1.3 Tearing in geometria piana. . . . 7

Indice

1 La riconnessione magnetica. 1

1.1 Descrizione qualitativa. . . . . 1

1.2 Approssimazione piana locale. . . . 5

1.3 Tearing in geometria piana. . . . 7

1.3.1 Regione esterna. . . . . 9

1.3.2 Regione interna. . . 11

1.4 Relazione di dispersione. . . . 13

2 Modo “kink” interno e oscillazioni di Sawtooth. 15 2.1 Modo kink interno nel caso resistivo. . . 15

2.1.1 Kink resistivo. . . 17

2.1.2 Modo di riconnessione. . . 19

2.2 Oscillazioni di “sawtooth” . . . 19

3 Particelle energetiche e instabilit` a di “fishbone”. 21 3.1 Oscillazioni di “fishbone”. . . 21

3.2 Equazioni drift-fluide. . . . 24

3.3 Studio della relazione di dispersione (3.2) . . . 26

3.3.1 a) Caso ideale, ǫ

= 0. . . 26

I

INDICE II

3.3.2 b) Regime di bassa resistivit`a. . . 28

3.3.3 c) caso λ

= 0. . . 29

3.3.4 d) Modo di riconnessione. . . 30

3.4 Particelle energetiche. . . 31

3.5 Curva di stabilit`a. . . 34

3.5.1 Regimi di instabilit`a. . . 36

3.6 Cenni alla stabilit`a del modo kink resistivo. . . 39

4 Dinamica dei plasmi nel regime non collisionale. 40 4.1 Definizione del problema. . . 40

4.2 Equazioni base e ipotesi. . . 42

4.3 Invarianti canonici e cenni sulla dinamica non lineare. . . 46

4.4 Limite di elettroni freddi e ω

= 0. . . 48

4.5 Significato fisico di ρ

. . . 50

4.6 Caso generale. . . 52

4.7 Doppio raccordo asintotico. . . 53

4.7.1 Regione esterna, p > d

. . . 56

4.7.2 Regione intermedia, ρ

< p < d

. . . 57

5 Particelle energetiche nel regime non collisionale. 59 5.1 Osservazioni di carattere generale. . . 59

5.2 Limite di bassa frequenza ω ∼ ω

. . . 62

5.3 Limite ω ∼ ω

. . . 63

5.4 Limite ω ∼ ω

. . . 65

5.5 Limite di alta frequenza ω ≫ ω

. . . 66

5.6 Conclusioni. . . 67

Introduzione

Il confinamento magnetico `e uno dei metodi utilizzati per innescare reazioni di fu- sione termonucleare controllata in laboratorio. Uno di questi sistemi utilizza intensi campi magnetici per contenere e allo stesso tempo riscaldare un plasma in una cavit`a a simmetria toroidale (un tale sistema `e chiamato Tokamak).

Per innescare queste reazioni `e necessario innalzare la temperatura del plasma sino a valori elevati (T ∼ 10

K

), in questi regimi il plasma `e completamente ionizzato e una buona descrizione dei processi fisici si ottiene utilizzando le equazioni della magnetoidrodinamica.

Il fine degli esperimenti attualmente in corso `e la costruizione di un motore ef- ficiente per la produzione di energia. Questo obiettivo rappresenta un impresa formidabile sotto l’aspetto sia tecnologico che teorico sperimentale, infatti questo sistema `e soggetto a instabilit`a che possono portare il plasma ad un rapido collasso.

Un notevole studio teorico `e rivolto a capire l’origine di queste instabilit`a e cercare di aggirarle.

Nelle reazioni di fusione nucleare, oltre al rilascio di energia si forma nel plasma una nuova popolazione formata da particelle α con un’energia molto grande rispetto a quella degli ioni di fondo (E

= 3, 5M eV ). Il confinamento di questa nuova specie

`e di fondamentale importanza per il funzionamento di un reattore. Infatti queste particelle possono condividere la loro energia con gli ioni gi`a presenti nel plasma, tramite ordinarie collisioni coulombiane, fornendo una sorgente di energia utile a mantenere l’auto-sostentamento delle reazioni di fusione. Una grande importanza riveste quindi lo studio della stabilit`a del sistema in presenza di queste particelle.

III

INDICE IV

In precedenti ricerche `e stata studiata la stabilit`a in regimi dove il meccanismo di innesco delle principali instabilit`a `e la resistivit`a, provocata dalle collisioni ione- elettrone. Un importante risultato `e stata la scoperta di una finestra di stabilit`a per certi valori dei parametri in gioco.

Dato che l’effetto della resistivit`a decresce con la temperatura (η ∼ T

), oltre una certa soglia la sua importanza diventa marginale e il sistema passa in un regime non collisionale dominato dall’inerzia degli elettroni. Negli esperimenti attuali sono stati registrati sperimentalmente eventi con un tempo caratteristico inferiore al tempo di collisione ione-elettrone, quindi si rende necessario uno studio del plasma in questo nuovo regime.

In questa tesi `e stata analizzata la risposta del sistema in presenza di particelle e- nergetiche in questo regime ad altissima temperatura, in particolare si `e studiato se i risultati trovati nel caso resistivo sono estendibili anche in questo dominio.

I primi due capitoli sono introduttivi: nel primo viene presentata la teoria della ri- connessione magnetica e le propriet`a fondamentali delle instabilit`a ad essa correlata;

nel secondo capitolo si analizza una particolare instabilit`a del plasma che riveste un ruolo determinante nello studio delle particelle energetiche.

Nel terzo capitolo si descrive l’effetto delle particelle energetiche sulla dinamica del sistema e sono esposti i principali risultati della teoria nel modello resistivo.

Negli ultimi due capitoli si considera un regime non dissipativo: nel capitolo 4 si

introduce un modello valido a descrivere il plasma in questo regime e si descrivono

le principali differenza rispetto al caso resistivo; infine nel capitolo 5 si inserisce nel

modello le particelle energetiche e si analizza la risposta del sistema per determinati

valori dei parametri fisici di interesse.

Capitolo 1

La riconnessione magnetica.

1.1 Descrizione qualitativa.

La topologia del campo magnetico ha un ruolo importante nell’evoluzione globale di un plasma ad alta temperatura. Nella descrizione magneto idrodinamica (MHD) ideale, due elementi di plasma che sono inizialmente connessi da una linea del campo magnetico, rimangono connessi ad ogni istante successivo (teorema di connessione).

