Le masse dei nuclei

(1)

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Le masse dei nuclei

Lezione 2

(2)

L’inizio: trasmutazioni nucleari

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 2

•  Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi.

•  Osservazione di radiazione con energia dell’ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione.

–  Energia per atomo 10⁶ volte maggiore delle reazioni chimiche.

–  Cambio di natura degli stessi atomi.

www.treccani.it

(3)

Masse e dimensioni dei nuclei

(Das-Ferbel, capp. 2 e 3)

•  L’esperimento di Rutherford dimostra che la carica positiva dell’atomo è contentrata in un nucleo.

–  Dimensioni del nucleo << dimensioni atomiche (10^-10 m)

–  Gli elettroni occupano lo spazio restante, ma costituiscono una frazione piccola della massa atomica:

m_e = 9.10938291×10^-31 kg << M_atomi 10^-27—10^-25 kg

–  Dimensioni dei nuclei stimabili da considerazioni quantistiche

(vedremo più avanti la misura diretta con gli esperimenti di Hofstadter)

•  Determinazione sperimentale delle masse di nuclei permet- te di formulare le basi della struttura nucleare:

–  nuclei sono costituiti da protoni e neutroni, e m_p~m_n –  la massa nucleare è minore di quella dei costituenti

osservazione diretta equivalenza massa-energia

–  Lo studio dell’energia di legame fornisce importanti informazioni qualitative sulle interazioni nucleari: modello a goccia

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SISTEMA DI UNITÀ NATURALI

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2

(5)

Costanti fondamentali

•  Prima di iniziare la discussione sulle masse e dimensioni dei nuclei consideriamo due costanti fondamentali della natura.

•  La relatività ristretta introduce come costante la velocità della luce:

–  permette di collegare tra di loro le unità di misura di:

•  massa [M] ⇔ momento [P]=[Mc] ⇔ energia [E]=[Mc²]

•  lunghezza [L] ⇔ tempo [T]=[L/c]

•  La meccanica quantistica introduce la costante di Planck, come unità fondamentale dell’azione (area nello spazio

delle fasi):

–  permette di collegare tra di loro le unità di misura di:

•  energia [E] ⇔ tempo [T]=[ħ/E]

•  lunghezza [L] ⇔ momento [P]=[ħ/L]

! = h

2 π = 1.054571726 ×10

⁻³⁴

Js

c = 2.99792458 ×10

⁸

m/s

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Sistema di unità naturali

•  In pratica possiamo definire una sola unità di misura fondamentale.

•  Tutte le altre possono venire derivate da questa attraverso ħ e c.

•  Un sistema che useremo spesso durante il corso:

–  Unità di misura dell’energia: eV –  Unità di misura della massa: eV/c²

–  Unità di misura della quantità di moto: eV/c –  Unità di misura del tempo: eV^-1ħ

–  Unità di misura della lunghezza: eV^-1ħc –  Unità di misura della velocità: c

–  Unità di misura del momento angolare: ħ

•  Numericamente è come usare un sistema di unità in cui:

ħ = c = 1

(7)

Sistema di unità naturali

•  Un sistema di unità in cui ħ = c = 1 viene spesso chiamato sistema naturale

–  calcoli e formule sono spesso molto semplificati in un sistema naturale

–  per trasformare i risultati in unità SI si tratta di moltiplicarli per i corretti fattori di conversione:

c = 2.99792458 ×10

⁸

m/s ≈ 3 ×10

⁸

m/s

! = 6.58211928 ×10

⁻²²

MeVs ≈ 2

3 ×10

⁻²¹

MeVs

!c = 197.3269718 MeVfm ≈ 200 MeVfm

(8)

Costante di struttura fine

•  La quantità che compare nell’energia potenziale elettrostatica:

•  ha le dimensioni di Energia×Lunghezza = [ħc]

•  Il suo valore in sistema di unità naturali è:

–  indipendente dall’unità fondamentale scelta

•  in questi sistemi la carica elettrica elementare è un numero adimensionale:

•  Il coefficiente che compare in molte espressioni dell’elettromagnetismo:

prende il nome di costante di struttura fine.

