa della complessa natura delle rotazioni, questo deve essere fatto con cura, altrimenti si incorre nel problema delle singolarita ([1]).
3.2 Il giunto sferico
Per rispettare i presupposti del compromesso tra accuratezza e semplicita, si e scelto di modellizzare le articolazioni che richiedono almeno tre gradi di liberta rotazionali con il cosiddetto giunto sferico (in inglese: ball and socket joint) visibile in gura 3.2, che e il piu generale tra quelli elencati nora.
Figura 3.1: I vari modelli implementati nell'ambiente tridimensionale dell'avatar.
Esso verra accuratamente descritto nel seguito e saranno a rontati tutti i problemi legati alla sua parametrizzazione.
3.2.1 Parametrizzazione delle rotazioni
Si conoscono molte parametrizzazioni delle rotazioni. Tra queste, le piu usate sono:
gli angoli di Eulero-Cardano (angoli di tre rotazioni successive intor-no a determinati assi) di cui la convenzione di Denavit-Hartenberg e un'applicazione;
la rappresentazione asse/angolo (anche detta mappa esponenziale); il quaternione unitario (consciuto anche come parametri di Eulero). E' ben noto il fatto che una rappresentazione minima dell'orientamento di un sistema di riferimento rispetto ad un altro prevede la conoscenza di tre parametri. Delle tre sopra esposte, solo gli angoli di Eulero forniscono una rappresentazione minima dell'orientamento1, mentre le altre due sono 1Si ricorda che esistono dodici possibilita di scelta nella de nizione degli angoli di Eulero
3.2 Il giunto sferico
dette ridondanti. Ognuna ha i suoi pregi e difetti e vengono usate a secon-da dell'applicazione che si intende fare; un buon confronto tra queste puo essere trovato in [10], dove si evince il fatto che nessuna puo essere consi-derata la migliore. E' quindi pratica comune usarle simultaneamente e fare conversioni tra le une e le altre. Ad esempio, il quaternione unitario e molto usato quando si richiede di interpolare tra due orientamenti e per risolvere il problema del cosiddetto gimbal lock (di cui si parlera nel seguito), mentre la rappresentazione asse/angolo e usata in problemi di controllo di erenzia-le con cinematica inversa2. Gli angoli di Eulero non sarebbero una buona
scelta in nessuna delle due applicazioni appena menzionate, mentre sono il set di parametri piu intuitivo per manipolare in cinematica diretta un giunto sferico in un'interfaccia GUI3.
3.2.2 Singolarita cinematiche
Un punto importante nel confroto tra parametrizzazioni e la presenza di sin-golarita cinematiche, un classico problema di controllo. La caratterizzazione delle singolarita e di notevole interesse per i seguenti motivi ([24]):
le singolarita rappresentano con gurazioni in corrispondenza delle qua-li si ha una perdita di mobiqua-lita della struttura, ossia non e possibile imporre al segmento in questione determinate leggi di moto;
quando una struttura e in con gurazione singolare, possono esistere in nite soluzioni al problema cinematico inverso.
e possono essere classi cate in:
singolarita ai con ni dello spazio di lavoro raggiungibile: sono quelle che causano meno inconvenienti perche intervengono solo in condizioni limite, in teoria mediamente poco frequenti e dalle quali la tendenza e quella di allontanarsene;
2In robotica si parla di cinematica inversa quando si vuole determinare le variabili di
giunto, una volta assegnati posizione e orientamento dell'organo terminale.
3.2 Il giunto sferico singolarita all'interno dello spazio di lavoro raggiungibile: che sono generalmente causate dall'allineamento di due o piu assi del moto. Rispetto alle precedenti queste costituiscono un problema ben piu serio. da questa si evince come le singolarita debbano essere tenute il piu possibile lontano dallo spazio in cui si opera.
Sfortunatamente, ogni parametrizzazione in termini di tre parametri delle rotazioni presenta almeno una singolarita: gli angoli di Eulero incorrono nel fenomeno del gimbal lock (esposto nel seguito) quando la rotazione intermedia assume i valori di 90, 270 e la rappresentazione asse/angolo presenta
l'ambiguita data dal fatto che R() = R( ) ([24]); i quaternioni unitari, a di erenza, sono privi di singolarita, ma a costo di usare quattro parametri anziche tre e di introdurre un vincolo quadratico di norma unitaria che deve essere assicurato (si veda l'appendice C per maggiori informazioni su questi oggetti matematici).
Il gimbal lock
Generalmente le singolarita possono essere puramente matematiche e dipen-denti dalla parametrizzazione scelta; ma talvolta possono ri ettere una situa-zione sica reale: in tal caso si parla di gimbal lock, un problema riscontrato correntemente ad esempio nei simulatori di volo e nei giroscopi.
