MODELLI MATEMATICI PER LA MECCANICA ING. AEROSPAZIALE
proff. Daniele Andreucci, Emilio Cirillo Prova a distanza del 04/06/2020
1. Un disco D di raggio R e centro G è vincolato ad avere l’estremo A di un diametro solidale AB appartenente all’asse x3 e l’altro estremo B all’elica cilindrica
x1 = 2R cos(αs) , x2 = 2R sin(αs) , x3 = hαs ,
con α, h > 0, s ∈ R. Denotiamo con O l’origine del sistema di riferimento fisso, e con HK il diametro solidale ortogonale a AB.
Dire se le seguenti parametrizzazioni lagrangiane con le coordinate indicate sono ammissibili o no.
1) s ∈ R, ϕ ∈ (−π, π) tali che
−→OA = hαse3,
−−→HK = 2R cos ϕ[− sin(αs)e1+ cos(αs)e2] + 2R sin ϕe3. 2) z ∈ R, ϕ ∈ (−π, π) tali che
−→OA = ze3,
−−→GK = R sin ϕh
− sinz
he1+ cosz he2
i
+ R cos ϕe3. 3) z ∈ R, ϕ ∈ (−π, π) tali che
−→OA = ze3.
−−→GH = R cos ϕh cosz
he1+ sinz he2i
+ R sin ϕe3. Soluzione
1. S
A e B devono essere alla stessa quota αhs; il diametro ortogonale HK è dato come combinazione di due versori, entrambi ortogonali al versore di AB, che è cos(αs)e1+ sin(αs)e2.
2. S
Questa parametrizzazione è ottenuta in modo simile alla precedente, ma usa la quota di A come parametro. Inoltre definisce l’angolo ϕ come il complementare del caso precedente.
3. N
In questo caso GH non è ortogonale a AB.
2. Il punto materiale P1 di massa m1 è vincolato alla circonferenza x21+ x22 = R2, x3= 0 ,
e il punto materiale P2 di massa m2 è vincolato alla circonferenza x21+ x22= 4R2, x3 = L ,
con R, L > 0.
Su Pi agisce la forza Fi data da
F1 = −F2= k|X1− X2|2(X1− X2) , con k > 0 costante.
Si scelgano come coordinate lagrangiane (ϕ, θ) ∈ (−π, π) × (−π, π) tali che Xl1 = R cos ϕe1+ R sin ϕe2,
Xl2 = 2R cos θe1+ 2R sin θe2+ Le3. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
4) Esistono infinite posizioni di equilibrio.
5) Si può definire il potenziale lagrangiano, e questo vale Ul(ϕ, θ) = k
4[5R2− 4R2cos(ϕ − θ) + L2]2. 6) Esistono condizioni iniziali ˙ϕ(0), ˙θ(0) per cui
˙
ϕ(t)2+ ˙θ(t)2 → +∞ , t → +∞ . Soluzione
1. S
Questo segue dalla simmetria del problema, oppure scrivendo il potenziale (vedi punto seguente), e osservando che
∂ Ul
∂ϕ = 0 , ∂ Ul
∂θ = 0 , si riduce a sin(ϕ − θ) = 0.
2. S
Un semplice calcolo dà il potenziale Ul(ϕ, θ) = k
4|Xl1− Xl2|4,
che sostituendo la parametrizzazione lagrangiana dà l’espressione nella domanda.
3. N
Si ha per la conservazione dell’energia e per una costante E opportuna (dipendente dal moto)
Tl= Ul+ E ≤k
4 max|Xl1− Xl2|4+ E ,
che implica subito la limitazione richiesta.
3. Si considerino 3 moti (in componenti nella base standard eh di R3) X1 = (z1, z2, z3) , X2 = (z4, z5, z6) , X3= (z7, z8, z9) , vincolati da (poniamo qui z = (z1, . . . , z9))
f1(z) = z1+ z7− z82 = 0 , f2(z) = z1+ z5z6 = 0 , f3(z) = z5− z8= 0 .
