SU DUE FORME DIFFERENZIALI CHE INI)IVIDUANO UNA CONGRUENZA 0 UN COMPLESSO DI RETTE.

(1)

244

SU DUE FORME DIFFERENZIALI CHE INI)IVIDUANO UNA CONGRUENZA 0 UN COMPLESSO DI RETTE.

Nota di 6 u s t a v o S a n n i a (Torino).

A d u n a n z a del 2 7 n o v e m b r e i 9 i o ,

T e o r e m i fondamentali.

I. Una retta g ~ individuata dalle coordinate x, y, ~ di un suo punto e dai suoi coseni direttori X, Y, Z.

Supponendo

x, y, Z, X, Y, Z

funzioni note di due o tre parametri, g descrive rispetfivamente una congruen(a o un complesso di rette, al variare di questi parametri. Per6 in ogni caso ~ lecito supporre che X, Y, Z sieno funzioni di due soli parametri u, v, perch~ le direzioni delIo spazio sono soltanto oo 2. Anche x, y, Z saranno funzioni di u, v e, nel caso di un complesso, anche di un terzo parametro w.

Ii quadrato dell'angolo ds' di due raggi infinitamente vicini g(u, v, w), g ' ( u + du, v + d r , w + dw)

d s '~ = d X 2 -q- d Y2 Jr- d Z * ,

espresso nei parametri u, v, 6 una forma differenziale quadratica binaria, definita, positiva ed a curvatura + I:

(o 0 ds '~ - - E d u 2 n I- 2 F d u d v -[- G d & ,

c o n

( I ) ~ - - I/E G ~ F = > o ").

I1 m o m e n t o p. dei medesimi raggi & un'altra forma differenziale quadratica: nelle congruenze & binaria

(~) - - p. = D d u = -~- 2 D ' d u d v -J- D " d v =, nei complessi ~ ternaria del tipo

([5') - - ~ . = D d u 2 + 2 D ' d u d v - ~ - D " d v 2 - 1 t - 2 M d u d w - q t - 2 N d v d w .

Diremo rispettivamente prima e seconda formafondamentale le forme (~) e ( } ) o ([5').

*) E s c l u d i a m o le c o n g r u e n z e e i c o m p l e s s i i cui r a g g i si a p p o g g i a n o ad u n a c u r v a a l H n f i n i t o o p a s s a n o p e r u n p u n t o all'infinito e pei quali ~ A = o.

(2)

SU D U E FORME D I F F E R E N Z I A L I CHE I N D I V I D U A N O U N A C O N G R U E N Z & , ETC. 245

2. Esse sono di grande importanza nella Geometria differenziale dello spazio rigato.

Si dimostra ~) infatti che:

I coeficienti delle due forme fondamentali (~) e (~') di un complesso di rette sono legati dalle relazioni :

I ~ - ~ 17I lIii

2 - 0 u M - - 2 N,

- - - - - - 2 M ~ 2

N,

Ov + Ou

-o~ l ~-I ~,

(ii)

0vg

(2)

O D OD'

b _ _ Ov

~. 17I~+ (t71-t7I)~,+ 171~,,,

~ ~ ~I (t7I ⁷ⁱ⁾

'~-~ ~ - ~ - + l ~ ~+ -I ~ - l T l ~'' ~,

2 F D ' - - E D " ~ G D

(3) H =

E G - - F ~

Viceversa, due forme dei tipi (~) (definita, positiva ed a curvatura -J- I) e (~'), i cui coejficienti sieno legati dalle rela~ioni (I) e

(II),

sono rispettivamente prima e se- conda forma fondamentale di un unico complesso. Per costruirlo basra conoscere le fun- zioni X, Y, Z, x, y, z: le prime tre dipendono solo dai coesficienti di (~) e si ottengono integrando un'equazione di RlCCATI, le altre si determinano poi con quadrature mediante le formole :

0 x D' 0 X 8 u - - a 0 u (III) 0 x D " O X 0 v - - a 0 u 0 x N c3X (IV) c) w = 2 a 0 u e le analogbe in y, ~.