Questa condizione introduce un vincolo topologico fra gli elementi del plasma che `e preservato durante l’evoluzione dinamica del sistema. Una conseguenza `e che una configurazione del campo magnetico ad energia inferiore ma con differente topologia

`e inaccessibile. Il meccanismo della riconnessione magnetica permette di rimuovere parzialmente tali vincoli, consentendo alle linee di campo di disaccoppiarsi local- mente attorno a particolari regioni critiche. Questo `e possibile perch`e, come verr`a illustrato nel paragrafo 1.3, nelle regioni critiche `e necessario uscire dalla trattazione MHD ideale e quindi `e possibile violare i teoremi di conservazione. In questo capitolo considereremo la resistivit`a, dovuta alle collisioni elettroni-ioni, come meccanismo per la suddetta violazione.

Vediamo alcune particolarit`a di questo tipo di instabilit`a, indicata generalmente come instabilit`a di tearing.

1

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 2

Figura 1.1: Deformazione delle linee del campo magnetico. (a) Plasma ideale e (b) Plasma resistivo con riconnessione [1].

Le equazioni MHD ideali sono le seguenti,

ρ(∂

u + (u · ∇)u) = −∇p + J

c ∧ B (1.1)

∂

ρ + ∇(ρu) = 0 E + (u/c) ∧ B = 0

A queste vanno aggiunte le equazioni di Maxwell e una equazione di stato per la pressione,

∇ · B = 0

∇ ∧ B = 4π

c J (1.2)

∇ ∧ E = − 1 c ∂

B p = p(ρ)

dove `e stata trascurata nella (1.2) la corrente di spostamento (1/c)∂

E. La dinamica

del sistema `e governata dal tempo caratteristico τ

= Lp4πρ/B

, chiamato tempo

di Alfven, con L lunghezza caratteristica del sistema.

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 3

La generalizzazione al caso resistivo di queste equazioni si ottiene inserendo nella legge di Ohm il termine resistivo ηJ, con η resisistivit`a,

E + (u/c) ∧ B = ηJ. (1.3)

Prendendo il rotore dell’equazione precedente, utilizzando la legge di Faraday (1.2) e assumendo costante la resistivit`a, si ottiene la legge di evoluzione temporale del campo magnetico,

∂

B = ∇ ∧ (u ∧ B) + η c

4π ∇

B. (1.4)

L’introduzione di un termine resistivo implica la comparsa di un nuovo tempo carat- teristico,

τ

= L

 4π ηc



τ

`e chiamato il tempo resistivo. Questo tempo definisce la scala temporale in cui le linee del campo magnetico si diffondono nel plasma in una scala spaziale globale definita dalla (1.4). Nei plasmi utilizzati in esperimenti di fusione controllata si ha tipicamente τ

∼ 10

e τ

∼ 10

, quindi τ

≪ τ

, notiamo che questo risultato `e sempre valido se la lunghezza caratteristica del sistema `e grande, infatti si ha

τ

τ

∼ 1 L .

Se i gradienti dei campi su scale piccole sono molto grandi rispetto a quelli stimati

globalmente si possono sviluppare instabilit`a resistive anche su scala locale. In ge-

nerale queste instabilit`a avranno un tempo caratteristico τ ibrido, ipotizzeremo il

seguente ordinamento,

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 4

τ

≪ τ ≪ τ

. (1.5)

In termini della frequenza la (1.5) significa che ω/ω

→ 0, con ω

= 1/τ

.

Come vedremo nel paragrafo 1.3.1 le regioni critiche sono identificate da due con- dizioni, l’annullamento del campo magnetico in una direzione e la minimizzazione dell’effetto stabilizzante delle onde di Alfven che impedisce al plasma di disaccop- piarsi dal campo magnetico. Dato che la relazione di dispersione di queste onde `e ω

∝ k

, la condizione necessaria per innescare l’instabilit`a `e

k

→ 0.

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 5

1.2 Approssimazione piana locale.

Consideriamo la configurazione di equilibrio del campo magnetico in un tokamak a sezione circolare, di asse maggiore R e raggio interno a. Definiamo rapporto d’aspet- to inverso il parametro ǫ

≡ a/R. Risolvendo le equazioni di equilibrio in geometria toroidale (equazioni di Grad-Shafranov [2]) nel limite ǫ

≪ 1, si ottiene la seguente configurazione del campo magnetico.

B

(r, θ) = B

1 + (r/R) cos θ (1.6)

B

(r, θ) = B

(r)

1 + (r/R) cos θ (1.7)

Da notare che la geometria toroidale `e contenuta nel termine (r/R) cos θ, nel caso cilindrico si ha R → ∞ e il campo assume una configurazione elicoidale.

Figura 1.2: Campo elicoidale in approssimazione cilindrica [3].

Negli esperimenti si ha |B

| ≫ |B

(r)|. La misura dell’efficienza che ha il campo

magnetico nel confinare la pressione p del plasma si ha introducendo il parametro

β ≡ p/(B

/8π), nel seguito assumeremo che β ≪ 1 ovvero il caso di grande B

.

Una comoda parametrizzazione per identificare le superfici risonanti si ha intro-

ducendo il “fattore di sicurezza” q(r) ≡ rB

/RB

. Questo parametro pu`o essere

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 6

interpretato sia come rapporto tra il flusso poloidale e il flusso azimutale del campo magnetico sia come il passo dell’elica [2]. La condizione necessaria per lo sviluppo della riconnessione magnetica (k

= 0), si pu`o esprimere nella seguente forma,

k · B = − mB

r

 1 − n m q(r) 

quindi k

si annulla per r = r

, dove q(r

) = m/n. I valori razionali di q identificano le superfici risonanti. Adesso definiamo come asse ˆ z una tangente alle linee di campo e proiettiamo il campo nel piano ortogonale a ˆ z. Si ottiene una rappresentazione piana locale con una configurazione dei campi come riportato in figura.

Figura 1.3: Configurazione piana.[4]

Questa rappresentazione `e valida finch`e ci limitiamo a studiare regioni piccole rispet-

to alla lunghezza caratteristica del sistema R, perch`e gli effetti di curvatura scalano

come (δ/R)

con δ spessore della regione in esame.

