Localizzazione della funzione d’onda

Localizzazione della funzione d’onda

Voglio studiare il comportamento nello spazio delle coordinate di funzioni d’onda di cui sia noto il comportamento nello spazio dei numeri d’onda. Denoto con ϕ(k) e ψ(x) rispettiva- mente le relative funzioni d’onda normalizzate, tra le quali c’` e la relazione

ψ(x) = 1

√ 2π

Z _+∞

−∞

ϕ(k)e

dk

Un esempio tipico ` e la distribuzione gaussiana

ϕ(k) = 1

π

exp

µ

− 1 2 k

¶

il cui corrispondente ` e ψ(x) = 1

π

√ 1 2π

Z _+∞

−∞

e

dk = 1

π

e

Si pu` o facilmente verificare che

Z _+∞

−∞

|ϕ(k)|

dk =

Z _+∞

−∞

|ψ(x)|

dx = 1

Test

Un possibile esercizio ` e quello di ottenere ψ(x) a partire da ϕ(k) mediante trasformata di Fourier numerica. Per verificare l’esattezza del proce- dimento conviene considerare il caso speciale in cui

ϕ(k) = 1

π

exp(−k

/2) dato che in questo caso

ψ(x) = 1

π

exp(−x

/2)

e quindi si pu` o usare come test della cor- rettezza della subroutine per la trasformata.

Vanno anche scelti oculatamente i punti k

, k

, . . . , k

in cui valutare ϕ(k

) e i corrispondenti x

, x

, . . . , x

.

Fast Fourier Transform secondo le librerie gsl

Per fare la trasformata di Fourier si pu` o usare la routine fornita con le gsl (anche una rou- tine per l’integrazione numerica funziona, ma ` e molto pi` u lenta e poco educativa). Le routine preconfezionate per la FFT hanno un modo particolare di immagazzinare dati in entrata e risultati in uscita. Considero un esempio parti- colare (maggiori informazioni con info gsl-ref):

i dati in entrata devono essere impacchettati secondo la seguente logica in un array D di di- mensione 2N se faccio la FFT di una funzione f (x)

D

= <(f

) D

= =(f

) D

= <(f

) D

= =(f

)

D

= <(f

) D

= =(f

) D

= <(f

) D

= =(f

) . . . dove f

= f (i∆). In entrata quindi i valori della funzione consecutivi corrispondono a

f (0), f (∆), f (2∆), f (3∆) . . .

In uscita nello stesso array si trovano i valori della trasformata nella sequenza (per N pari)

F (0), F (1/(N ∆)), . . . , F ((N/2)/(N ∆) = 1/(2∆))

seguiti da

F (−1/(2∆)), . . . , F (−1/(N ∆))

L’array ` e di 2N elementi, ogni intero indica la parte reale subito seguita da quella immagina- ria.

Per usare la FFT nelle gsl bisogna includere il file hgsl/gsl fft complex.hi o simile (esistono pi` u file diversi da includere a seconda della trasformata che si vuole fare) e poi usare la funzione gsl fft complex radix2 transform(array, 1, size t N,±1) dove il segno positivo o negati- vo dipende dalla trasformata, diretta o inversa, che si vuole fare; attenzione al fattore di nor- malizzazione 1/N che c’` e solo in uno dei due casi!

Un altro test consigliabile ` e fare la trasformata

diretta seguita da quella inversa e vedere se si

ottiene la funzione di partenza.

Pacchetto d’onde

con numero d’onda in un intervallo

Ora si pu` o procedere a fare la trasformata di Fourier del problema che interessa, cio` e un pacchetto d’onda definito da

ϕ(k) = 1

√ k

− k

k

≤ k ≤ k

e zero altrove. In questo modo il pacchetto ` e normalizzato in modo appropriato. Calcolo la trasformata di Fourier analiticamente

ψ(x) = 1

q

2π(k

− k

)

Z _k

2

k₁

exp(ikx)dk

= 1

q

2π(k

− k

)

(exp(ik

x) − exp(ik

x)) ix

Ponendo

K = k

+ k

2 q = k

− k

Ottengo

ψ(x) =

s

2

πq exp(iKx) sin(

) x

Si verifica facilmente che questa funzione d’onda

` e correttamente normalizzata

Fissato k

si calcoli ora, in funzione di q = k

−k

lo scarto quadratico medio per il numero d’onda ∆k e le coordinate ∆x. Dato che il principio di incertezza dice che per l’impulso

∆x∆p ≈ ¯ h avr` o che

∆x∆k ≈ 1

Si faccia anche un grafico della densit` a di pro-

babilit` a |ψ(x)|

per diversi valori di q