D O X + ~ x ,

a O v ,

D ' c ) X b22' X,

A Ov •

M OX i [c)M

2 a 0v ~-X FF

^{O N}

~)x

8. P o i r I coe)ficienti deUe due forme fondamentali (~) e (~) di una congruenza

2) Cir. la mia Memoria: Saggio di geometria differenziale dei complessi di rette [Annali di Mate- matica pura ed applicata, serie III, tomo XVII (I9IO), pp. 179-224].

a) I simboli lrtst di CHRISTOFFEL si intenderanno sempre formati con i coefficienti di ( ~ ) , e per6 saranno sempre funzioni delle sole u, v.

4) Cfr. la mia Memoria: Nuova esposizione della geometria infinitesimale deUe congruenze rettilinee [Annali di Matematica pura ed applicata, serie III, tomo XV (I9O8), pp. I43-i85; ed un sunto nei Ma- themafische Annalen, Band LXVIII ( I 9 i o ) , pp. 4o9-4t6 ]. - - S e g u o n o le due Note: Nuove formole utili

(3)

2 4 6 GU S TAV O S A N N I A .

di rette sono legati dall'unica rela(ione

(II).

Viceve,'sa, d,te forme dei tipi (~) e (~) i cui co6ficienti sieno legati dalla (I[) sono rispettivamente prima e seconda forma fonda- mentale di una unica congrnenKa di rette. Per costruirla basta determinate le fun~ioni X, Y, Z, come nel teorema precedente, e le funKioni x, y, z~ mediante le (III) s).

4. Le relazioni che legano i coefficienti delle due forme (z) e (~) o ( ~ ' ) s o n o di struttura alquanto complicata. In questa Nora io mi propongo di trasformarle oppor- tunamente, fino a trovare le espressioni esplicite dei coefficienti della forma (~) o (~') in funzione di quelli di (o 0 (e di funzioni arbitrarie). Infine applico i risultati ottenuti alia trattazione di tre notevoli problemi, gi'~ risoluti rispettivamente da GUmHARD, BIA~,'Cm e BURGATa'I 6), deducendone risoluzioni pifl semplici e vantaggiose.

T r a s f o r m a z i o n e dei t e o r e m i p r e c e d e n t i .

I -i D = - - - i

2

(I') D' ~---

I ~ O"

2 ore A, B sono funzjoni di delrequazjone di LAPLACE:

5. Incominciando dalle congruenze, dimostreremo che:

I coe~cienti della seconda forma fondamentale (~) della piit generale congruen~a di rette, di cui (~) sia la prima forma J'ondamentale, hanno le espressioni seguenti:

2

I

0~3 + O U - - 2 I A - - 2 B ' - - 8•

u, v del tutto arbitrarie e p ~ una solu~ione qualunque 7)

02P 112I 0P t I21 0P [ ~ 21 112 f F ]

(II') c)uOv + I b-u + 2 ~ + t Ii + ~ v 2 + p --- o.

Note le funKioni X, Y, Z di u, v, le coordinate x, y, K dei punti medii dei raggi della congruenza si banno con quadrature dalle formole (III) e dalle anaIogbe in y, Z, ore

b,, 2 0 I OB

A - - O-U T ~ ~-V -~- 2 A J f - " ~ ' J f - 2 O,

0.4 F B G .4 07 2

per lo studio deUe congruenze di rette [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XLIV (I9o9) , pp. 567-579]; Sull'inviluppata media di una congruenza di retie [Ibid., vol. XLV 09IO), pp. 56-78].

s) x, y, Z sono le coordinate del punto medio del raggio g(u, v) della congruenza. Nel caso del complesso sono le coordinate del punto medio dig nella congruenza w = costante che passa per g.

6) Cfr. anche la memoria citata in 4), dove questi problemi son risoluti, insieme con altri ana- loghi, applicando il teorema fondamentale del n ~ 3 di questa Nota.

7) Inclusa la soluzione evidente p =-o (almeno in generale, cio6 quando A e B non son tall da rendere D = D' = D" ~ o).