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 7

1.3 Tearing in geometria piana.

La configurazione di equilibrio che assumeremo per il campo magnetico `e la seguente, B

= cost, B

= 0 e B

= B

tanh(x/L) con |B

(x)| ≪ |B

| ∀x. Il campo B

oltre a rappresentare la situazione sperimentale pu`o essere derivato a partire dalle equazioni di Vlasov (campo di Harris). Assumeremo le seguenti ipotesi, η = cost, ρ = cost, un campo di velocit`a all’equilibrio nullo u

= 0 e β ≪ 1. Dall’ultima condizione possiamo trascurare le perturbazioni di B

e considerare il campo delle velocit`a perturbato ˜ u a divergenza nulla. Le equazioni che utilizzeremo sono la (1.1) e la (1.4), le riportiamo per comodit`a.

ρ d

u = −∇p + 1

4π [(∇ ∧ B) ∧ B] (1.8)

∂

B = ∇ ∧ (u ∧ B) − ηc

4π ∇

B (1.9)

E utile rappresentare i campi B e u utilizzando le funzioni di flusso ψ e φ definite da `

B = ˆ z ∧ ∇ψ + B

z ˆ , u = ˆ z ∧ ∇ϕ

tale rappresentazione `e possibile perch`e i campi B e u sono a divergenza nulla.

Applicando l’operatore ˆ z · ∇∧ all’equazione (1.8) possiamo eliminare il termine di pressione. Sviluppando le equazioni (1.8) e (1.9) si trova,

∂

ψ + [ϕ , ψ] = ǫ

∇

ψ (1.10)

∂

∇

ϕ + ϕ , ∇

ϕ 

= ψ , ∇

ψ 

(1.11)

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 8

Abbiamo introdotto le grandezze adimensionali x ≡ x/L, ω ≡ ω/ω

, ψ ≡ ψ/LB

, ϕ ≡ ϕ/(ω

L

), ǫ

≡ τ

/τ

e [a, b] ≡ ˆz · (∇a ∧ ∇b) sono le parentesi di Poisson. Il parametro ǫ

`e molto piccolo (ǫ

∼ 10

). Osserviamo che queste equazioni sono invarianti sotto trasformazioni di parit`a x → −x, se ϕ e ψ hanno parit`a opposta.

Dato che abbiamo scelto per B

una configurazione dispari, segue che ψ deve essere una funzione pari e di conseguenza ϕ `e una funzione dispari. Questa propriet`a vale anche ad ogni sviluppo perturbativo. Ora linearizziamo le equazioni (1.10) e (1.11), consideriamo perturbazioni del tipo,

f = f (x)e ˜

notiamo che la condizione k

= 0 si riduce a k

= 0. Eseguendo l’algebra alla fine otteniamo il seguente sistema

− i ω ˜ ψ − iψ

k ˜ ϕ = ǫ



− k

+ ∂

∂x



ψ ˜ (1.12)

i ω



− k

+ ∂

∂x



ϕ = − i kψ ˜



− k

+ ∂

∂x



ψ − ik ˜ ˜ ψ ψ

(1.13)

Per risolvere queste equazioni utilizzeremo la seguente tecnica, lo spazio verr`a suddi-

viso in due regioni, una di spessore δ, con δ ≪ L, attorno alla superficie risonante in

cui si utilizzeranno le equazioni resistive e una regione esterna governata dalla MHD

ideale. Utilizzando le opportune approssimazioni risolveremo le equazioni precedenti

nelle due regioni. Raccordando tali soluzioni troveremo la relazione di dispersione

del sistema.

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 9

1.3.1 Regione esterna.

In questa regione trascureremo la resistivit`a ǫ

e poich`e stiamo considerando modi con ω → 0 possiamo tralasciare anche il termine di inerzia nella (1.13). Le equazioni risultano,

ψ ˜

− k

ψ = − ˜ ψ

ψ

ψ ˜ (1.14)

ϕ = − ˜ ω k

ψ ˜

(ψ

)

(1.15)

Innanzitutto osserviamo che per |x| → 0 , (ψ

)

∼ x e dalla (1.15) si ha

ϕ = − ˜ ω k

ψ ˜ x

La soluzione non banale diverge per |x| → 0 quindi non possiamo estendere la trat- tazione ideale nella regione risonante. Per |x| ≫ 1, ψ

→ 0 e l’andamento asintotico di ˜ ψ `e

ψ ∼ e ˜

.

Il termine ψ

/ψ

ci dice come “entra” ˜ ψ nella zona interna, in generale ˜ ψ sar`a una funzione pari con due possibili andamenti fig.(1.4). Possiamo classificarli intro- ducendo il parametro ∆

definito come [5],

∆

(k, ψ

) = ψ ˜

(0

) − ˜ ψ

(0

) ψ(0) ˜

Tale definizione non `e ambigua perch`e dalle equazioni di Maxwell segue che ˜ ψ `e

continua nell’origine. Il parametro ∆

`e funzione dei campi di equilibrio e di k e lo

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 10

Figura 1.4: Andamenti di ˜ ψ per ∆

> 0 e ∆

< 0.

utilizzeremo come condizione di raccordo per le equazioni nella regione interna. Nel caso in esame si trova [5],

∆

=  1 k − k

 .

Dato che ci interessa la soluzione della regione esterna nel limite x → 0 e poich`e ψ

`e pari, possiamo ipotizzare il seguente andamento per la ˜ ψ.

ψ ˜

[x → 0] = A

 1 + ∆

2 |x|



(1.16)

Con A costante. Infine notiamo che il termine (ψ

)

`e il gradiente della corrente

elettrica, (ψ

)

= −∂

J

. Come vedremo `e questo termine che innesca l’instabilit`a,

quindi possiamo affermare che il modo tearing `e eccitato da una disomogeneit`a della

corrente eletrica della regione esterna.

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 11

1.3.2 Regione interna.

Sia δ lo spessore della regione interna (l’ipotesi che δ ≪ L andr`a verificata successi- vamente) e x ≡ x/δ la variabile normalizzata. Le approssimazioni che applicheremo in questa regione sono:

- ∂

≫ k

, segue da δ ≪ L - (ψ

)

= x .