•  Ad esempio, la sezione d’urto di Rutherford:

e² ε0

e² 4πε0

1

!c =α = 1

137.035999 074

e²

ε0!c = 0.09170123392

dσ

dΩ = ZZ_α 4 α

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

sin⁴θ 2

!c E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

=

(

1.602176565 ×10⁻¹⁹C

)

²

8.854187817 ×10⁻¹²F/m = 2.899158908 ×10⁻²⁷Jm = 18.09512739 MeVfm

e²

ε0!c = 0.3028221209

Termine

adimensionale Superfice

(9)

Dimensioni dei nuclei

•  Nell’esperimento di Rutherford non si riusciva a distinguere la dimensione del nucleo

•  Una prima stima può venire dai decadimenti α

–  Se prendiamo un’energia tipica dei decadimenti α:

–  Corrisponde ad un momento:

–  Assumiamo che la particella α sia inizialmente confinata nel nucleo:

•  Quando è confinata il suo momento varia di ±p_α:

•  Dal principio di indeterminazione:

•  Una misura sistematica si ottiene dalla studio della sezione d’urto elettrone-nucleo:

–  se parametro d’impatto < dimensione nucleare la sezione d’urto differisce dalla sezione d’urto coulombiana

–  si ottiene:

R ~ r₀A^1/3 r₀ = 1.2 fm

Volume: V∝A

T_α = 5 MeV

p_α = 2m_αT_α ≈ 200 MeV

Δp = 2 p_α

ΔxΔp ≈ 1

Δx ≈ 1 / Δp ≈ 0.0025 MeV⁻¹ ≈ 0.5 fm

Unità naturali

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I Nobel di oggi

Stessi elementi chimici possono

avere nuclei

diversi. Misura precisa

delle masse atomiche.

M_atomi ~multipli interi di

M_idrogeno (entro 1%)

E=Mc² Energia di legame e massa

misurata dei nuclei.

(11)

Classificazione dei nuclei

•  I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni.

•  La carica del nucleo è data dal numero di protoni:

–  numero atomico Z

–  determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante –  di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento

chimico

•  La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di nucleoni:

–  numero di massa A

–  somma di Z e del numero di neutroni N

9 Be

Berillio: Z=4 Numero di

massa A=9 Neutroni N=A-Z=5

N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:

AZX

(12)

Classificazione dei nuclei

•  Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.

•  Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.

•  Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.

•  Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o

risonanze, da cui solitamente decade nello stato

fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)

N

→

Z

→

BNL Nuclide Map

http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

(13)

Carta dei Nuclidi

BNL Nuclide Map

http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

20983

Bi

(14)

Masse dei nuclei

•  La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:

•  La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:

–  Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.

•  Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:

M (A, Z ) < Zm_p + (A − Z )m_n

B.E. / c² = M (A, Z ) − Zm_p − (A − Z )m_n

m_p = 938.27 MeV / c² m_n = 939.57 MeV / c²

B

A = − B.E.

A = "#Zm_p + (A − Z )m_n − M (A, Z )$%c² A

(15)

Masse dei nuclei

(sottintendendo unità naturali)

•  La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:

•  La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:

–  Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.

•  Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:

M (A, Z ) < Zm_p + (A − Z )m_n

B.E. = M (A, Z) − Zmp − (A − Z )m_n

m_p = 938.27 MeV m_n = 939.57 MeV

B

A = −B.E.

A = Zm_p + (A − Z )mn − M (A, Z ) A

(16)

Spettrometro di massa

•  Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa

•  Il principio di funzionamento è il seguente –  una sorgente di ioni

•  gli atomi sono ionizzati e accelerati

–  un selettore di velocità

•  solo le particelle che viaggiano in linea retta attraversano i collimatori

•  La forza elettrica e la forza magnetica si bilanciano

–  uno spettrometro magnetico

•  masse diverse hanno raggi diversi

sorgente di ioni selettore v

v! F!_E = q !

E_v F!_B = q!

v × ! B_v

F!_E = −! F_B

spettrometro magnetico qvB = m v² R

mv = qBR

m = q B_v E_v BR

collimatori

v = E_v B_v

B!_v E!_v

R

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Spettrometro di massa

•  Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV.