(4)

S U D U E F O R M E D I F F E R E N Z I A L I C H E I N D I V I D U A N O U N A C O N G R U E N Z A , E T C .

247

Anzitutto osserviamo che, date ad arbitrio tre funzioni D, D', D " di u, v, sempre possibile porle sotto la forma espressa dalle (I'), ed in infiniti modi.

/ T T ~

Infatti: se t l ; I ~ - - o , le ( I ' ) e s t r e m e dfinno A, B con successive quadrature@

con funzioni arbitrarie); se invece l I I { 2 =76 o, sostituendo nella terza il valore di B tratto dalla prima, si ha per determinare A un'equazione lineare alle derivate parziali

k /

del tipo (I['), ma in generale non omogenea. Quindi in ogni caso esistono infinite coppie di funzioni A, B soddisfacenti le (I') estreme. Fissata una qualunque di queste coppie, ? risulta determinata dalla (I') intermedia.

Dunque possiamo dare ai coefflcienti di ( ~ ) l a forma ( I ' ) e dobbiamo soltanto esigere che essi soddisfino la (II).

Sostituendo in b2, (2) i valori (I'), otteniamo

b ~ ~ [l 221 lI2tl ( O]'L/ ~

22t --- C~/,/,C~ -- 0V E " + 2 5 + I 5J bY 0U

+ 17lie:l- 7117I + lI:l + li:flrl]

+ 2[ 171- 17I- tTll"f + ':I 2 ( 2 ) J --~- A~.-~- ~ L 2 2 ~"

Ora ricordiamo che la forma (0c) ha la curvatura I, ci6 che ~ espresso da una delle seguenti uguaglianze s)

O~ 212I Ii2 I IiI 22~ I : l l 2 : i1212 I: 22

C~I~I ~I + I }l I i + I I I -- I f I I I = G'

0 I2 122 Ii2 I I2~- II 212 1

e ricordiamo inoltre le identiti o)

(4)

01Ogac)lt

-- lIIIl + ti212 1

Ologa0v In virtfi di" queste quattro relazioui, si ha

02 B O~ A O log ~ ( c] A O B ) b22'--c)uOv Ov 2 q Ov ~ ~ -t-

da cui

-12:I+17I

2 ( F B - - G A ) - - ~ - - [ - 2 ~ I ?' (~) b221 a i OB

s) Cfr. BIANCHI,

Lezioni di Geometria differenziale ,

2 a ed. (z9o2), vol. I, pag.

77.

9) loc. cit. s), pag. I19.

(5)

248

GUSTAVO SANNIA.

Analogamente si trova che

(6) b = a x O B

Dalle (5) e (6) risulta che

i ~-'L (5~) + ~ '~ ~-~ (~ - ~ , ~ v ( ~ - ~)I

(7) I + 20"C~2~ +2 I 121~'I ,C~U +2 I 122 I Oi~v +2[~I 12, I +~V 'tI22 I +El '"

D'altra parte la (3), per le (I'), diventa

x H~ [FaA FaB~ ( aB oaA~

2 = \ gv 371 + Fa. ~d!

--[2FII;I--E{7 i -- GIIIII].,4--[2FtI:I--El7 t -- Gli;t]B--

ma si ha idcaticamente xo)

2~17I ~17I ~17I

~lI:!- ~l~:f - ot':t

~(,-)],

0 G

~(,-)],

quindi

IFaA f a ~ [Fa~ aA

2 H • c 3 v - - f l y - I + \

a~--aa~}

•

da cui

2 I ~ (FB -- G.,4 ) ~ ( F A - - EB) .F

(8) H = ~ a - + a - - 2 T P

Per le (7) e (8), la (I[) si trasforma immediatamente nelia (W); dunque questa 6 la condizione necessaria e sufficiente affinch6 le funzioni D, D'~ D " definite dalle (I') sieno i coefficienti della seconda forma (~) di una congruenza delia quale (~) sia la prima forma.