Le equazioni (1.12) e (1.13) si riducono a

( −ıω ˜ ψ − ıkx ˜ ϕ = ǫ

ψ ˜

ω ˜ φ

= kx ˜ ψ

(1.17)

Prima di risolvere questo sistema `e opportuno fare alcune considerazioni di carattere generale. Dalle (1.17) si pu`o ottenere la seguente equazione per ψ,

ǫ

ω ˜ ψ

x

!

− ˜ ψ x

!

= k

ω

(x ˜ ψ

) (1.18)

Ci interessa il comportamento asintotico (ovvero per |x| → ∞) dell’equazione prece- dente. Si trovano 4 soluzioni indipendenti, dato che l’equazione `e di ordine 4 queste sono le uniche soluzioni possibili,

- f

∼ x

- f

∼ 1/x

- f

∼ e

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 12

Nel nostro caso la soluzione esterna `e caratterizzata da ∆

= cost quindi la soluzione cercata `e del tipo f

.

Inoltre valutando le (1.17) `e possibile stimare l’andamento generale delle grandezze di interesse ω e δ. Supponiamo che ω ∼ ǫ

e δ ∼ ǫ

, dalle equazioni (1.17) si trovano i seguenti andamenti,

Ordinamento generale: Supponendo ˜ ψ

∼ ˜ ψ/δ, ˜ ψ

∼ ˜ ψ/δ

, si ha

ω ∼ ǫ

, δ ∼ ǫ

Questo `e l’ordinamento resistivo generale.

Ordinamento “costant- ψ”: Questo ordinamento si fonda sull’ipotesi non ba- nale che ˜ ψ sia della forma

ψ = ψ(0) ˜ h

1 + δf  x δ

i

in questo caso ˜ ψ

∼ ˜ ψ, ˜ ψ

∼ ˜ ψ/δ. Gli andamenti caratteristici risultano

ω ∼ ǫ

, δ ∼ ǫ

che sono gli andamenti tipici dei modi di riconnessione.

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 13

1.4 Relazione di dispersione.

Per risolvere il problema `e conveniente passare nello spazio degli impulsi utilizzando la trasformata di Fourier. Dal sistema (1.17) utilizzando opportunamente le regole x → ı∂

e ∂

→ −ıp, si trova la seguente equazione,

∂

 p

1 + δ

p

∂



− δ

p

ϕ(p) = 0 ˜ (1.19)

con δ

≡ ǫ

/γ, δ

≡ γ/k e γ = −ıω. La soluzione di questa equazione `e [6],

˜

ϕ = cost e

Ξ(ˆ δ

p

) (1.20)

Con ˆ δ

= δ

δ

. La funzione Ξ(p) `e una combinazione di funzioni ipergometriche confluenti di Kummer. La relazione (1.16) in trasformata `e

˜

ϕ

(p) = cost

 1

∆

δ

sgn(p) + 1 δ

p



(1.21)

Prendendo la (1.20) nel limite p → 0 e raccordandola con la (1.21), nel limite γ ≪ 1 si trova la seguente relazione di dispersione [6],

γ =



2∆

Γ(5/4) Γ(3/4)



ǫ

. (1.22)

CAPITOLO 1. LA RICONNESSIONE MAGNETICA. 14

L’andamento di ϕ `e il seguente, Lo spessore della regione interna risulta

Figura 1.5: Profilo di ˜ ϕ [8].

δ ∼ pδ

δ

∼ (∆

)

ǫ

Come si vede gli andamenti di γ e δ sono quelli previsti, inoltre l’ipotesi δ ≪ L `e risultata corretta. Notiamo che la soluzione con ∆

< 0 non `e accettabile perch`e le autofunzioni cessano di essere localizzate. ` E possibile dimostrare [3] che ∆

`e proporzionale alla varazione dell’energia magnetica,

δW = − ∆

4 ψ ˜

(0)

quindi il fenomeno della riconnessione permette al campo magnetico di raggiungere

configurazioni a energia minore.

Capitolo 2

Modo “kink” interno e oscillazioni di Sawtooth.

2.1 Modo kink interno nel caso resistivo.

Consideriamo una generica configurazione di equilibrio in un tokamak. La pertur- bazione a tale equilibrio verr`a decomposta in una serie di modi che preservano la simmetria del sistema. Nel caso di simmetria elicoidale, il generico modo ha la forma

ξ(r, θ, φ) = ξ(r)e

ξ `e il vettore di spostamento, n e m sono interi. Andremo ad analizzare in dettaglio il modo m = 1, n = 1 (kink) di tipo interno , ovvero tale da lasciare invariate le condizioni al bordo. A differenza del tearing questa instabilit`a `e fortemente influen- zata dalla geometria del sistema. Nel limite di piccolo rapporto d’aspetto (ǫ

≪ 1) `e possibile semplificare l’analisi considerando il problema nel caso di geometria cilin- drica. Consideriamo una colonna di plasma di altezza 2πR e raggio a. Tra i vari

15

CAPITOLO 2. MODO “KINK” INTERNO E OSCILLAZIONI DI SAWTOOTH. 16

modi possibili il modo m = 1 `e il pi` u instabile perch`e comporta uno spostamento della colonna di plasma (modulata lungo z). In questo si differenzia nettamente per

Figura 2.1: Instabilit` a di tipo sausage e kink [7].

esempio dal modo m = 0 (sausage instability) e dai modi tearing. Infatti a differen- za del tearing questa instabilit`a non `e localizzata in regioni di grandezza δ attorno ad una superficie risonante ma si sviluppa su scale di ordine r

, quindi in questo caso non possiamo utilizzare una geometria piana per studiare questo modo. Nel caso ideale, utilizzando il principio dell’energia [8] si trova il seguente tasso di crescita

γ

= ω

λ

λ

`e proporzionale a (r

/R)

[9] ed `e chiamato parametro di instabilit`a, infatti `e correlato alla variazione di energia del sistema δW [8],

λ

= −

 1

ξ

r

B

q

(r)



δW (r = r

)

Con ξ

costante. In geometria cilindrica si ha sempre λ

≥ 0 ovvero il sistema

`e sempre instabile o al pi` u marginalmente stabile per λ

= 0 mentre in geometria

toroidale sono possibili valori λ

< 0 e in questo caso il sistema `e stabile. Questo

differente comportamento si ha perch`e nel caso di un toro il modo (n = 1, m = 1)

consiste in uno spostamento rigido di un anello di plasma interno.