–  ~10^-6 per atomi con A~100

•  Per poter determinare la massa con precisione occorre

–  misurare con precisione R

–  misurare con precisione E_v, B_v, B

•  stabilità ed uniformità

•  Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse

–  si utilizzano due molecole che hanno circa la stessa massa; ad esempio:

–  si possono utilizzare le stesse regolazioni di E e B per le due molecole

–  Le molecole passano attraverso le stesse regioni dell’apparato

•  Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:

•  Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.

m = q B_v E_v BR

160Gd ≈ C₁₂H₁₆ A_C₁₂_H₁₆ = 12 ×12 + 16 ×1

m₁ = q B_v E_v BR₁ m₂ = qB_v

E_v BR₂ C₁₂H₁₆

160Gd

m₁ m₂ = R₁ R₂

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Masse atomiche

•  Normalmente viene tabulato il peso atomico:

–  include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame B_e: –  espresso in unified atomic mass unit (u):

1/12 della massa di un atomo di ¹²C –  1 u = 931.49 MeV/c² = 1.6605 × 10^-27 kg

–  N_A = 6.022142×10²³ mol^-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di ¹²C

•  Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:

Mass excess = m(A, Z) − A u

m(A, Z ) = M (A, Z) + Zm_e − B_e(Z ) / c²

Mass excess [keV/c²] Atomic mass [µu]

(19)

Isotopi e pesi atomici

•  Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi.

–  sia come analisi di composizione

–  che come produzione di specifici nuclidi

•  I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica.

–  Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10^-3, –  eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con

abbondanza comparabile.

(20)

Energia di legame per nucleone

Binding energy curve - common isotopes.

Licensed under Public Domain via Commons.

(21)

Energia di legame per nucleone

•  Osservazione:

–  l’energia media di legame è approssimativamente costante:

B/A ~ 8 MeV

–  l’interazione nucleare deve essere a corto range.

(22)

Interazioni a lungo e corto range

•  Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana):

–  una particella interagisce con tutte le altre particelle presenti

–  energia della particella: A+1∝A

–  energia totale proporzionale al numero di coppie: E∝A(A-1)/2

•  Interazioni a breve range (es. legami molecolari)

–  una particella interagisce solo con le particelle più vicine

–  energia della particella: A+1~costante –  energia totale proporzionale al numero di

particelle: E∝A

(23)

Energia di legame per nucleone

•  Osservazione:

–  esiste un massimo in corrispondenza del ⁵⁶Fe.

–  Sotto tale A, è energeticamente conveniente combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante:

•  fusione nucleare

•  processo di nucleosintesi primordiale e stellare.

–  Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:

•  esplosioni di supernovae.

(24)

Energia di legame per nucleone

•  Osservazione:

–  L’energia media di legame presenta irregolarità nella regione di basse masse:

•  modelli nucleari dovranno spiegare queste proprietà

–  In particolare ⁴He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:

•  assenza di nuclei stabili con A=5 e 8

•  possibilità di decadimenti α di elementi pesanti

(25)

Le barriere di massa A=5, A=8

•  Energia di separazione

–  Energia minima necessaria da fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.

–  Per protoni:

–  Per neutroni

•  S_p(⁵Li) e S_n(⁵He) sono negative:

–  gli stati legati sono instabili.

•  Infine abbiamo che:

m(⁸Be)>2m(⁴He)

–  tale nucleo decade

immediatamente in due α

N

→

Z

→

A=5 A=8

S_p

( )

_Z^AX ^{= m}^"#

(

^Z−1^A−1^X

)

^{+ m}

( )

¹^H ^{− m}

( )

^Z^A^X $

%c²

S_n

( )

_Z^AX ^{= m}^"#

(

^A−1^Z^X

)

^{+ m}ⁿ ^{− m}

( )

^Z^A^X $

%c²

(26)

Stabilità dei nuclei

Stabile β⁺

β^-

β

^-

^A_Z

X→

^A_Z+1

X β

⁺

^A_Z

X→

^A_Z-1

X

Trasformazioni tra nuclei isobari: p→n o n→p

(con emissione o cattura di e per conservare la carica)

Serie di decadimenti fino a raggiungere l’isobaro più stabile:

valle di stabilità

(27)

Stabilità dei nuclei

Stabile β⁺

β^-

emissione di n

α

^A_Z

X→

^A-4_Z-2

X+

⁴₂

He

α

Fissione spontanea

emissione

di p

(28)

Modello a goccia

•  Primo modello, suggerito da Bohr, che cerca di sistematizzare le osservazioni:

–  incompressibilità della materia nucleare (R∝A^1/3) –  breve range delle forze (B.E.∝A)

•  Ispirato ad una goccia di liquido, tenuta insieme dalla forze inter-molecolari:

–  descrive l’andamento generale dell’energia di legame –  necessita dell’introduzione di termini fenomenologici per

descrivere alcune caratteristiche osservate.

