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Formule di Green

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Academic year: 2021

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Formule di Green

Andrea Braides

Nei seguenti esercizi usare le formule di Green

1. Sia D la parte limitata del piano xy compresa tra le parabole y = x − x 2 e x = y + y 2 . Disegnare D e determinarne una parametrizzazione del bordo in senso orario. Calcolare l’area dell’insieme D mediante le formule di Green.

2. Calcolare Z

γ

ω, dove ω = (x − y 3 )dx + (y 3 + x 3 )dy e γ ` e una parametrizzazione orientata positivamente del contorno del quarto di disco x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1.

3. Calcolare l’area della parte limitata di piano D delimitata dalla curva γ(t) = (t cos t, t sin t) (t ∈ [0, 2π]) e dal segmento di estremi (0, 0) e (2π, 0) (usando sia la formula |D| = R

∂D

+

x dy che |D| = 1 2 R

∂D

+

(x dy − y dx)).

4. Calcolare Z Z

D

y dx dy, dove D ` e la parte di piano compresa tra l’asse delle x e il primo ramo della cicloide t 7→ (R(t − sin t), R(1 − cos t)).

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