Introduzione alle equazioni di Maxwell

(1)

Introduzione alle equazioni di

Maxwell

(2)

Equazioni di Maxwell /1

 S_

• Forza di Lorentz: definizione operativa di E e B

• Unità di misura

• Flusso (magnetico) concatenato con 

chiusa dt dS

dl d

S



   



 

 ^E ^t ^ˆ ^B ⁿ ^ˆ

chiusa dS   





B  ˆn 0

(3)

Equazioni di Maxwell /2

• Definizione di , J e unità di misura

• H,D: relazioni costitutive nel vuoto

• Corrente di conduzione e corrente di spostamento

• Onde elettromagnetiche

• Cenni storici

chiusa dt dS

dS d

dl

S S



  



    

 ^H ^t ^ˆ ^J ⁿ ^ˆ ^D ⁿ ^ˆ

chiusa Q

dV

dS 

V

  



_





 ^{D ˆ} ⁿ

_

^

(4)

Forma differenziale

• Teorema di Stokes e della divergenza

• Non equivalenza tra forma integrale e differenziale

• Conservazione della carica (forma integrale)

 t

 





 B

E  B   0

 t

 





 D

J

H  D    



 



 



 



 0

t

J 

(5)

Modelli statici

• Relazioni costitutive nei materiali più comuni

• Disaccoppiamento in “sottomodelli” autoconsistenti a seconda dei materiali

• Elettrostatica (ES), conduzione stazionaria (CS), magnetostatica (MS)

• Forma integrale

 0



 E  B   0

 ^ ^ ^ ⁰ 





 H J J  D   

 ^D ^, ^E  ^ ⁰ ^, ^f  ^B ^, ^H  ^ ⁰ ^, ^f  ^J ^, ^E  ^ ⁰

f

_E _M _C

(6)

Modelli quasi statici

• Una derivata trascurabile, l’altra no

• Variazioni temporali, ma “lente”

• Elettroquasistatica (EQS), magnetoquasistatica (MQS)

• Forma integrale

 0



 E

 0



 B

J H 



 





 D

 0



 



 t

J 

 t

 





 B

E

(7)

Conduzione stazionaria

(8)

Equazioni

• E conservativo, J solenoidale

• Resistività , conducibilità 

chiusa

dl 



  

 ^E ^ˆt ⁰

chiusa dS   





J  ˆn 0

 

 





 

 E J

E E J

J

f 

0 

C

,

(9)

Materiali e geometrie

• Conduttori perfetti e isolanti perfetti

– “Approssimazioni” di isolanti perfetti – Superconduttori

• Tubo di flusso

(10)

Elementi finiti (FEM)

(11)

Tubo di flusso /1

(12)

Tubo di flusso /1

(13)

Tubo di flusso /1

(14)

Tubo di flusso /1

(15)

Tubo di flusso /1

(16)

Tubo di flusso /2

(17)

Tubo di flusso /2

(18)

Tubo di flusso /2

(19)

Tubo di flusso /2

(20)

Tubo di flusso /2

(21)

Passaggio campi/circuiti

• Filo conduttore

• Effetto Joule

• Generatore reale

• Resistenza di terra

(22)

Elettro(quasi)statica

(23)

Equazioni

• E conservativo

• Potenziale scalare, equazione di Poisson

chiusa

dl 



  

 ^E ^ˆt ⁰

chiusa Q

dS   



_





^{D ˆ} ⁿ

 ^D ^E  ^D ^E

f

_E

,  0   

chiusa dt

dS  dQ   









0 ˆn J

 ^J ^E  ^E ^J

f

_C

,  0   

(24)

Materiali e geometrie

• Materiali conduttori

o Un elettrodo: potere delle punte (link)

o Due elettrodi: linee di campo ed equipotenziali

• Materiali dielettrici: assenza di tubo di flusso

• Induzione completa

• Passaggio campi-circuiti

(25)

Induzione completa

(26)

Induzione completa

(27)