Con ci6 il teorema 6 dimostrato.

6. Dalla dimostrazione segue the i coeRicienti estremi D, D " di ({~) possono essere funzioni del tutto arbitrarie di u~ v, e che, assegnati questi coefficienti e la prima forma (~), il rimanente D' si ottiene nel modo pi6 generale, sostituendo nella (I')intermedia

u n a delle infinite coppie di funzioni A, B soddisfacenti alle (1') estreme e tutte le soluzioni ? dcll'equazione (II').

7. Or passiamo ai complessi, quindi alia considerazione delle forme (~) e (9') con i coefficienti legati dalle relazioni (I) e 0I).

,o) Ioc. cit. 8), pag. IUX.

(6)

SU DUE FORME DIFFERENZIALI CHE INDIVIDUANO UN A CONGRUENZA, ETC. 249

Introduciamo le nuove funzioni

D, D', b",

di u, v, w mediante le posizioni seguenti:

(9)

M, N

(io)

St ricordiamo ~ ) che i simboli t t) sono indipendenti da w, otteniamo subito dalle (I), integrate rispetto a w,

( i ~ ) D = / ) -]- Do, D' = D' -~- D'o, D " = / ) " + D~,

o D ' "

ore D , o, Do sono funzioni arbitrarie delie sole u, v. Le funzioni ( I I ) cosl ottenute debbono soddisfare la (II).

Indichiamo con

~ , ~ , b22,, ~ - e con b ... , b ... , /fro le espressioni formate rispettivamente con

D; D';

D, D', D " o con Do, ,

come b 2, b~2,(2), H ( 3 ) sono formate con D, D', D " ; allora, essendo bl,., b , H lineari nelle D, D', D " e loro derivate, se in esse sostituiamo per queste funzioni le espressioni (i I), otteniamo

b,,2 ~- -b,,2 -[-- b . . . ' b221 = b22, + b ... '

H=H--[--Ho'

sicch6 la (II) diventa

I I 0 c) (b ... ' ~ t = - -

Ci6 premesso, osserviamo che dalla dimostrazione del teorema del n ~ 5 risulta che le funzioni D, D', D " definite dalle (I') soddisfanno la (II), qualunque siano le funzioni A, B di u, v e qualunque sia la soluzione ? dell'equazione (II'). Ci6 vale quindi se si assume ? - - o e si suppone che .4, B siano funzioni anche di un terzo parametro w. Ma in tal modo si hanno funzioni del tipo ( I o ) ; dunque queste funzioni soddisfanno

~) Cfr. a).

Rend. Circ. Matem. Palermo, t. X X X [ ( I ~ s e r e . x 9 H ) . - - S t a m p a t o il ~8 f e b b r a j o x9xx, 32

(7)

2 j O G U S T A ' V O S A N ' N I A .

la (II), cio6 si ha

In seguito a ci6, la ( I 2 ) si semplifica e diventa

I t c)(b ... ~ c) ( ~ )

a tb~ k - U / + ~ _ _ f

O r dal n ~ 5 segue che si soddisfa nendo

(1~')

= / - / .

=14o.

nel modo pifl generale a questa equazione po-

-2 - D ~ Ou A ~ 2 B~

= O V 01---~ ~ 2 ./10 - - 2 B ~ - - ?a,

o I

I D" c)B~ A ~ t 2 t o,

~-

o - - O v

ove Ao, B ~ sono s qualunque di u, v, e ? 5 una soluzione qualunque di ([I').

Sostituendo in ( 1 I ) i valori (IO) e (12') di D, Do, . . . , e ponendo A o + M - - ' A , B o + N - - - B ,

si vede che anche in questo caso i coefficienti D, D', D" della seconda forma fonda- mentale hanno la forma (1'), ove per6 A, B sono funzioni non solo di u, v ma anche di w.