Si assuma per noto che questo è un sistema di vincoli olonomi regolari in ogni configurazione compatibile.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
7) La seguente parametrizzazione lagrangiana è ammissibile in un intorno della configurazione z = 0: le coordinate sono (z2, z3, z4, z5, z6, z9) ∈ Q, Q ⊂ R6 aperto opportuno, e
z1= −z5z6, z7= z52+ z5z6, z8 = z5.
8) L’energia cinetica in forma lagrangiana, per qualunque scelta delle coor- dinate lagrangiane qh, è un polinomio positivo di grado 6 nelle ˙qh.
9) L’ipotesi dei lavori virtuali applicata a questo sistema consiste in un si- stema lineare 9 × 9 nelle componenti delle reazioni vincolari applicate ai 3 punti.
Soluzione 1. S
Sono soddisfatte tutte le ipotesi delle parametrizzazioni lagrangiane (perché è una parametrizzazione di tipo cartesiano in cui le coordinate lagrangiane sono le coor- dinate indipendenti del teorema del Dini).
2. N
L’energia cinetica in forma lagrangiana è (se i vincoli sono fissi) una forma quadra- tica definita positiva nelle ˙qh, quindi di grado 2.
3. N
L’ipotesi dei lavori virtuali consiste in ℓ = 9 − 3 = 6 relazioni scalari, corrispondenti in pratica alle relazioni di ortogonalità della reazione vincolare allo spazio degli spostamenti virtuali (che ha dimensione 6).
4. A un disco omogeneo di raggio R si pratica un foro di raggio R/2 tangente internamente il bordo del disco. La lamina così ottenuta ha massa M . Alla lamina viene poi saldato un elemento di massa m nel punto di tangenza. In figura è rappresentato il corpo assieme al riferimento {O′, ~ei′} a esso solidale.
O′
~ e2′
~e3
Il corpo si muove rispetto al riferimento fisso {O, ~ei} mantenendo l’asse 1 solidale parallelo all’omologo asse 1 fisso e punto O′ sull’asse 2 fisso. Indicata con ϕ l’anomalia individuata dagli assi 2 fisso e solidale, il moto è descritto dalle relazioni −−→
OO′(t) = A sin(λt)~e2 e ϕ(t) = αt, con A, λ, α > 0 assegnati.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
10) Il momento d’inerzia del corpo relativo all’asse 3 del riferimento solidale rappresentato in figura vale (43/48)M R2+ 4mR2.
11) Se m = 4M/3 il centro di massa del corpo rigido coincide con il centro geometrico del foro.
12) Le equazioni parametriche della base (centroide fissa) sono c1(t) = 0, c2(t) = A sin(λt) − (2Aλ/α) cos(λt) sin(αt), c3(t) = (2Aλ/α) cos(λt) cos(αt).
Soluzione 1. S
Per determinare il momento d’inerzia del disco forato si procede a determinare la densità σ = 4M/(3πR2) e si considerano due corpi fittizi, il pieno di massa σπR2e il foro di massa −σπR2/4. L’espressione del momento d’inerzia può essere quindi determinata facendo ricorso anche al teorema di Huygens.
2. S
Procedendo come al punto precedente, si osserva prima che il corpo pieno ha centro di massa nel centro del disco e il corpo fittizio di massa negativa ha centro nel centro del foro. Allora il centro di massa GD del disco forato si può determinare
come −−−→
OGD= 1
σπR2+ (−σπR2/4)
hσπR2R + (−σπR2/4)3 2Ri
~e2′.
Si passa poi a determinare il centro di massa del corpo considerando il contributo dell’elemento.
3. N
No, per determinare le equazioni della rulletta si cercano le coordinate del centro di istantanea rotazione C scrivendo 0 = ~vO′+ ~ω ×−−→
O′C, con−−→
O′C = c′2~e2′+ c′3~e3′. 5. Un punto materiale P di massa m si muove vincolato a una superficie regolare parametrizzata da
r∈ C∞(Q) , Q ⊂ R2. Prendiamo (ϕ, θ) ∈ Q come coordinate lagrangiane.