–  formula semiempirica di Bethe-Weizsacker

B.E. A, Z

( )

^{= −a}1A + a₂A²³ + a₃ Z²

A¹³ + a₄

(

N − Z

)

²

A ± a₅A⁻³⁴

(29)

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Il primo termine rappresenta l’energia dovuta all’interazione a corto range di tra nucleoni vicini:

–  proporzionale al numero di nucleoni interagenti –  ed al volume

•  Il secondo termine positivo è una correzione al primo ed è proporzionale alla superficie del nucleo

–  i nucleoni interni hanno vicini in tutte le direzioni –  i nucleoni sulla superficie interagiscono solo con

quelli interni e quelli sulla superficie

–  La correzione all’energia di legame media è più rilevante per nuclei leggeri e spiega l’aumento di B/A per basse masse.

23

~ A

B.E. A, Z

( )

^{= −a}1A + a₂A²³ ^a¹ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV

(30)

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Il terzo termine è dovuto alla repulsione elettrostatica

–  è inversamente proporzionale al raggio del nucleo –  è proporzionale a Z² e può essere calcolato

–  per alti valori di A favorisce l’eccesso dei neutroni sui protoni

–  descrive la decrescita di B/A per i nuclei con grande numero atomico

•  Ordine di grandezza:

–  energia potenziale di una sfera carica uniformemente:

13

~ A^- B A, Z

( )

^{= −a}1A + a₂A²³ + a₃ Z²

A¹³

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV

E = 3 5

(Ze)²

4πε₀r₀A^1/3

E = 3 5

(

Ze

)

²

4πε₀R

= 3 5

e² 4πε₀r₀

Z²

A^1/3 = 3 5α^!c

r₀ Z² A^1/3

a₃ ≈ 3

5α !c

r₀ ≈ 0.6 1 137

200 MeV ⋅ fm

1.2 fm = 0.73MeV

(31)

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente.

•  Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono

più stabili quando c’è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z –  descrive la valle di stabilità

•  Il quinto descrive una sorta di pairing dei nucleoni –  è nullo per A dispari

–  è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari)

–  è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari–dispari) B.E. A, Z

( )

^{= −a}1A + a₂A²³ + a₃ Z²

A¹³ + a₄

(

N − Z

)

²

A ± a₅A⁻⁴³

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV a₄ = 23.69 MeV a₅ = 33.6 MeV

Vedremo che è collegato alla struttura quantizzata dei livelli di energia ed al

Principio di Esclusione di Pauli

Vedremo la motivazione di questo ternine nell’interazione tra i momenti

(32)

La valle di stabilità β

•  La formula dell’energia di legame presenta una evidente regione di stabilità (stabilità β)

–  Per un dato valore di A l’energia di legame è una parabola al variare di Z

•  Il punto di minimo si trova semplicemente

•  La formula ha i due valori limite:

B A, Z( )= −a1A + a2A²³ + a3Z²

A¹³ + a4(A − 2Z)²

A ± a5A⁻³⁴

∂B A, Z( )

∂Z _A=cost = 2a3 Z

A¹³ − 4a4 A − 2Z A = 0 Z = 2a₄A

a₃A²³ + 4a4

Z →

A

2 piccoliA 2a₄

a₃ A¹³ grandiA

"

#

$$

%

$$

Z

A B

A

Z

(33)

ESERCIZI

(34)

Esercizio 2.1

•  Si consideri una particella α di energia 5 MeV con parametro di impatto rispetto ad un nucleo di 1 fm.

•  Calcolare in un sistema di unità naturali:

–  quantità di moto –  velocità

–  momento angolare

(35)

Esercizio 2.2

•  Si calcoli, usando la tabella delle masse atomiche:

–  le energie di legame Sp ed Sn per l’aggiunta, rispettivamente di protone o un neutrone ad un nucleo di ¹⁶O

–  le energie di legame Sp ed Sn per l’aggiunta, rispettivamente di protone o un neutrone ad un nucleo di ¹⁴N

•  Che conclusioni si possono trarre sul valore di a

₃

?

•  Questi dati sono consistenti con la presenza del

termine a

₅

?

(36)

Le masse dei nuclei