Infine, per le (9), i rimanenti coefficienti M, N della seconda forma hanno i valori

0 M 0 A cgN cgB

M - - o w = Ow ' N = o w - - ~ w "

Raccogliendo, possiamo enunciare il teorema seguente:

I coeflicienti della seconda forma fondamentale (~') del pii~ generale complesso di rette, di cui (~) sia la prima forma fondameutale, sono definiti dalle formole:

(r')

2 C~U I 2

D' ₌ O A _{o~V- +} O B d t ' ~ - 2 II21 1 A - 2

I I2~B

2 ~ - - [~A,

T - o - ~ - - - A - - B ,

O A OB

M = - - N =

Ow ' Ow '

ore A, B sono funKioni qualunque di u, v, w, e o k una (funzjone delle sole u, v) so- lu~ione qualunque 7) dell'equa~ione di LAPLACE ( I [ ' ) .

Note le funzioni X, Y, Z di u, v, si hanno con qaadrature le coordinate di un punto (x, y, ~) di una rata generica del complesso mediante le formole (III) e (IV), ore

b , b hanno i valori (V).

(8)

SU DUE FORME DIFFERENZIALI CHE INDIVIDUANO UNA CONGRUENZA~ ETC. 2 ~ I

8

C o n g r u e n z e con a s s e g n a t a i m m a g i n e sferica delle sviluppabili.

8. Variando u, v, i[ punto di coordinate X, Y, Z si muove sulla sfera che ha per centro l'origine e per raggio 1, descrivendo l'immagine sferica di ogni congruenza di cui (~) sia la prima forma fondamentale.

Supponiamo note le funzioni X, Y, Z di u, v, e quindi nota la forma (~), e pro- poniamoci di costruire tutte le congruenze per le quali le linee sferiche u, v sieno le immagini delle sviluppabili o delle superficie principali o delle rigate medie.

In virtfi del teorema fondamcntale, basterl costruire la seconda fonna fondamentale delle congruenze richieste.

9- Affinch~ nella congruenza individuata dalle (c~) e (~) le superficie rigate u, v sieno le sviluppabili, ~ necessario e sufficiente che sia x~)

O ~ o, D" ~ o o, per le (I'),

(i3)

C3Ao3u t l I I A - - I I I I B = ~ 2

l -I

Pel teorema del n ~ 5 e per l'osservazione fatta nel n ~ 6, possiamo asserire che:

la seconda forma fondamentale della pia generale congruenza di rette cbe ammette le lime sferiche u, v come immagini delle sue sviluppabili

- - b~ --- 2 D ' d u d v ,

O r e

(14) D' - - ~ c~B - - - - 2 1 7 I A - - 2 1 7 l B - - ? A , Ov + Ou

essendo (A, B) una soluzione fissa del sistema (13) e ~ una soluzione qualunque dell'e- quazione di LAPLACE (II').

Le coordinate dei punti medii dei raggi della congruenza si deducono con qua-

O s )

drature mediante le formole:

0 x 0 x d v e le analoghe in y e Z.

a a . Laut, a ! + 2 2 x, D' a X F ~__i D'~ I I2~ D"] X

a a v + L a v \ a ] + 2

^'

Io. In particolare, si pub evidente A = B ~--- o; allora

assumere come soluzione fissa del sistema (13) quella D' = - - a ?,

,2) Cff. il n ~ 8 delia Memoria citata in 4).

(9)

2~2 G U S T & V O S A N N I A .

ove fl & una soluzione qualunque (ma non nutla) di ( I I ' ) ; poi

0 x 0 X (0t~

Ox OX (Op

=

PAT-- Uv +

2 t~ X ,

2

2 ? X .

I

Quest'ultima risoluzione dei problema ~ del GUICHARD zs)

I I . Q u a n d o si vogliono tutte le congruenze che risolvono il problema ~ indispen- sabile integrare completamente la (II'); poi basra applicare le formole del GUmHARO.

