Introduzione alle equazioni di
Maxwell
Equazioni di Maxwell /1
S
• Forza di Lorentz: definizione operativa di E e B
• Unità di misura
• Flusso (magnetico) concatenato con
chiusa dt dS
dl d
S
E t ˆ B n ˆ
chiusa dS
B ˆn 0
Equazioni di Maxwell /2
• Definizione di , J e unità di misura
• H,D: relazioni costitutive nel vuoto
• Corrente di conduzione e corrente di spostamento
• Onde elettromagnetiche
• Cenni storici
chiusa dt dS
dS d
dl
S S
H t ˆ J n ˆ D n ˆ
chiusa Q
dV
dS
V
D ˆ n
Forma differenziale
• Teorema di Stokes e della divergenza
• Non equivalenza tra forma integrale e differenziale
• Conservazione della carica (forma integrale)
t
B
E B 0
t
D
J
H D
0
t
J
Modelli statici
• Relazioni costitutive nei materiali più comuni
• Disaccoppiamento in “sottomodelli” autoconsistenti a seconda dei materiali
• Elettrostatica (ES), conduzione stazionaria (CS), magnetostatica (MS)
• Forma integrale
0
E B 0
0
H J J D
D , E 0 , f B , H 0 , f J , E 0
f
E M CModelli quasi statici
• Una derivata trascurabile, l’altra no
• Variazioni temporali, ma “lente”
• Elettroquasistatica (EQS), magnetoquasistatica (MQS)
• Forma integrale
0
E
0
B
J H
D
0
t
J
t
B
E
Conduzione stazionaria
Equazioni
• E conservativo, J solenoidale
• Resistività , conducibilità
chiusa
dl
E ˆt 0
chiusa dS
J ˆn 0
E J
E E J
J
f
0
C
,
Materiali e geometrie
• Conduttori perfetti e isolanti perfetti
– “Approssimazioni” di isolanti perfetti – Superconduttori
• Tubo di flusso
Elementi finiti (FEM)
Tubo di flusso /1
Tubo di flusso /1
Tubo di flusso /1
Tubo di flusso /1
Tubo di flusso /1
Tubo di flusso /2
Tubo di flusso /2
Tubo di flusso /2
Tubo di flusso /2
Tubo di flusso /2
Passaggio campi/circuiti
• Filo conduttore
• Effetto Joule
• Generatore reale
• Resistenza di terra
Elettro(quasi)statica
Equazioni
• E conservativo
• Potenziale scalare, equazione di Poisson
chiusa
dl
E ˆt 0
chiusa Q
dS
D ˆ n
D E D E
f
E, 0
chiusa dt
dS dQ
0
ˆn J
J E E J
f
C, 0
Materiali e geometrie
• Materiali conduttori
o Un elettrodo: potere delle punte (link)
o Due elettrodi: linee di campo ed equipotenziali
• Materiali dielettrici: assenza di tubo di flusso
• Induzione completa
• Passaggio campi-circuiti
Induzione completa
Induzione completa
Induzione completa
Induzione completa
Magneto(quasi)statica nel vuoto
Equazioni
• B solenoidale, potenziale vettore
chiusa i
dl
H ˆ t
chiusa dS
B ˆn 0
B H B H
f
B, 0
0chiusa dt dS
dl d
S
E t ˆ B n ˆ
J E E J
f
C, 0
Configurazioni elementari
• Filo rettilineo indefinito
• Spira
• Solenoide rettilineo indefinito
• Solenoide toroidale
• Autoinduttanza
• Passaggio campi-circuiti
Fili / spire
Solenoide
Solenoide
Solenoide
Solenoide
Solenoide toroidale
... una combinazione...
• Solenoide rettilineo
• Solenoide toroidale
• Spire
Circuiti mutuamente accoppiati
• Mutua induttanza
• Passaggio campi-circuiti
• Tensione e corrente indotta
Le leggi di Kirchhoff e la potenza
Da Maxwell a Kirchhoff
• Nei «bipoli fisici» visti precedentemente, nella regione esterna al bipolo:
– Derivata dell’induzione magnetica trascurabile tensione indotta trascurabile su linee «esterne»
– Derivata dello spostamento elettrico trascurabile corrente di spostamento trascurabile su superfici «esterne»
• In queste stesse ipotesi, valgono le leggi di Kirchhoff sulle «connessioni fisiche»
– J solenoidale: corrente di conduzione uscente da una superficie chiusa pari a zero
– E conservativo: tensione su una linea chiusa pari a zero
Da Maxwell a Kirchhoff
i1
i2
i3 i4
i5 1
2
3 4
5
A B
C D
v1
v2
v3 v4
v5 1
2
3 4
5
A B
C D
n
t
0 ˆ 0 1 4 5
JndS i i i ˆ 0 05 4
3
Etdl v v v• Combinando le equazioni di Maxwell nel vuoto
• Vettore di Poynting: S = E x H
Teorema di Poynting
J M
B E t
B E t
t t
E J
E J D E
J B H
E H H
E H
E
2 2
0 0
2
2 0 0
2
2 1 2
1
2 1 2
1
• Integrando su un volume fisso nel tempo:
• W
el, W
mag: energia elettrica e magnetica all’interno di
• P
J: potenza dissipata per effetto Joule all’interno di
• P
EM: potenza sviluppata dal campo elettromotore sulle cariche in moto
Teorema di Poynting
el magP
JP
EMdt dW dt
dS dW
E H n ˆ
Teorema di Poynting
• «Attorno» a un bipolo è
possibile trascurare le derivate di B e D:
1 A
B
n i
v
Convenzione dell’utilizzatore!
V dS V i V i v i
dS V
dS V
dS V
dS
B B A
A
n J
n H n
H
n H n
H E
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
Teorema di Poynting
• In definitiva:
• Aggiungendo opportune considerazioni termodinamiche (primo principio), possiamo interpretare il prodotto v i con la
convenzione dell’utilizzatore (potenza assorbita della teoria dei circuiti) come la «potenza elettromagnetica» entrante nel
sistema tramite i morsetti:
– Resistore: vi = potenza dissipata per effetto Joule
– Generatore ideale: vi = - potenza sviluppata dal campo elettromotore – Condensatore: vi = derivata dell’energia del campo elettrico tra le
armature
– Induttore: vi = derivata dell’energia del campo magnetico tra le spire
EM J
el mag