CAPITOLO 2. MODO “KINK” INTERNO E OSCILLAZIONI DI SAWTOOTH. 17

Introduciamo ora un termine di resistivit`a, utilizzeremo lo stesso approccio del para- grafo 1.4 ma nella regione esterna bisogna risolvere le equazioni (1.1) in geometria cilindrica [10]. La condiziona al bordo risultante nello spazio-p `e [6]

ξ(δp) = cost  1

δp − λ

δ sgn(p) + O(δp)

 .

Nella regione interna le equazioni sono le (1.17). Raccordando i risultati si ottiene la relazione di dispersione

γ = λ

8 γ ˜

Γ([˜ γ

− 1]/4)

Γ([˜ γ

+ 5]/4) (2.1)

con ˜ γ = γ/ǫ

. La (2.1) contiene sia i modi di riconnessione che il modo kink resistivo, la analizzeremo nei due casi.

2.1.1 Kink resistivo.

Nel limite λ

→ ∞, utilizzando la relazione Γ(z)/Γ(z+a) = z

si trova il caso ideale

γ = γ

.

Nel caso marginalmente stabile, λ

= 0, `e necessario imporre ˜ γ

− 1 = 0 ovvero

γ = ǫ

In questo caso si ritrova l’ordinamento generale ǫ

. Per λ

> 0 si ha il seguente

CAPITOLO 2. MODO “KINK” INTERNO E OSCILLAZIONI DI SAWTOOTH. 18

Figura 2.2: Andamento del tasso di crescita γ/ǫ

.

andamento del tasso di crescita. Per il vettore spostamento ξ risulta,

ξ(x) = ξ

2



 1 − erf x

√ 2ǫ

!





Segue δ ∼ ǫ

. In fig. (2.3) `e riportato l’andamento di ξ

Figura 2.3: Profilo di ξ[8].

CAPITOLO 2. MODO “KINK” INTERNO E OSCILLAZIONI DI SAWTOOTH. 19

2.1.2 Modo di riconnessione.

Questi modi si trovano per λ

< 0 nel limite ˜ γ ≪ 1 con la sostituzione formale,

∆

= − 1

|λ

| .

I risultati sono gli stessi del paragrafo 1.4.

2.2 Oscillazioni di “sawtooth”

Misure accurate dei raggi X soffici prodotti nella regione centrale del plasma mostra- no il seguente andamento della temperatura.

Figura 2.4: Emissione di raggi-X nella regione centrale del plasma [8].

A questo fenomeno `e stato dato il nome di oscillazioni di “sawtooth” (questo nome

`e dovuto al singolare profilo a “dente di sega”) e il suo tempo caratteristico `e del- l’ordine del millisecondo. Questa dannosa instabilit`a `e responsabile di un brusco calo di temperatura nella regione centrale del plasma. Si ritiene che venga innescata dall’eccitazione del modo m = n = 1, quindi nella regione in cui q(r) = 1.

Il meccanismo di queste oscillazioni si pu`o descrivere qualitativamente. Consideri-

amo un sistema di riferimento comovente al plasma. In tale sistema si ha E

= ηJ

,

CAPITOLO 2. MODO “KINK” INTERNO E OSCILLAZIONI DI SAWTOOTH. 20

la potenza Joule dissipata `e W

= −J · E = E

/η. Dall’equazione del calore possi- amo stimare il seguente andamento della temperatura,

∂

T ∼ E

η

Supponendo E

costante e utilizzando η ∼ T

si trova la seguente relazione per la temperatura,

∂

T ∼ T

−→ δT ∼ 1

(t − t

)

Con t il tempo e t

il tempo iniziale in cui `e stata accesa la corrente. Dalla relazione precedente segue che η decresce come η ∼ (t − t

)

e quindi utilizzando E

= ηJ

si trova che la corrente cresce come J

∼ (t − t

)

. Dalla definizione di q si trova che decresce nel tempo come

q(r) ∼ (t − t

)

Quindi dopo un certo lasso di tempo si arriva alla condizione q(r) = 1 necessaria per

innescare l’instabilit`a. Questo abbassamento di temperatura `e correlata a perdite

di energia dovuta a fenomeni di riconnessione.

Capitolo 3

Particelle energetiche e instabilit` a di “fishbone”.

3.1 Oscillazioni di “fishbone”.

Uno dei metodi utilizzati per innalzare la temperatura nel plasma, consiste nel- l’iniettarci un fascio di “neutri” (generalmente atomi di idrogeno) di grande energia (E ∼ 80−140KeV ), una volta entrati nel plasma questi atomi si ionizzano e tramite collissioni ne innalzano la temperatura. ` E stato trovato che questa tecnica pu`o dare origine ad una instabilit`a. Analizzando l’emissione dei raggi-X soffici, si `e osser- vata [11], in seguito all’immissione del fascio, una nuova oscillazione, sovraimposta alla usuale oscillazione di sawtooth (fig.3.1a), inoltre si `e osservata anche una flut- tuzione del campo magnetico poloidale (fig.3.1b). Questi eventi sono accompagnati da una perdita di particelle energetiche e quindi l’efficienza che ha fascio di riscal- dare diminuisce.

21

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 22

Figura 3.1: Instabilit` a di fishbone. (a)Emissione nei raggi-X soffici, (b)Fluttuazioni del campo magnetico poloidale [11].

A questa oscillazione `e stato dato il nome di fishbones (a causa della sua caratter-

istica forma (fig.3.2). Si ritiene che questa instabilit`a sia dovuta ad una interazione

risonante tra le particelle iniettate e il modo n = m = 1, in particolare tra la

velocit`a toroidale dell’onda dell’instabilit`a e la velocit`a di drift delle particelle ener-

getiche confinate. Sperimentalmente sono state trovate due frequenze caratteristiche

di questi fishbones ω

∼ 10 − 20KHz e ω

∼ 200KHz. L’interesse principale che

ha motivato lo studio di questa instabilit`a consiste nell’osservare la risposta del sis-

tema in presenza di una nuova popolazione costituita da particelle con una energia

molto maggiore delle energie tipiche del plasma. Infatti con l’innescarsi delle reazioni

nucleari verranno prodotte particelle α di energia E

∼ 3, 5MeV che influenzano

notevolmente, come vedremo, sulla stabilit`a del sistema. A differenza delle particelle

introdotte dall’esterno, caratterizzate da una distribuzione fortemente anisotropa,

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 23

Figura 3.2: Oscillazione di fishbone [2].

le particelle α sono distribuite in maniera isotropa.