In tal caso la considerazione del sistema ( z 3 ) diventa inutile. Tuttavia il teorema pith generale del n ~ 9 ha il vantaggio di poter fornire alcune delle cougruenze richieste, quando anche non si conosca alcuna soluzione di (II'): ci6 ha luogo quando si sa integrare~ in tutto o in parte, il sistema (13). Perch,, se (Ao, Bo) ~ una soluzione particolare di questo sistema, basra porte nella (14)

A =--- Ao, B = Bo, p - - o

per ottenere il coefficiente D' della seconda forma fondamentale di una delle congruenze richieste. Che se poi si conosce anche una soluzione particolare •o di (II'), allora si potranno ottenere tre delle congruenze richieste: la precedente, quella fornita dal teo-

r e m a di G U I C H A R D (.,4 ~ O, B ~ o , ? ~ ?o) e quella che si ottiene assumendo A - - Ao, B = Bo, ~ ~ ~o"

I9.. Per esempio, si vogliano costruire congruenze le cui sviluppabili di un sistema

sieno superficie rigate a piano direttore.

Le immagini sferiche di tall sviluppabili saranno circoli massimi: assmniamoli come linee v, lasciando affatto arbitrarie le linee u (immagini delle sviluppabili dell'altro sistema).

Essendo le linee v geodetiche della sfera, si ha l lzII ~--- o ~4), quindi il sistema (13) dS. subito A e B mediante quadrature (con due funzioni arbitrarie, una della sola u, una della s o l a v ) . Per questi valori di A e B e per ? ~ o si ha tutta una classe di congruenze delia specie richiesta.

Se le linee sferiche u sono le traiettorie ortogonali alle geodetiche v, le congruenze ottenute sono normali e sulle superficie ortogonali ai raggi le linee di curvatura di uno dei due sistemi (le linee v) son linee plane.

I 8. Dal teorema di GUlCHARD risulta che, se (~) e (~) sono le due forme fondamentali di una congruenza nella quale le rigate u, v sono le sviluppabili, il rapporto

- - D' 6 una soluzione della ( I I ' ) ; quindi, se p 6 una soluzione qualunque di (II'), tale

A

xa) Surfaces rapport:es r leurs lignes asymptotiqnes et congruences rapportdes d leurs dgveloppables [Annales scientifiques de l'l~cole Normale sup~rieure, 3 e s6rie, t. V I ( i 8 8 9 ) , pp. 333-348]-

x4) Cfr. loc. cit. "~), ~ 87 .

(10)

SU DUE FORME DIFFERENZIALI CHE INDIVIDU&NO UNA CONGRUENZA, ETC. 2 ~

p u r e

che, per la (14) , vale

Dt

(16) A ~ - + c~-~---2 _{I .}A - - 2 B .

Dunque, pel teorema generale del n ~ 5, possiamo asserire che: se (A, B) ~ una solu~ione del sistema (13)~ la funz~ione (16) ~ una solu~ione dell'equazjone di LAPLACV. (II').

C o n g r u e n z e c o n a s s e g n a t a i m m a g i n e s f e r i c a d e l l e s u p e r f i c i e p r i n c i p a l i . 14. Vogliamo cercare tutte le congruenze per le quali le linee sferiche u, v sieno le immagini delle superficie principali.

Una risoluzione nota di questo problema, dovuta al Prof. BtANCrII ~s), fa dipendere la ricerca di dette congruenze dall'integrazione delI'equazione

I c3 ~ r ~ log E 0 r o3 log G c) r cT log ( E G) r

2 b - - - + + - - + F u ~

u O v Ov Ou c)u c3v

(17)

I ^{= b ~} ^~ ^+~--~ ~ v / + 2~V~G:

ad ogni coppia di funzioni r, q~ soddisfacenti questa equazione corrisponde una delle congruenze richieste.

15- Le immagini sferiche u, v delle superficie principali di una congruenza for- mano un sistema ortogonale; quindi ~ F - - o , ed in conseguenza

I 2 E ~ u ' 2 2 G O v 2 E 0 v '

1 O G 1 O G 22 1 O G

2 G O u ' 1 2 E c)u ' 2 2 G O v

Perci6 l'equazione (II') diventa

0~log l/U8 d" ? + 0 log I/E- 0 ~ [_ c~ log

I/G - d

? __[_ ?

= o.