Il gimbal lock incorre quando, nella sequenza di tre rotazioni, quella in-termedia e causa dell'allineamento del primo e dell'ultimo asse di rotazione con la conseguente perdita di un grado di liberta. A proposito si veda la -gura 3.3 che rappresenta un aereo in cui originariamente gli assi di rotazione corrispondevano ai classici RPH4 (Roll, Pitch, Heading): dopo una
rotazio-ne di 90 intorno al secondo asse di rotazione (quello del beccheggio) non e
piu possibile eseguire un'imbardata a causa dell'allineamento dell'asse a cui corrispondeva questa rotazione con quello del rollio.
4Alcuni autori usano l'acronimo RPY usando il termine Yaw per l'imbardata al posto
di Heading. L'autore, anche per motivi autoreferenziali, preferisce l'acronimo RPH per non confondere l'imbardata Y con l'asse Y .
Figura 3.3: Il problema del gimbal lock citato nel testo.
Matematicamente il gimbal lock consiste nella perdita di un grado di liberta nella generica matrice di trasformazione risultante delle tre rotazioni successive R( ; ; )5 e: R( ; ; ) = 0 B B @ c( )c( ) c( )s( )s( ) c( )s( ) c( )c( )s( ) + s( )s( ) c( )s( ) c( )c( ) + s( )s( )s( ) c( )s( )s( ) c( )s( ) s( ) c( )s( ) c( )c( ) 1 C C A se in questa si pone = =2, allora una rotazione di avra lo stesso e etto di una rotazione di , infatti la matrice diventa:
R( ; ; ) = 0 B B @ 0 s( ) c( ) 0 c( ) s( ) 1 0 0 1 C C A
la quale ha un solo grado di liberta anziche due ( e ssato), dato che cambiamenti di e risultano in rotazioni attorno allo stesso asse.
3.3 L'arto superiore
Guardando un braccio dall'esterno si puo pensare ad un modello dell'intero arto come ad una catena cinematica aperta costituita da almeno tre corpi
3.3 L'arto superiore
Figura 3.4: Il complesso articolare della spalla.
rigidi principali che rappresentino il braccio, l'avambraccio e la mano, uniti da giunti che consentano i movimenti gia de niti nel capitolo 2, sezione 2.3.2. Un modello dell'arto superiore dovrebbe quindi possedere almeno 7 gradi di liberta per descriverne il movimento, per cui si sono fatte le seguenti scelte:
la spalla e vista come un giunto sferico che collega due corpi rigidi: l'o-mero e la gabbia toracica. Dal punto di vista articolare cio signi ca aver perso l'azione di sinergia che il complesso articolare ( gura 3.4) e et-tua per movimentare l'omero nello spazio. D'altronde, per gli scopi di questo lavoro, cio non rappresenta un problema, dato che l'attenzione e focalizzata su una ricostruzione ecace della posizione e dell'orien-tamento dell'omero: questa deve risultare intuitiva quando il paziente vede il modello del suo arto che si muove sul monitor del computer. Inoltre non e da trascurare il fatto che, con i sensori in questione, e piuttosto dicile catturare i movimenti della scapola e della clavicola perche, nonostante il range di mobilita di questi segmenti ossei sia rela-tivamente elevato, ad esso corrispondono soltanto piccole deformazioni a livello cutaneo, dicilmente rilevabili da estensimetri.
il gomito ed il polso sono visti entrambi come una successione di due cer-niere cilindriche con assi ortogonali intersecantisi in un punto. Questi giunti collegano rispettivamente l'omero all'avambraccio e quest'ultimo alla mano. I segmenti che rappresentano l'avambraccio e la mano
so-Figura 3.5: Il modello dell'arto superiore.
no intesi come singoli corpi rigidi, come si e fatto per l'omero. Anche qui si e perso ogni informazione dal punto di vista delle reali articola-zioni, ma continuano a valere le medesime considerazioni che si sono fatte per la spalla. La loro parametrizzazione non pone particolari dif- colta, in quanto gli angoli di Eulero, per due rotazioni consecutive, non incorrono in problemi di singolarita.
Lo schema del modello risultante e rappresentato nelle gura 3.5 e 3.6.
3.3.1 Analisi di posizione dell'arto superiore
Uno degli obiettivi posti nell'ambito di questo progetto e quello di quello di poter riconoscere le posizioni o { per meglio dire { di poter informare l'uten-te di qual'e orientamento di ogni segmento rispetto al sisl'uten-tema di riferimento dell'articolazione che lo muove. A monte di questa fase informativa sta la fase di calibrazione, in cui l'arto e posizionato in determinate posizioni di rife-rimento per acquisire in maniera guidata le posizioni base. Qui nasce quindi un problema di controllo da parte dell'utente che deve posizionare l'arto sul
3.3 L'arto superiore
Figura 3.6: L'arto superiore nell'avatar.
monitor come lo sta posizionando nella realta ed e per questo che il sistema deve essere il piu controllabile possibile e il meno a etto da singolarita nello spazio di lavoro, pena la non possibilita di riuscire ad e ettuare determinate traiettorie. Si capisce quindi come i problemi siano concentrati nel giunto sferico.