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 24

3.2 Equazioni drift-fluide.

Per impostare correttamente la discussione sulle particelle energetiche `e necessario introdurre un modello pi` u generale per descrivere la fisica della regione interna.

Adotteremo un modello a due fluidi (Bragjinsky) adatto a trattare effetti non MHD dipendenti dalle frequenze ω

= (ckT

/enB

)∂

n e dal raggio di Lar- mor ρ

= (T

/m

)Ω

con Ω

frequenza di ciclotrone. Notiamo che ω

dipende dalla variazione di densit`a, quindi i suoi effetti sono causati dalla disomogeneit`a del plasma. Questa trattazione si rende necessaria perch`e le frequenze che andremo a studiare sono di ordine ω ∼ ω

. Le equazioni adottate sono le seguenti [8],

∂n

+ ∇(n

u

) = 0

m

n

(∂

u

+ (u

· ∇)u

) = −∇p

+ e

n

(E + (u

/c) ∧ B) − ∇ · π

+ R

(3.1)

∇ ∧ E = − 1 c ∂

B J = c

4π ∇ ∧ B

Dove α indica la specie (elettroni e ioni), π

`e il tensore degli sforzi e R

`e il momen- to trasferito. ` E assunta una chiusura isoterma (p

= n

T

), ∇ · u = 0 e n

= n

. Trascureremo effetti dovuti alla conduzione del calore e alla viscosit`a. Sommando le equazioni (3.1), imponendo R

= R

e trascurando l’inerzia e il tensore degli sforzi degli elettroni, si ottiene l’equazione del moto,

m

n

(∂

u

+ (u

· ∇)u

) = −∇p + J

c ∧ B − ∇ · π

(3.2)

con p = p

+p

. Notiamo che il contributo del tensore ∇·π

(dovuto al raggio di Lar-

mor degli ioni) cancella esattamente il termine inerziale dovuto al campo di velocit`a

all’equilibrio [12]. Dato che ci interessa la teoria lineare possiamo eliminare questi

termini dalla (3.2). Prendiamo ora la (3.1) nel caso degli elettroni, trascurando la

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 25

loro inerzia si trova la legge di Ohm,

E + u

c ∧ B = ηJ − ∇p

/(en

)

Dove si `e utilizzato R

= e n

ηJ Introducendo le funzioni di flusso ψ, ϕ

, ϕ

oppor- tunamente normalizzate, si trova il seguente sistema



 



 



∂

∇

ϕ = [ψ , J]

∂

ψ + [ϕ , ψ] = ǫ

∇

ψ

(3.3)

E conveniente effettuare l’analisi nel sistema di riferimento in cui E `

(r

) = 0, ovvero il sistema in moto rispetto al laboratorio con velocit`a

V = cE

B

.

La relazione tra le frequenze trovate e quelle misurate effettivamente `e la seguente,

ω

= ω − k

(cE

/B

)

Linearizzando la (3.3) si ottiene il seguente sistema di equazioni [8],



 



 



ω(ω − ω

)ξ

= −x ˜ ψ

ψ − ˜

e)

ψ ˜

+ xξ = 0

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 26

Queste equazioni sono analoghe alle (1.17) con la sostituzione ω → ω(ω − ω

) e ǫ

→ ǫ

(ω − ω

). Dalla regione esterna si ottiene la condizione da imporre alla soluzione interna [10],

1 ξ

∂

ξ|

= − 1 π

λ

x

. (3.4)

Raccordando le soluzioni si ottiene la seguente relazione di dispersione [8],

[ω(ω − ω

)]

= λ

8 Q

Γ([Q − 1]/4)

Γ([Q − 5]/4) (3.5)

dove Q

= −(ı/ǫ

)[ω(ω − ω

)(ω − ω

)]

. Nel seguito analizzeremo il caso sem- plificato in cui ω

= −ω

= −ω

.

3.3 Studio della relazione di dispersione (3.2)

3.3.1 a) Caso ideale, ǫ

= 0.

Questo caso si ottiene per λ

−→ ∞

[ω(ω − ω

)]

= ıγ

La soluzione `e

ω

= ω

2 ± 1

2 [(ω

)

− 4γ

]

Le soluzioni instabili si hanno per ω

/2 < γ

. Il tasso di crescita `e

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 27

γ ≈ γ

− (ω

)

4γ

All’aumentare di ω

decresce γ fino a che il modo kink interno diventa marginal- mente stabile per

ω

/2 > γ

Il meccanismo principale di questa stabilizzazione `e la rottura dell’approssimazione che ioni e elettroni si muovono insieme con velocit`a ¯ u ∝ E ∧ B. Infatti, a causa del loro raggio di Larmor, gli ioni sentono un differente campo elettrico medio. Questo produce una separazione di carica che `e sfasata rispetto a quella indotta dalla forza che produce l’instabilit`a. Quando ω

/2 = γ

i due effetti si compensano esatta- mente e il modo `e marginalmente stabile. Per ω

/2 > γ

si hanno due soluzioni marginalmente stabili di frequenza

ω

= ω

ω

= (

)

ω

.

In ogni caso il modo acquista una frequenza di rotazione. Un altro effetto `e la comparsa di una “struttura fine” nel profilo radiale come `e illustrato in figura 3.3.

Infatti lo spessore della regione interna si ottiene dalla parte reale della relazione

δ

= ıǫ/(ω − ω

)

ed `e uguale a

δ

/r

≈ ıǫ/Reω,

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 28

mentre la distanza tipica tra due creste successive `e data dalla parte immaginaria di δ e vale

δ

/r

≈ ıǫ/Im(ω − ω

)

con δ

, δ

rispettivamente parte reale e immaginaria di δ.

Figura 3.3: Profilo dello spostamento ξ[8].

3.3.2 b) Regime di bassa resistivit` a.

Nel caso in cui la resistivit`a sia molto piccola la relazione di dispersione diventa

[ω(ω − ω

)]

= ıγ

− 5ı 2

ǫ

ω

ω − ω

Consideriamo l’effetto della resistivit`a sulle soluzioni stabili ovvero per ω

/2 >

γ

. Cerchiamo una soluzione nella forma ω

= ω

+ δω

. Nel caso ω

= ω

,

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 29

all’ordine O(δω), si trova

δω = − 5ı 2

ǫ

ω

γ

Quindi questa soluzione `e stabilizzata. Per la soluzione ω

si ha invece

δω = + 5ı 2

ǫ

ω

(ω

)

quindi diventa instabile con un tempo di sviluppo di ordine

τ ∼  ω

ω



τ

per ω

< ω

.