(I9) OuO~ Ov Ou Ou Ov c)uOv

Dev'essere inoltre

(20) D __ D'_'

E - - G "

Le condizioni F = o e (20) sono necessarie e sufficienti affinch6 nella congruenza individuata dalle forme (z) e (~) le rigate u, v sieno le superficie principali *~).

La (2o), per le (I') estreme, diventa

1 7f] 7I]

zS) Cfr. loc. cit. s), S 14%

x6) Cfr. il n ~ I I della m e m o r i a tit. in 4).

(11)

254

G U S T A V O S A N N I A .

o, per le (I8),

)

( 2 1 ) G V E ~ a v ~ "

Infine, sostituendo nelle (I') i valori (18), otteniamo:

I coeflicienti della seconda forma fondamentale della pii~ generale congruenza con l'assegnata immagine sferica delle superficie principali sono

D = f-ff

A -JV 2 G C) V '

(22) D' O d

D " - - I / G B + 2E Ou '

ove A, B ~ uno coppm qualunque di funzioni soddisfacenti la

(2I) iT) e ? ~

una solu- zione qualunque dell'equazione

(19).

Le coordinate dei punti medii dei raggi della congruenza si calcolano con quadrature mediante le formole

(li D e

le anaIoghe in y, ~, ore

I bliP.

A

OA c97 ~ OG

(23)

I b=, c) [ I (()B O A ) ] V G _ c)o ~o c)E

A - - & r ~ oF - 2 a + O ~ + E Or"

Si osservi che il

parametro medio H

delle congruenze richieste si calcola senza

al- cuna

integrazione. Infatti, per la (8), si ha

( 2 4 )

H = - - ~/--~ I ~ u ( A / ~ - ) + 0 ~ ( B V ~ ) f .

In parficolare, corrispondentemente alla soluzione evidente p = o della (II'),

si ha con sole quadrature tutta una classe di congruenze soddisfacenti al problema.

I6. Che la nuova risoluzione del problema sia preferibile alla pifl antica, accennata nel n ~ 13, b evidente: sia perch6 l'equazione (19) da cui dipende 6 pifl setup]ice

della

(17) , sia perch6 fornisce con sole quadrature infinite soluzioni del problema.

C o n g r u e n z e con a s s e g n a t a i m m a g i n e sferica delle rigate medie.

17. Vogliamo cercare tutte le congruenze per le quali le linee sferiche u, v sieno le immagini delle rigate medie.

~7) Deducibili con quadrature. Per esempio, detto

E GP

il valor comune dei due membri di (2I), si ha

ove

P(u, v), U(u), V(v),

sono funzioni arbitrarie.

(12)

S U D U E F O R M E D I F F E R E N Z I A L I C H E I N D I V I D U A N O U N A C O N G R U E N Z A ~ E T C . 2 ~ 5

Una risoluzione nota del problema, dovuta al Prof. BURGATTI iS), fa dipendere la ricerca di dette congruenze dalla risoluzione di una eqflazione della forma:

2

G a v t E / a v

t I 0' i I c) [ E c~ t f

]

O"

I c~

G If, :

/

ad ogni coppia di funzioni f e d f ' soddisfacenti questa equazione corrisponde una delle congruenze richieste.

I8. Affinch6 le rigate u, v sieno le rigate medie per la congruenza individuata dalle (~) e (~) occorre e basta che sia ~9)

F = o, D' = o.

La prima condizione esprime che le linee sferichc u, v debbono formare un sistema doppio ortogonale. Ci6 supposto, la seconda condizione, per la (I') intermedia e per le (I 8), diventa

c) A O B

(26) Ecgv E q-- G o u G - - ?tlEG"

Pel teorema fondamcntale, concludiamo che: La seconda forma fondamentale della piu generale congruenza avente l'assegnata immagine sferica deUe rigate medie

2 E

ove ? k una soluzione qualunque dell'equazione ( i 9 ) ed A~ B due funzioni qualunque soddisfacenti l'equazione (26) ,o).