Il punto è soggetto a un campo di forze conservativo F ∈ C∞(R3), F = F1e1+ F2e2+ F3e3.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
13) Si ha
∂F1(r)
∂ϕ = ∂F2(r)
∂θ .
14) Anche se la superficie è illimitata, ciascun moto è limitato.
15) Se il vincolo è liscio, in ogni istante il vettore ma − F è ortogonale a S.
Soluzione 1. N
Questa relazione non vale in coordinate lagrangiane, in genere; basta pensare al caso della sfera, l’usuale rappresentazione in longitudine ϕ e colatitudine θ, e F = x1e1. 2. N
Un controesempio è quello di S un piano, e F = 0.
3. S
Se il vincolo è liscio, ma − F = fvin, che è normale a S.
6. Si consideri il moto unidimensionale
m¨x = a(x − 1)4, x ∈ R , con a > 0 costante.
Con riferimento al diagramma delle orbite nel piano delle fasi, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
16) Esistono orbite ove ˙x(t) > 0 per ogni t.
17) Tutte le orbite sono illimitate, a parte eventualmente quelle corrispon- denti ai punti di equilibrio.
18) Tutti i moti soddisfano | ˙x(t)| → +∞ per t → Σ, se (σ, Σ) denota l’intervallo massimale di esistenza.
Soluzione 1. S
L’orbita corrispondente al livello di energia E = 0, lo stesso dell’equilibrio, nel semipiano ˙x > 0.
2. S
Ogni orbita (a parte quella dell’equilibrio) contiene una curva (qui E è una costante)
p = ± r 2
5m(5E + a(x − 1)5) , x > x0, con x0opportuno.
3. N
Questo non è vero per l’orbita corrispondente al livello di energia E = 0, lo stesso dell’equilibrio, nel semipiano ˙x < 0. Lungo il moto corrispondente, ˙x(t) → 0− per t → +∞.
7. Un sistema di riferimento mobile S = (XO, M) ha base mobile M = (uh) e
XO(t) = R cos(αt)e1+ R sin(αt)e2, t ∈ R , con R, α > 0 costanti.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
19) La matrice di cambiamento di base tra M e la base fissa è una matrice 3 × 3 definita positiva.
20) La velocità angolare ω di M rispetto alla base fissa non può essere nulla.
21) Se ω = ω0e3, con ω0 ∈ R costante, allora la forza di trascinamento in S è una forza posizionale nelle coordinate del sistema fisso.
Soluzione 1. N
Non è vero in genere, per esempio se corrisponde a una rotazione di angolo ϕ ∈ (π/2, π).
2. N
La velocità angolare di M non ha nessuna relazione con XO; se uh(t) = eh per ogni t, come possibile, si ha ω(t) = 0 per ogni t.
3. N
La forza di trascinamento è
Ft= −m[ ¨XO(t) + ω20e3× (e3× (x − XO(t)))] , che non risulta posizionale né nelle coordinate di S, né nel sistema fisso.
8. Si considera un parallelepipedo a base quadrata omogeneo e un riferimento cartesiano con origine nel suo centro di massa.
22) Il riferimento è necessariamente centrale d’inerzia.
23) Se il corpo venisse posto in moto sferico con polo nel centro di massa il momento angolare totale risulterebbe necessariamente parallelo alla velocità angolare.
24) Se il corpo si muovesse libero e sottoposto al solo peso, il moto rispetto al centro di massa sarebbe rotatorio oppure di precessione.
Soluzione 1. N
No, perché il corpo non è a simmetria sferica.
2. N
No, solo in caso di moto rotatorio attorno a un asse centrale.
3. S
Perché si tratterebbe del moto alla Poinsot di un solido a struttura giroscopica.