3.3.3 c) caso λ

= 0.

In questo caso si ha

ω(ω − ω

)(ω + ω

) = −ıǫ

Per ω

< ǫ

all’ordine pi` u basso in ω

si ritrova l’ordinamento γ ∼ ǫ

. Per ω

> ǫ

il tasso di crescita `e

γ = ǫ

(ω

)

Come si vede rispetto al caso puramente resistivo `e ridotto dalla presenza di ω

.

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 30

3.3.4 d) Modo di riconnessione.

I modi di riconnessione si trovano per λ

< 0 e Q ≪ 1, in questo caso la (3.2) diventa

ω(ω − ω

)(ω + ω

)

= ı c

|λ

|

ǫ

Con c

= [2Γ(5/4)/Γ(3/4)]

.

Per ω

= 0 si ritrova la (1.22); questo risultato continua essenzialmente a valere per ω

< λ

ǫ

. Per valori di ω

6= 0, il modo acquista una frequenza di rotazione ω = (5/2)ω

. Per ω

> λ

ǫ

si trova il seguente tasso di crescita

γ = 0.67 ǫ

|λ

|

(ω

)

Mentre la frequenza di oscillazione `e ω = ω

. Questo regime prende il nome di

“drift-tearing” [13] ed `e valido per ω

< |λ

|. Notiamo che le autofunzioni in questo

caso non sono spazialmente localizzate. Si pu`o dimostrare che `e a partire da questi

modi `e possibile costruire un pacchetto d’onda entrante o uscente. [13].

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 31

3.4 Particelle energetiche.

Per descrivere il sistema in presenza di una terza popolazione costituita da particelle energetiche adotteremo il seguente modello fisico. Nella regione interna utilizzeremo il modello a due fluidi utilizzato nei paragrafi precedenti. Nella regione esterna de- scriveremo il plasma con le equazioni MHD ideali in cui si aggiunger`a una correzione dovuta alla presenza delle particelle energetiche. L’effetto delle suddette particelle nella regione interna `e trascurabile perch`e il suo spessore `e molto pi` u piccolo del- l’orbita media di queste particelle.

Le equazioni linearizzate per la zona esterna trascurando il termine d’inerzia sono [14],

0 = −∇˜p − ∇ ˜ P

+ 1

π [(∇ ∧ B

) ∧ ˜ B + (∇ ∧ ˜ B) ∧ B

] (3.6)

Con ˜ p = −ξ∇p

−

p

(∇ · ξ) e ˜ B = ∇ ∧ (ξ ∧ B

). Si `e ipotizzata una chiusura adiabatica per la pressione (p ∼ n

). Conviene assegnare al vettore di spostamen- to ξ la seguente forma,

ξ = ξ(r)e

+ ¯ ξ(r, θ)e

con |¯ ξ(r, θ)|/|ξ(r)| ≪ 1. Infatti i modi a simmetria elicoidale utilizzati nel caso cilindrico non sono autofunzioni in geometria toroidale. Con questo ordinamento si pu`o trascurare l’effetto delle armoniche con m 6= 1, il troncamento `e buono nel caso in cui ǫ

≪ 1.

Il contributo delle particelle energetiche `e nel termine P

, il momento della dis-

tribuzione degli ioni perturbata. La condizione di raccordo si trova subito dalla

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 32

(3.4) adottando la seguente prescrizione,

λ

→ λ

+ λ

(ω) (3.7)

Dove λ

(ω) `e il contributo delle particelle energetiche e la sua espressione `e la seguente [14],

λ

(ω) = − 4π

ı B

(r

)s

ξ

Z

0

drr

Z

π

dθ

2π [e

∧ (e

· ∇)e

· ∇(˜p

+ ˜ p

)]e

con s

≡ r

q

(r

). Questa espressione `e stata calcolata a partire dalle equazioni di Vlasov nell’approssimazione girocinetica. Per calcolare i momenti ˜ p

e ˜ p

bisogna utilizzare una opportuna funzione di distribuzione, per una derivazione dettagliata si veda [14]. Il risultato che si ottiene per una funzione isotropa `e

λ

(ω) ≃ (ǫ

/s

)β

Λ

(ω/ω

)

Con Λ

(ω/ω

) fattore di forma e β

`e definito come

β

≡ − 8π B

(r

)

Z

0

dr  r r



(d

p

),

il parametro β

`e proporzionale alla densit`a di particelle α. La prescrizione (3.7)

segue dal principio dell’energia, infatti la variazione di energia dovuto alla pertur-

bazione `e δW = δW

+ δW

, con δW

il contributo delle particelle energetiche,

risulta λ

∝ δW

. La parte reale di λ

`e proporzionale al lavoro compiuto sulle par-

ticelle mentre la parte immaginaria `e un termine dissipativo dovuto all’interazione

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 33

risonante del modo con le particelle energetiche. Nella seguente figura `e riportato l’andamento della parte immaginaria e reale del fattore di forma Λ

(ω) per un pro- filo parabolico di q con q(0) = 0.8. Notiamo che la parte reale di Λ

cambia segno

Figura 3.4: Andamento della parte reale e immaginaria di Λ

(ω) [14].

per ω = ω

∼ 0, 75ω

. Utilizzando la prescrizione (3.7) si trova dalla relazione di dispersione (3.2),

[ω(ω − ω

)]

= ıω

(λ

+ λ

(ω)) Q

8

Γ([Q − 1]/4)

Γ([Q + 5]/4) (3.8)

dove Q

= ω

(ı/ǫ

)[ω(ω − ω

)(ω − ω

)]. Ci restringeremo ad analizzare questa relazione con ω

= −ω

= −ω e nel limite ǫ

→ 0. In questo caso la (3.4) diventa

[ω(ω − ω

)]

= ı ω

(λ

+ λ

(ω)). (3.9)

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 34

Le autofunzioni relative sono,

ξ

(x) = 1 2 ξ

 1 − 2

π arctan

 s

x λ

+ λ



.