Induzione completa

(28)

Induzione completa

(29)

Magneto(quasi)statica nel vuoto

(30)

Equazioni

• B solenoidale, potenziale vettore

chiusa i

dl

_



  

 ^{H ˆ} ^t

chiusa dS   





B  ˆn 0

 ^B ^H  ^B ^H

f

_B

,  0   

₀

chiusa dt dS

dl d

S



   



 

 ^E ^t ^ˆ ^B ⁿ ^ˆ

 ^J ^E  ^E ^J

f

_C

,  0   

(31)

Configurazioni elementari

• Filo rettilineo indefinito

• Spira

• Solenoide rettilineo indefinito

• Solenoide toroidale

• Autoinduttanza

• Passaggio campi-circuiti

(32)

Fili / spire

(33)

Solenoide

(34)

Solenoide

(35)

Solenoide

(36)

Solenoide

(37)

Solenoide toroidale

(38)

... una combinazione...

• Solenoide rettilineo

• Solenoide toroidale

• Spire

(39)

Circuiti mutuamente accoppiati

• Mutua induttanza

• Passaggio campi-circuiti

• Tensione e corrente indotta

(40)

Le leggi di Kirchhoff e la potenza

(41)

Da Maxwell a Kirchhoff

• Nei «bipoli fisici» visti precedentemente, nella regione esterna al bipolo:

– Derivata dell’induzione magnetica trascurabile  tensione indotta trascurabile su linee «esterne»

– Derivata dello spostamento elettrico trascurabile  corrente di spostamento trascurabile su superfici «esterne»

• In queste stesse ipotesi, valgono le leggi di Kirchhoff sulle «connessioni fisiche»

– J solenoidale: corrente di conduzione uscente da una superficie chiusa pari a zero

– E conservativo: tensione su una linea chiusa pari a zero

(42)

Da Maxwell a Kirchhoff

i₁

i₂

i₃ i₄

i₅ 1

2

3 4

5

A B

C D



v₁

v₂

v₃ v₄

v₅ 1

2

3 4

5

A B

C D



n

t

0 ˆ  0 ₁  ₄  ₅ 



JndS i i i ˆ 0 0

5 4

3   







 Et^dl ^v ^v ^v

(43)

• Combinando le equazioni di Maxwell nel vuoto

• Vettore di Poynting: S = E x H

Teorema di Poynting

     

J M

B E t

t t

E J

E J D E

J B H

E H H

E H

E









 



 



 









 



 



 





 







 



 

 

























2 2

0 0

2

2 0 0

2

2 1 2

1

2 1 2

1



 

(44)

• Integrando su un volume fisso nel tempo:

• W

el

, W

mag

: energia elettrica e magnetica all’interno di 

• P

_J

: potenza dissipata per effetto Joule all’interno di



• P

EM

: potenza sviluppata dal campo elettromotore sulle cariche in moto

Teorema di Poynting

 

^el ^mag

^P

_J

^P

_EM

dt dW dt

dS  dW   





 



E H n ˆ

(45)

Teorema di Poynting

• «Attorno» a un bipolo è

possibile trascurare le derivate di B e D:

1 A

B

 n i

v

Convenzione dell’utilizzatore!

   

  ^V ^dS ^V ⁱ ^V ⁱ ^v ⁱ

dS V

dS

B B A

A

 











































n J

n H n

H

n H n

H E

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

(46)

Teorema di Poynting

• In definitiva:

• Aggiungendo opportune considerazioni termodinamiche (primo principio), possiamo interpretare il prodotto v i con la

convenzione dell’utilizzatore (potenza assorbita della teoria dei circuiti) come la «potenza elettromagnetica» entrante nel

sistema tramite i morsetti:

– Resistore: vi = potenza dissipata per effetto Joule

– Generatore ideale: vi = - potenza sviluppata dal campo elettromotore – Condensatore: vi = derivata dell’energia del campo elettrico tra le

Introduzione alle equazioni di Maxwell