Come si e gia detto nella sezione 3.2.1, gli angoli di Eulero sono la parame-trizzazione piu intuitiva per manipolare il giunto sferico: attraverso sei tasti e possibile incrementare o decrementare la terna di angoli scelti ed orientare l'omero rispetto ad una con gurazione iniziale ed un sistema di riferimento solidale alla spalla6. Il giunto stesso e quindi sostituito da una serie di 3
cerniere rotoidali che rappresentano una terna di angoli di Eulero del tipo ZYZ (si veda la gura 3.7).
Questa scelta e congruente con tutto cio che si e detto a riguardo delle singolarita, in quanto queste continuano a sussistere ma sono con nate ai margini dello spazio di lavoro, piu precisamente corrispondono alle posizioni di massima e minima abduzione rispetto alla posizione standard.
Data la presenza di soli giunti rotoidali ad un grado di liberta lungo
6cio e sicuramente piu intuitivo del fornire i versori di un asse di rotazione e l'angolo
Figura 3.7: Il modello dell'arto superiore con le trasformazioni secondo la convenzione di Denavit-Hartenberg.
tutta la catena cinematica che compone l'arto e possibile esprimere le tra-sformazioni per il calcolo della cinematica diretta attraverso la convenzione di Denavit-Hartenberg (le cui fondamenta sono riportate in appendice B), che fornisce uno strumento sistematico e quindi adatto alla logica dei calcolatori per gestire le trasformazioni di coordinate da un segmento all'altro. Il set dei parametri di Denavit-Hartenberg per l'intero arto superiore e riportato in tabella 3.1.
Una volta acquisito le posizioni di calibrazione il sistema deve poterle riconoscere ed il passaggio tra la posizione precedente e quella attuale deve essere tale da creare un'animazione congeniale all'occhio umano. A questo scopo e parere unanime che un'interpolazione lineare tra le due posizioni de -nite in termini di angoli di Eulero non sia la migliore scelta, in quanto risulta in un'animazione scattosa e poco aderente ad un movimento reale. Per ov-viare si ricorre all'uso di un'iterpolazione lineare sferica tra due orientamenti espressi in termini di quaternioni unitari7, il cui risultato e un'animazione 7Si veda l'appendice C in cui e riportato tutto il necessario per comprendere a fondo
3.4 L'arto inferiore trasf d a 0 ! 1 0 q1 0 =2 1 ! 2 0 q2 0 -=2 2 ! 3 arm q3 0 =2 3 ! 4 0 q4 0 -=2 4 ! 5 forearm q5 0 =2 5 ! 6 0 q6 0 -=2 6 ! 7 0 q7 hand 0
Tabella 3.1: Parametri di Denavit-Hartenberg per il modello di controllo in cinematica diretta dell'arto supaeriore.
uida e piacevole. In ne, l'assenza di singolarita nella de nizione dell'orien-tamento in termini di quaternione, permette il raggiungimento di tutte le con gurazioni in maniera univoca e senza ambiguita.
3.4 L'arto inferiore
Data l'attuale presenza di una ginocchiera sensorizzata gia funzionante, si e scelto di implementare anche per questa un'interfaccia gra ca. La ginocchiera in questione e capace per ora di rilevare solo l'angolo di esso-estensione dell'articolazione, per cui un solo grado di liberta.
Volendo, un modello dell'arto inferiore, potrebbe essere perfettamente identico a quello dell'arto superiore (dimensioni e limiti esculsi ovviamente), ma data la possibilita di rilevare solo un movimento, e stato scelto di modella-re l'arto inferiomodella-re con soli tmodella-re gradi di liberta complessivi insemodella-rendo un giunto rotoidale di esso-estensione in ogni articolazione8. Il modello risulatante e
visibile in gura 3.9 e i parametri di Denavit-Hartenberg sono riportati in tabella 3.2.
l'argomento.
8ne basterebbe anche uno solo nel ginocchio, ma in applicazioni quali la pedalata di
Figura 3.8: L'arto inferiore nell'avatar.
Figura 3.9: Modello dell'arto inferiore.
trasf d a 0 ! 1 0 q1 thigh 0
1 ! 2 0 q2 shank 0
2 ! 3 0 q3 foot 0
Tabella 3.2: Parametri di Denavit-Hartenberg per il modello di controllo in cinematica diretta dell'arto inferiore.
3.5 Altre articolazioni
Figura 3.10: Flessione lombare e rotazione del tronco.
Figura 3.11: Flessione e rotazione del collo.
3.5 Altre articolazioni
In questa sezione verranno presentate alcune articolazioni implementate nel-l'avatar allo scopo di conferirgli un minimo di mobilita. Queste ancora non sono manipolabili tramite la tuta, ma lo si prevede in futuro.
3.5.1 Il tronco ed il collo
L'articolazione del tronco prevede i movimenti di esso-estensione lombare e di rotazione, mentre quella del collo permette i movimenti di essione nel piano sagittale e di rotazione.