Con x ≡ (r − r

)/r

. Lo spessore della regione interna `e dato da δ ∼ |λ

+ λ

|r

. Questa autofunzioni sono regolari per λ

+Reλ

≥ 0. Nel caso in cui λ

+Reλ

≤ 0

`e necessario utilizzare la (3.4) nella sua generalit`a. Nel paragrafo 3.6 accenneremo su come influisce la resistivit`a sulla stabilit`a dei modi di bassa frequenza (kink interni).

3.5 Curva di stabilit` a.

Per trovare modi stabili si impone alla relazione (3.9) di avere soluzioni reale, in- dicheremo con ω

tali soluzioni. Eguagliando la parte reale e immaginaria della (3.9) si ha il seguente sistema,



 



 



[ˆ ω

(ˆ ω

− ˆω

)]

= − ˆ β

Λ

(ˆ ω

)

ˆ

γ

+ ˆ β

Λ

(ˆ ω

) = 0

(3.10)

Con Λ

= ImΛ

, Λ

= ReΛ

, ˆ ω = ω

/¯ ω

, ˆ ω

= ω

/¯ ω

, ˆ γ

= (ω

/¯ ω

)λ

= γ

/¯ ω

e ˆ β

= (ω

/¯ ω

)(ǫ

/s

)β

. La frequenza ω

`e la frequenza di drift delle particelle α intrappolate poloidalmente mediata sui “rimbalzi”, il suo valore

`e ω

∼ 0, 2MHz. Abbiamo supposto ω

> ω

nel caso contrario il sistema ha

soluzione solo per β

= 0, in cui si ritrovano il modo di bassa frequenza ω

, trovato

nel paragrafo 3.3.1. Risolvendo numericamente il sistema (3.10) per ˆ β

6= 0 si trova

la seguente dipendenza di ω

da ˆ β

.

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 35

Figura 3.5: Andamento di ω

in funzione di ˆ β

[14].

Come si vede si ha un brusco innalzamento della frequenza per valori di ˆ β

pari ( ˆ β

)

∼ 0, 35. Osserviamo un comportamento analogo dal grafico nel piano ( ˆ β

, ˆ γ

) a ω

fisso (fig.(3.6)), ottenuto dalla relazione ˆ γ

= − ˆ β

Λ

(ˆ ω

).

I punti sotto la curva rappresentano le soluzioni stabili. La curva raggiunge un valore massimo per ˆ β

∼ ( ˆ β

)

poi decresce velocemente. Il meccanismo che governa questi andamenti si comprende osservando i grafici (3.4) e (3.5). Per ˆ β

≥ ( ˆ β

)

la frequenza ω

cresce bruscamente fino a valori comparabili a ω

, per tali frequen- ze la risposta stabilizzante di Λ

decresce fino a rendere il sistema instabile.

Per differenti valori di ˆ ω

si ottengono curve di stabilit`a differenti, Notiamo che per ˆ

ω

> 0.05, ω

ha un effetto destabilizzante sul valore massimo stabile di ˆ γ

. Questo si pu`o spiegare notando per piccoli valori costanti di β

la frequenza del modo aumenta con ω

e |Λ

| decresce. Infine sempre dalle (3.10) `e possibile trovare il valore massimo stabile di β

,

β ˆ

= [ˆ ω

(ˆ ω

− ˆω

)]

/Λ

(ˆ ω

) (3.11)

con ˆ ω

la soluzione con frequenza stabile pi` u alta.

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 36

Figura 3.6: Curva di stabilit` a nel piano ( ˆ β

, ˆ γ

) per ˆ ω

= 0.05 [14].

3.5.1 Regimi di instabilit` a.

Adesso andiamo a trattare i regimi fuori dalla curva di stabilit`a. La risposta del sistema alle particelle energetiche pu`o variare drasticamente a seconda del valore dei parametri ω

, β

e γ

. Utilizziamo come riferimento il grafico (3.8). Andremo a considerare inizialmente le soluzioni vicine alla curva di stabilit`a dove ω ∼ ω

e γ ≪ ω

. Nel regime ω

> 2γ

> ω

|λ

|, corrispondente al caso di soluzioni marginalmente stabili in assenza di particelle energetiche. Per ω

≪ ¯ω

il termine risonante di Λ

`e molto piccolo e possiamo trattarlo come perturbazione. Impo- nendo soluzioni della forma ˆ ω = ˆ ω

+ δ ˆ ω. si trova il seguente tasso di crescita,

ˆ

γ = Imδ ˆ ω = 2 ˆ β

|Λ

(ˆ ω

)|

ˆ

ω

[ˆ γ

− ˆ β

|Λ

(ˆ ω

)|].

Come si vede il modo `e determinato dal termine risonante. Per ω∗ < 2γ

si

ha essenzialmente una instabilit`a di tipo fluido (γ ≫ ω

) e il termine dissipativo

contribuisce poco al tasso di crescita. Il confine tra le 2 regioni si ottiene imponendo

che l’equazione

CAPITOLO 3. PARTICELLE ENERGETICHE E INSTABILIT ` A DI “FISHBONE”. 37

Figura 3.7: Curva di stabilit` a per differenti valori di ˆ ω

[16].

[ˆ ω(ˆ ω

− ˆω)]

= ˆ γ

+ ˆ β

Λ

(ˆ ω)

abbia soluzioni coincidenti. Nel grafico (3.8) la curva tratteggiata `e interrotta per valori di ˆ β

tali che ˆ β

Λ

∼ ˆγ

+ ˆ β

Λ

, ovvero quando il termine dissipativo

`e dello stesso ordine di quello reattivo e la precedente trattazione perde di validit`a.

Per valori di ˆ β

oltre il picco di figura (3.6) si ha |Λ

| > |Λ

|, in questo caso ω ≫ ω

e si ottiene il limite

ω = ı(ˆ γ

+ ˆ β

Λ

) − ˆ β

Λ

(3.12)

Il tasso di crescita in questo caso `e dato da ˆ γ

pi` u correzioni dovute a Λ

, mentre la frequenza del modo `e totalmente determinata da Λ

. L’effetto della risonanza `e di innalzare la frequenza fino a valori ω ∼ ω

, dove la parte reattiva cambia di segno e diviene destabilizzante. Nel caso in cui si pu`o trascurare γ

le particelle energetiche determinano tutte le caratteristiche del modo. In questo