Le coordinate dei punti medii dei raggi della congruenxa si calcolano con quadrature

iS) Sopra alcune formole fondamentali relative alle congruence di rette [Rendiconti della R. Acca- demia dei Lincei, vol. VIII, 2 ~ semestre i899, pp. 515-52o ]. Le rigate mealie furono considerate per la prima volta, e contemporaneamente, da! BORGATTI (1oc. tit.) e da T. CIFARELLI {Le congruenze [Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, t. XI (t899), pp. 139 q 521t. Nella memoria citata in 4), guidato da altre considerazioni, fui indotto a chiamarle superficie distributrici; ma qui ho creduto conveniente ridar loro il primo nome sotto il quale sono generalmente conosciute.

I9) Cfr. il n ~ 5 della memoria citata in 4).

20) Calcolabili con quadrature. Per esempio

[ f ] i [ f 1/ u ]

A = i E U-+- (O--~P) ~ - d v B = - - G V-J- ( ? - - P ) d

2 ' 2 '

o v e P(u, v), U(u), V(v) sono funzioni arbitrarie.

(13)

256 G U S T A V O S A N N I A .

mediante le formole:

[, _+Gv

b.,~ b22' hanno i valori (23). La (24) da il parametro medio.

ore A ~ A

Assmnendo ? ~---o, si ha con sole quadrature tutta una classe di congruenze risol- venti il problema.

Qui si pu6 ripetere quanto si 6 detto nel n ~ 15 .

19. Abbiamo giA detto dei vantaggi che le nuove risoluzioni dei tre problemi trattati hanno sulle pifi antiche. Qui osserveremo ancora che, mentre le antiche dipendono da tre cquazioni differenziali distinte per i tre problemi, le nuove dipendono tutte da un'unica equazione (II'): integrata questa equazione, la risoluzione completa di ciascuno dei tre prob!cmi si ottiene poi con quadrature, e solo queste variano passando da un problema all'altro. Ci6 possiamo anche esprimere brevemente, dicendo che i tre proble- mi sono anaiiticamente equivalenti a meno di quadrature.

N e segue che, fissate le linee sferiche u, v, ]a possibilitA di risolvere completamente uno dei tre problemi non dipende per nulla dal problema fissato, ma solo dalle linee sferiche assegnate u, v. Insomma: fissate le linee sfericbe u, v, se sappiamo risoIvere completamente uno dei tre problemi, sapremo risolvere completamente ancbe gli altri due.

Le antiche risoluzioni, essendo differenti tra loro, non lasciavano scorgere questo interessante risultato.

uo. Osserviamo infine c h e l a ( t 9 ) da cui dipendono gli ultimi due problemi l'aggiunta dell'altra

c~ ~/4/" 0 log 1/// c~ fV 0 log l/G- c~ I//

O,-~6v-- Ov - O V - - - O. O v - O

da cui dipende la ricerca delle superficie con assegnata immagine sferica delle linee di curvatura ~'). O r la integrazione della (19) e quella della sua aggiunta sono problemi analiticamente equivalenti ~ ) ; dunque: il problema di cercare le superficie con assegnata immagine sferica delle lime di curvature ~ analiticamente equivalente a quelli di cercare le congruenLe con assegnata immagine sferica delle superficie principali o delle rigate medie.

Questo risultato b contenuto in quello del n ~ 18. Infatti, quando le linee sferiche u, v sono ortogonali, le congruenze che le ammettono come immagini delle loro sviluppabili sono tutte normali e sulle superficie ortogonali ai raggi le linee u, v sono appunto le linee di curvatura.

Morcone (Benevento), 23 ottobre 191o.

GUSTAVO SANNIA.

ui) loc. cir. s), ~ 83 .

uu) Cir. DARBOUX, Lefons sur la tbdorie gdndrale des surfaces, t. I1 (Paris, Gauthier-Villars, I887), pag. 71 e seg.

SU DUE FORME DIFFERENZIALI CHE INI)IVIDUANO UNA CONGRUENZA 0 UN COMPLESSO DI RETTE.